かなり前の記事
でLegendre多項式の変数付きの拡張として, $a$-Legendre多項式を導入した, それは$[a]_n:=\frac{(a)_n}{n!}$として,
\begin{align}
\rho_n^{(a)}(x)&=(-1)^n[a]_n\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+n)_k}{k!(a)_k}x^k
\end{align}
によって定義される. 今回は,
Holdemanによる公式
\begin{align}
\F21{b,c}1{\frac{1+x}2}&=\frac{\Gamma(2-b-c)}{\Gamma(2-b)\Gamma(2-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+1)(b,c)_n}{(2-b,2-c)_n}P_n(x)
\end{align}
の$a$類似となる以下の公式を示したいと思う.
\begin{align} \F21{b,c}{a}{x}&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(b,c)_n}{(1+a-b,1+a-c)_n}\rho_n^{(a)}(x) \end{align}
実際に$a=1$のとき, $\rho^{(1)}(x)=P_n(2x-1)$より
\begin{align}
\F21{b,c}1{x}&=\frac{\Gamma(2-b-c)}{\Gamma(2-b)\Gamma(2-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+1)(b,c)_n}{(2-b,2-c)_n}P_n(2x-1)
\end{align}
となって, Holdemanの公式が得られる.
項別積分とSaalschützの和公式によって,
\begin{align}
\int_0^1x^{c-1}\rho_n^{(a)}(x)\,dx&=(-1)^n[a]_n\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+n)_k}{k!(a)_k(k+c)}\\
&=\frac {(-1)^n[a]_n}{c}\F32{-n,a+n,c}{a,c+1}1\\
&=\frac {(-1)^n[a]_n}{c}\frac{(1,a-c)_n}{(a,c+1)_n}\\
&=\frac{(-1)^n(a-c)_n}{(c)_{n+1}}
\end{align}
である. よって, 項別積分とGaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\int_0^1x^{a-1}\F21{b,c}{a}x \rho_n^{(a)}(x)\,dx&=\int_0^1\sum_{0\leq k}\frac{(b,c)_k}{k!(a)_k}x^{k+a-1} \rho_n^{(a)}(x)\,dx\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b,c)_k}{k!(a)_k}\frac{(-1)^n(-k)_n}{(a+k)_{n+1}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b,c)_k}{(k-n)!(a)_{n+k+1}}\\
&=\frac{(b,c)_n}{(a)_{2n+1}}\F21{b+n,c+n}{a+2n+1}1\\
&=\frac{(b,c)_n}{(a)_{2n+1}}\frac{\Gamma(a+2n+1)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b+n)\Gamma(1+a-c+n)}\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}\frac{(b,c)_n}{(1+a-b,1+a-c)_n}
\end{align}
である. よって, $\rho^{(a)}_n(x)$の直交性,
\begin{align}
\int_0^1\rho_n^{(a)}(x)\rho_m^{(a)}(x)x^{a-1}\,dx&=\frac 1{2n+a}\delta_{n,m}
\end{align}
によって, 定理が得られる.
さて, 証明の過程におけるGaussの超幾何定理を用いたところで, より一般にSaalschützの和公式を用いることを考えると, 以下を得る.
\begin{align} \F32{b,c,-N}{a,b+c-N-a}{x}&=\frac{(1+a-b,1+a-c)_N}{(a)_{N+1}(1+a-b-c)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)(b,c,-N)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a+N)_n}\rho_n^{(a)}(x) \end{align}
先ほどと同様の方針で, Saalschützの和公式を用いると
\begin{align}
&\int_0^1x^{a-1}\F32{b,c,-N}{a,b+c-N-a}x \rho_n^{(a)}(x)\,dx\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,-N)_k}{(k-n)!(a)_{n+k+1}(b+c-N-a)_k}\\
&=\frac{(b,c,-N)_n}{(a)_{2n+1}(b+c-N-a)_n}\F21{b+n,c+n,n-N}{a+2n+1,b+c-N-a+n}1\\
&=\frac{(b,c,-N)_n}{(a)_{2n+1}(b+c-N-a)_n}\frac{(1+a-b+n,1+a-c+n)_{N-n}}{(a+2n+1,1+a-b-c)_{N-n}}\\
&=\frac{(1+a-b,1+a-c)_N}{(a)_{N+1}(1+a-b-c)_N}\frac{(-1)^n(b,c,-N)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a+N)_n}
\end{align}
となることから分かる.
このように, 超幾何関数を直交多項式で展開する公式にはかなり興味を持っているところである.