東大数理院試過去問解答例(2021B06)

以下位相空間$A,B$に対して、$A\simeq B$は$A$と$B$が同相であること、$A\approx B$は$A$と$B$がホモトピー同値であることを指す。

1. まずホモトピー同値$\mathbb{C}^2\backslash\{(0,0)\}\approx S^3$があり、ここから$S^3$の適切な同値関係$\sim$を考えることで、ホモトピー同値$Y\approx S^3/\sim$が得られる。ここで$S^3$に定まった同値関係で同一視されているのは$S^3$に埋め込まれた二つの部分集合$T_1:=\{(x,0)\in S^3\}\simeq S^1$及び$T_2:=\{(0,y)\in S^3\}\simeq S^1$内の点のみである。$T_1\sqcup T_2$の充分小さい中身の詰まったトーラスと同相な近傍を$U$とし、$V:=S^3\backslash(T_1\sqcup T_2)$とおく。このとき$Y=(U/\sim)\cup V$である。このとき$(U/\sim)\cap V\simeq U\cap V\approx T^2\sqcup T^2$及び$(U/\sim)\approx S^1$及び$V\approx T^2$である。以上からMayer-Vietoris完全列
   \begin{array}{cccccc} \to&0&\to&0&\to&H_3(Y,\mathbb{Z})\\ \to&\mathbb{Z}^2&\to &\mathbb{Z}&\to &H_2(Y,\mathbb{Z})\\ \to&\mathbb{Z}^4&\to &\mathbb{Z}^3&\to &H_1(Y,\mathbb{Z})\\ \to &\mathbb{Z}^2&\to &\mathbb{Z}^2&\to &\mathbb{Z}&\to&0 \end{array}
   が得られる。ここで$H_1((U/\sim)\cap V,\mathbb{Z})\to H_1(U/\sim,\mathbb{Z})\oplus H(V,\mathbb{Z})$は適切な基底を取ることで行列
   $$ \begin{pmatrix} 2&0&2&0\\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ \end{pmatrix}　 $$
   で表現される。また$H_2((U/\sim)\cap V,\mathbb{Z})\to H(V,\mathbb{Z})$は適切な基底を取ることで行列
   $$ \begin{pmatrix} 1&1\\ \end{pmatrix} $$
   で表現される。以上から
   $$ {\color{red}H_i(Y,\mathbb{Z})\simeq\begin{cases} \mathbb{Z}&(i=0,2,3)\\ \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&(i=1)\\ 0&(\text{if else}) \end{cases}} $$
   である。
2. 背理法で示す。所望の条件を満たす近傍を$U$が取れたとする。$U$を充分小さく取ることで$U$を$4$次元単位球体と同相になるように取ることができる。(1)からMayer-Vietoris完全列
   $$ \begin{array}{cccccc} &&&\cdots&\to&H_4(X,\mathbb{Z})\\ \to&\mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}&\to &H_3(X,\mathbb{Z})\\ \to&0&\to&\mathbb{Z}&\to &H_2(X,\mathbb{Z})\\ \to&0&\to&\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\to &H_1(X,\mathbb{Z})\\ \to&\mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}^2&\to &\mathbb{Z}&\to &0 \end{array} $$
   が得られる。ここで$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の生成元は$U\backslash\{p(0,0)\}$上の閉路で代表されるが、このときこの閉路は$X$に於いて一点ホモトープになるから、上記完全列の$1$次の列の完全性(つまり$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to H_1(X,\mathbb{Z})$の単射性)に反する。よって所望の$U$は存在しない。