東大数理院試過去問解答例(2021B06)

以下位相空間$A,B$に対して、$A\simeq B$は$A$と$B$が同相であること、$A\approx B$は$A$と$B$がホモトピー同値であることを指す。

1. まずホモトピー同値${\mathbb{C}}^2\mathrm{\setminus }\{(0,0)\}\approx S^3$があり、ここから$S^3$の適切な同値関係$\sim$を考えることで、ホモトピー同値$Y\approx S^3/\sim$が得られる。ここで$S^3$に定まった同値関係で同一視されているのは$S^3$に埋め込まれた二つの部分集合$T_1:=\{(x,0)\in S^3\}\simeq S^1$及び$T_2:=\{(0,y)\in S^3\}\simeq S^1$内の点のみである。$T_1\bigsqcup T_2$の充分小さい中身の詰まったトーラスと同相な近傍を$U$とし、$V:=S^3\mathrm{\setminus }(T_1\bigsqcup T_2)$とおく。このとき$Y=(U/\sim )\cup V$である。このとき$(U/\sim )\cap V\simeq U\cap V\approx T^2\bigsqcup T^2$及び$(U/\sim )\approx S^1$及び$V\approx T^2$である。以上からMayer-Vietoris完全列
   $$\begin{array}{cccccc}\to & 0& \to & 0& \to & H_3(Y,\mathbb{Z})\\ \to & {\mathbb{Z}}^2& \to & \mathbb{Z}& \to & H_2(Y,\mathbb{Z})\\ \to & {\mathbb{Z}}^4& \to & {\mathbb{Z}}^3& \to & H_1(Y,\mathbb{Z})\\ \to & {\mathbb{Z}}^2& \to & {\mathbb{Z}}^2& \to & \mathbb{Z}& \to & 0\end{array}$$
   が得られる。ここで$H_1((U/\sim )\cap V,\mathbb{Z})\to H_1(U/\sim ,\mathbb{Z})\oplus H(V,\mathbb{Z})$は適切な基底を取ることで行列
   $$\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
   で表現される。また$H_2((U/\sim )\cap V,\mathbb{Z})\to H(V,\mathbb{Z})$は適切な基底を取ることで行列
   $$\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$$
   で表現される。以上から
   $$H_i(Y,\mathbb{Z})\simeq \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (i=0,2,3)\\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}& (i=1)\\ 0& (\text{if else})\end{array}$$
   である。
2. 背理法で示す。所望の条件を満たす近傍を$U$が取れたとする。$U$を充分小さく取ることで$U$を$4$次元単位球体と同相になるように取ることができる。(1)からMayer-Vietoris完全列
   $$\begin{array}{cccccc}& & & \cdots & \to & H_4(X,\mathbb{Z})\\ \to & \mathbb{Z}& \to & \mathbb{Z}& \to & H_3(X,\mathbb{Z})\\ \to & 0& \to & \mathbb{Z}& \to & H_2(X,\mathbb{Z})\\ \to & 0& \to & \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}& \to & H_1(X,\mathbb{Z})\\ \to & \mathbb{Z}& \to & {\mathbb{Z}}^2& \to & \mathbb{Z}& \to & 0\end{array}$$
   が得られる。ここで$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の生成元は$U\mathrm{\setminus }\{p(0,0)\}$上の閉路で代表されるが、このときこの閉路は$X$に於いて一点ホモトープになるから、上記完全列の$1$次の列の完全性(つまり$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to H_1(X,\mathbb{Z})$の単射性)に反する。よって所望の$U$は存在しない。