t分布の性質とF分布の導入

(3.6.2)式で書ける確率密度関数が,$r\to \mathrm{\infty }$のとき,標準正規分布のそれと等しくなることを言えばよい.

まず,$r\to \mathrm{\infty }$のとき,
$[1+\frac{t^2}{r}{]}^{\frac{-(r+1)}{2}}=[(1+\frac{t^2}{r}{)}^r{]}^{\frac{-1}{2}}(1+\frac{t^2}{r}{)}^{\frac{-1}{2}}\to \exp {\left(\frac{-t^2}{2}\right)}^{※3}$

次に,スターリングの公式(下に記載)を用いると,十分大きな$r$に対して
$\frac{\mathrm{\Gamma }[\frac{r+1}{2}]}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r}{2}]}=[\frac{r}{2}{]}^{\frac{1}{2}}$
が成り立つ.

以上より,$r\to \mathrm{\infty }$で

$g_1(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }[\frac{r+1}{2}]}{\sqrt{\pi r}\mathrm{\Gamma }[\frac{r}{2}]}[1+\frac{t^2}{r}{]}^{\frac{-(r+1)}{2}}\to \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{t^2}{2}]$

と分かり,題意を得る.

①準備
まず,$t$分布の定義より,標準正規分布に従う$r.v.W$と,自由度$r$のカイ二乗分布に従う$r.v.V$($W$と$V$は独立とする)を用いて

$T=\frac{W}{\sqrt{V/r}}$

とかける.

$W$と$V$の独立性から,

$\begin{array}{rcl}E[T^k]& =& E[W^k(\frac{V}{r}{)}^{-k/2}]=E[W^k]E[(\frac{V}{r}{)}^{-k/2}]\\ & =& E[W^k]\frac{1}{r^{-k/2}}E[V^{-k/2}]\end{array}$

ここに,(3.3.8)式(下に記載)から得られる

$E[V^{-k/2}]=2^{-k/2}\frac{\mathrm{\Gamma }[\frac{r}{2}-\frac{k}{2}]}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r}{2}]}(-k/2>-r/2)$

を代入すると,
$E[T^k]=E[W^k]\frac{2^{-k/2}\mathrm{\Gamma }[\frac{r}{2}-\frac{k}{2}]}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r}{2}]r^{-k/2}}(k<r)$・・・(3.6.4)

②平均を求める
$r.v.W$の定義から$E[W]=0$ゆえ,

$E[T]=0(r>1)$

③分散を求める
$T$の平均が$0$であることから,
$\begin{array}{rcl}Var[T]& =& E[T^2]-E[T{]}^2\\ & =& E[T^2]\\ & =& \frac{r}{r-2}(r>2{)}^{※4}\end{array}$

定義にあるように,確率変数$U,V$および$W$を定めるとき,$U$と$V$の結合確率密度関数は

$h(u,v)={\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r_1}{2}]\mathrm{\Gamma }[\frac{r_2}{2}]2^{(r_1+r_2)/2}}{u}^{r_1/2-1}{v}^{r_2/2-1}{e}^{-(u+v)/2}& 0<u,v<\mathrm{\infty }\\ 0& elsewhere.\end{array}\end{array}}^{※5}$

求める$W$の確率密度関数を$g_1(w)$とし,変数変換

$w=\frac{u/r_1}{v/r_2},z=v$

を考えると,$(u,v)$と$(w,z)$とは一対一に対応し,
$\mathcal{S}=\{(u,v):0<u<\mathrm{\infty },0<v<\mathrm{\infty }\}$
は
$\mathcal{T}=\{(w,z):0<w<\mathrm{\infty },0<z<\mathrm{\infty }\}$
に写る.

また,
$u=\frac{r_1}{r_2}zw,v=z^{※6}$ゆえ,ヤコビアンを計算すると

$|J|=(r_1/r_2)z^{※7}$

以上より,$W$と$Z$の結合確率密度関数は

$g(w,z)={\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r_1}{2}]\mathrm{\Gamma }[\frac{r_2}{2}]2^{(r_1+r_2)/2}}(\frac{r_{1}zw}{r_2}{)}^{(r_1-2)/2}{z}^{(r_2-2)/2}exp[-\frac{z}{2}(\frac{r_{1}w}{r_2}+1)]\frac{r_{1}z}{r_2}& (w,z)\in \mathcal{T}\\ 0& elsewhere.\end{array}\end{array}}^{※8}$

したがって,$W$の周辺確率密度関数は
${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{g}_1(w)& =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(w,z)dz\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(r_1/r_2{)}^{r_1/2}(w{)}^{r_1/2-1}}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r_1}{2}]\mathrm{\Gamma }[\frac{r_2}{2}]2^{(r_1+r_2)/2}}{z}^{(r_1+r_2)/2-1}exp[-\frac{z}{2}(\frac{r_{1}w}{r_2}+1)]dz\end{array}}^{※9}}$
さいごに,

$y=\frac{z}{2}(\frac{r_{1}w}{r_2}+1)$

とおけば,
${\displaystyle \begin{array}{rcl}{g}_1(w)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(r_1/r_2{)}^{r_1/2}(w{)}^{r_1/2-1}}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r_1}{2}]\mathrm{\Gamma }[\frac{r_2}{2}]2^{(r_1+r_2)/2}}(\frac{2y}{r_{1}w/r_2+1}{)}^{(r_1+r_2)/2-1}{e}^{-y}(\frac{2}{r_{1}w/r_2+1})dy\\ \\ & =& \{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }[\frac{r_1+r_2}{2}](r_1/r_2{)}^{r_1/2}}{\mathrm{\Gamma }[\frac{r_1}{2}]\mathrm{\Gamma }[\frac{r_2}{2}]}\frac{w^{r_1/2-1}}{(1+r_{1}w/r_2{)}^{(r_1+r_2)/2}}& 0<w<\mathrm{\infty }\\ 0& elsewhere.\end{array}\end{array}}$

以下,定義にあるように,確率変数$T,W,V$を定め,$T$の平均を$\mu$,分散を${\sigma }^2$とする.
先に示した通り,$\mu =0(r>1),{\sigma }^2=\frac{r}{r-2}(r>2)$

下の定理を用いると,歪度と尖度はそれぞれ

$\frac{E[(T-\mu {)}^3]}{{\sigma }^3}=\frac{E[T^3]}{{\sigma }^3}=\frac{1}{{\sigma }^3}E[W^3](\frac{r}{2}{)}^{3/2}{\frac{\mathrm{\Gamma }[(r-3)/2]}{\mathrm{\Gamma }[r/2]}}^{※10}=0(r>3)$

$\frac{E[(T-\mu {)}^4]}{{\sigma }^4}-3=\frac{E[T^4]}{{\sigma }^4}-3=\frac{1}{{\sigma }^4}E[W^4](\frac{r}{2}{)}^2{\frac{\mathrm{\Gamma }[(r/2)-2]}{\mathrm{\Gamma }[r/2]}}^{※11}-3=\frac{6}{r-4}(r>4)$