t分布の性質とF分布の導入

(3.6.2)式で書ける確率密度関数が,$r \rightarrow \infty $のとき,標準正規分布のそれと等しくなることを言えばよい.

まず,$r \rightarrow \infty $のとき,
${[1+\frac{t^2}{r}]^\frac{-(r+1)}{2}} = {[(1+\frac{t^2}{r})^r}]^\frac{-1}{2}(1+\frac{t^2}{r})^\frac{-1}{2} \rightarrow \exp(\frac{-t^2}{2}) ^{※3}$

次に,スターリングの公式(下に記載)を用いると,十分大きな$r$に対して
$\frac{\Gamma[\frac{r+1}{2}]}{\Gamma[\frac{r}{2}]} = [\frac{r}{2}]^\frac{1}{2}$
が成り立つ.

以上より,$r \rightarrow \infty $で

$g_1(t) = \frac{\Gamma[\frac{r+1}{2}]}{\sqrt{\pi r}\Gamma[\frac{r}{2}]} {[1+\frac{t^2}{r}]^\frac{-(r+1)}{2}} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{t^2}{2}]$

と分かり,題意を得る.

①準備
まず,$t$分布の定義より,標準正規分布に従う$r.v.W$と,自由度$r$のカイ二乗分布に従う$r.v.V$($W$と$V$は独立とする)を用いて

$T=\frac{W}{\sqrt{V/r}}$

とかける.

$W$と$V$の独立性から,

$\begin{eqnarray} E[T^k] &=& E[W^k(\frac{V}{r})^{-k/2}] = E[W^k]E[(\frac{V}{r})^{-k/2}]\\ &=& E[W^k]\frac{1}{r^{-k/2}}E[V^{-k/2}] \end{eqnarray}$

ここに,(3.3.8)式(下に記載)から得られる

$E[V^{-k/2}] = 2^{-k/2} \frac{\Gamma[\frac{r}{2}-\frac{k}{2}]}{\Gamma[\frac{r}{2}]} (-k/2 \gt -r/2)$

を代入すると,
$E[T^k] = E[W^k]\frac{2^{-k/2} \Gamma[\frac{r}{2}-\frac{k}{2}]}{\Gamma[\frac{r}{2}]r^{-k/2}} (k \lt r)$・・・(3.6.4)

②平均を求める
$r.v.W$の定義から$E[W] = 0$ゆえ,

$E[T] = 0(r>1)$

③分散を求める
$T$の平均が$0$であることから,
$\begin{eqnarray} Var[T] &=& E[T^2] - E[T]^2 \\ &=&E[T^2] \\ &=& \frac{r}{r-2}(r>2) ^{※4} \end{eqnarray}$

定義にあるように,確率変数$U,V$および$W$を定めるとき,$U$と$V$の結合確率密度関数は

$h(u,v) = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\Gamma[\frac{r_1}{2}]\Gamma[\frac{r_2}{2}] 2^{(r_1+r_2)/2}} u^{r_1/2-1}v^{r_2/2-1}e^{-(u+v)/2}&0< u,v<\infty \\ 0&elsewhere. \end{array} \right. \end{eqnarray}^{※5} $

求める$W$の確率密度関数を$g_1(w)$とし,変数変換

$w=\frac{u/r_1}{v/r_2}, z=v$

を考えると,$(u,v)$と$(w,z)$とは一対一に対応し,
$ \mathcal{S} = \{(u, v):0< u<\infty,0< v<\infty\}$
は
$ \mathcal{T} = \{(w, z):0< w<\infty,0< z<\infty\}$
に写る.

また,
$u=\frac{r_1}{r_2}zw, v=z ^{※6}$ゆえ,ヤコビアンを計算すると

$|J| = (r_1/r_2)z ^{※7}$

以上より,$W$と$Z$の結合確率密度関数は

$g(w,z) = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\Gamma[\frac{r_1}{2}]\Gamma[\frac{r_2}{2}] 2^{(r_1+r_2)/2}}(\frac{r_1zw}{r_2})^{(r_1-2)/2}z^{(r_2-2)/2}exp[-\frac{z}{2}(\frac{r_1w}{r_2}+1)]\frac{r_1z}{r_2} &(w,z) \in \mathcal{T} \\ 0&elsewhere. \end{array} \right. \end{eqnarray}^{※8} $

したがって,$W$の周辺確率密度関数は
$\displaystyle\begin{eqnarray} g_1(w) &=& \int_{-\infty}^{\infty} g(w,z)dz\\ &=& \int_{0}^{\infty} \frac{(r_1/r_2)^{r_1/2}(w)^{r_1/2-1}}{\Gamma[\frac{r_1}{2}]\Gamma[\frac{r_2}{2}] 2^{(r_1+r_2)/2}}z^{(r_1+r_2)/2-1}exp\Big[-\frac{z}{2}\Big(\frac{r_1w}{r_2}+1\Big)\Big]dz \end{eqnarray} ^{※9} $
さいごに,

$y=\frac{z}{2}(\frac{r_1w}{r_2}+1)$

とおけば,
$\displaystyle\begin{eqnarray} g_1(w) &=& \int_{0}^{\infty} \frac{(r_1/r_2)^{r_1/2}(w)^{r_1/2-1}}{\Gamma[\frac{r_1}{2}]\Gamma[\frac{r_2}{2}] 2^{(r_1+r_2)/2}}\Big(\frac{2y}{r_1w/r_2+1}\Big)^{(r_1+r_2)/2-1}e^{-y}\Big(\frac{2}{r_1w/r_2+1}\Big)dy\\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} \frac{\Gamma[\frac{r_1+r_2}{2}](r_1/r_2)^{r_1/2}}{\Gamma[\frac{r_1}{2}]\Gamma[\frac{r_2}{2}]} \frac{w^{r_1/2-1}}{(1+r_1w/r_2)^{(r_1+r_2)/2}} &0< w<\infty \\ 0&elsewhere. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

以下,定義にあるように,確率変数$T,W,V$を定め,$T$の平均を$\mu$,分散を$\sigma^2$とする.
先に示した通り,$\mu=0(r>1),\sigma^2=\frac{r}{r-2}(r>2)$

下の定理を用いると,歪度と尖度はそれぞれ

$\frac{E[(T-\mu)^3]}{\sigma^3}=\frac{E[T^3]}{\sigma^3}=\frac{1}{\sigma^3}E[W^3](\frac{r}{2})^{3/2}\frac{\Gamma[(r-3)/2]}{\Gamma[r/2]}^{※10}=0(r>3)$

$\frac{E[(T-\mu)^4]}{\sigma^4}-3=\frac{E[T^4]}{\sigma^4}-3=\frac{1}{\sigma^4}E[W^4](\frac{r}{2})^{2}\frac{\Gamma[(r/2)-2]}{\Gamma[r/2]}^{※11}-3=\frac{6}{r-4}(r>4)$