天才置換を合理的に① を読んで
はじめに
この記事はいなばなつきさんの 天才置換を合理的に① にある置換について少し計算してみたので備忘録として書き留めておくとともに、数学の記事を書く練習をするものです。ゆえに至らぬ点が多々あるとは思いますがご容赦ください。また、厳密な議論などはあまり気にしないことにします。
置換の性質
まず、置換の定義とその性質についていくつかまとめる。fを適当な実関数、$φ(t)= \frac{1-t}{1+t}$とし、φ(t)をφ、$(f \circ φ)(t)$を$f \circφ$と書くことにする。
次は元記事の再掲である。
次が成り立つ。
$φ([0,1])=[0,1]$
$φ=φ^{-1}$
$1+φ= \frac{2}{1+t}$
$1-φ= \frac{2t}{1+t} $
$1+ φ^{2}= \frac{2(1+t^{2})}{(1+t)^{2}}$
次は補足である。
次が成り立つ。
$1- φ^{2}= \frac{4t}{(1+t)^{2}} $
$1+ φ^{3}= \frac{2(1+3t^{2})}{(1+t)^{3}} $
$1- φ^{3}= \frac{2t(3+t^{2})}{(1+t)^{3}} $
$1+ φ^{4}= \frac{2(1+6t^{2}+t^{4})}{(1+t)^{4}} $
$1- φ^{4}= \frac{8t(1+t^{2})}{(1+t)^{4}} $
$1+ φ^{5}= \frac{2(1+10t^{2}+5t^{4})}{(1+t)^{5}} $
$1- φ^{5}= \frac{2t(5+10t^{2}+t^{4})}{(1+t)^{5}} $
$1+ φ^{6}= \frac{2(1+15t^{2}+15t^{4}+t^{6})}{(1+t)^{6}} $
$1- φ^{6}= \frac{2t(6+20t^{2}+6t^{4})}{(1+t)^{6}} $
より一般に
$1+ φ^{2n-1}= \frac{2
\sum_{i=0}^{n-1} {}_{2n-1} \mathrm{ C }_{2k} t^{2k}
}{(1+t)^{2n-1}} $
$1- φ^{2n-1}= \frac{2t
\sum_{i=0}^{n-1} {}_{2n-1} \mathrm{ C }_{2k+1} t^{2k}
}{(1+t)^{2n-1}} $
$1+ φ^{2n}= \frac{2
\sum_{i=0}^{n-1} {}_{2n} \mathrm{ C }_{2k} t^{2k}
}{(1+t)^{2n}} $
$1- φ^{2n}= \frac{2t
\sum_{i=0}^{n-1} {}_{2n} \mathrm{ C }_{2k+1} t^{2k}
}{(1+t)^{2n}} $
偶数乗の時シグマの中身が相反方程式の形になるのが少し面白いかもしれない。
次は元記事のφ置換積分に少し補足したものである。
次が成り立つ。
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+x} dx =\int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{1+t} dt $
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-x} dx =\int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{t(1+t)} dt $
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{(1+x)^{2}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f \circ φ dt $
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{(1-x)^{2}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{t^{2}} dt $
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+x^{2}} dx =\int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{1+t^{2}} dt $
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-x^{2}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{t} dt $
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-x^{4}} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{t} dt +
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{1+t^{2}} dt
= \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{f \circ φ}{t} dt +
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+x^{2}} dx $
1-x^{4}が分母にあるときがなんだか面白そう。
一旦
今日のところはこの程度の計算のみにとどめておきます。あまり面白い積分を思いつかなかったのが残念です。
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