p進Lerch transcendent
Lerch transcendentは
\begin{align}
\Phi(\lambda, s,x):=\sum_{0\leq n}\frac{\lambda^n}{(n+x)^s}
\end{align}
によって定義される. 今回はその$p$進類似を定義し, その性質についてまとめたいと思う.
定義
Volkenborn積分の類似を
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(t)\,d\mu_{\lambda}(t):=\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^N}}\sum_{k=0}^{p^N-1}\lambda^kf(k)
\end{align}
によって定義する. $\chi$を$\ZZ_p$上に拡張された法$p^m$の指標として, $s,x\in\ZZ_p,\lambda\in\CC_p$を$|\lambda-1|_p\geq 1$を満たすものとする. このとき, 指標付きの$p$進Lerch transcendentを
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,s,x;\chi):=\int_{\ZZ_p}\chi(x+t)\langle x+t\rangle^{-s}\,d\mu_{\lambda}(t)
\end{align}
によって定義する. ここで, $\langle\cdot\rangle$は前の記事(
p進Hurwitzゼータ関数
)でも用いたTeichmüller分解$x=\omega(x)\langle x\rangle$に現れるものである.
積分の性質
上の積分に現れた$d\mu_{\lambda}(t)$は$\ZZ_p$上の各剰余類に値を与える$p$進測度として定義される. $\lambda\in\CC_p, |\lambda-1|_p\geq 1$となるものに対し,
\begin{align}
\mu_{\lambda}(a+p^N\ZZ_p):=\frac{\lambda^a}{1-\lambda^{p^N}},\qquad 0\leq a< p^N
\end{align}
によって定める. これが測度であることは
\begin{align}
&\sum_{j=0}^{p-1}\mu_{\lambda}(a+jp^N+p^{N+1}\ZZ_p)\\
&=\sum_{j=0}^{p-1}\frac{\lambda^{a+jp^N}}{1-\lambda^{p^{N+1}}}\\
&=\frac{\lambda^a}{1-\lambda^{p^N}}\\
&=\mu_{\lambda}(a+p^N\ZZ_p)
\end{align}
となることから分かる. これを用いると
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(t)\,d\mu_{\lambda}(t)&=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=0}^{p^N-1}f(k)\mu_{\lambda}(k+p^N\ZZ_p)
\end{align}
と書けることが分かる.
$f$を連続関数, $\lambda\in\CC_p,|\lambda-1|_p\geq 1$とする. このとき,
\begin{align}
\lambda\int_{\ZZ_p}f(t+1)\,d\mu_{\lambda}(t)=\int_{\ZZ_p}f(t)\,d\mu_{\lambda}(t)-f(0)
\end{align}
が成り立つ. $\lambda\neq 0$ならば
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(-t)\,d\mu_{\lambda}(t)&=-\frac 1{\lambda}\int_{\ZZ_p}f(t+1)\,d\mu_{\frac 1{\lambda}}(t)
\end{align}
が成り立つ. また, $p\nmid N$で$|\lambda^N-1|_p\geq 1$のとき,
\begin{align}
\sum_{i=0}^{N-1}\lambda^i\int_{\ZZ_p}f(i+Nt)\,d\mu_{\lambda^N}(t)=\int_{\ZZ_p}f(t)\,d\mu_{\lambda}(t)
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の式は
\begin{align}
&\lambda\int_{\ZZ_p}f(t+1)\,d\mu_{\lambda}(t)\\
&=\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^N}}\sum_{k=0}^{p^N-1}\lambda^{k+1}f(k+1)\\
&=\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^N}}\left(\sum_{k=0}^{p^N-1}\lambda^kf(k)+\lambda^{p^N}f(p^N)-f(0)\right)\\
&=\int_{\ZZ_p}f(t)\,d\mu_{\lambda}(t)-f(0)
\end{align}
と示される. ここで, $f(p^N)\to f(0),\quad N\to\infty$であることを用いた. 2つ目の式は
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(-t)\,d\mu_{\lambda}(t)&=\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^N}}\sum_{k=0}^{p^N-1}\lambda^kf(-k)\\
&=\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^N}}\sum_{k=0}^{p^N-1}\lambda^{p^N-1-k}f(k+1-p^N)\\
&=-\frac 1{\lambda}\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{-p^N}}\sum_{k=0}^{p^N-1}\lambda^{-k}f(k+1)\\
&=-\frac 1{\lambda}\int_{\ZZ_p}f(t+1)\,d\mu_{\frac 1{\lambda}}(t)
\end{align}
と示される. 3つ目の式は
\begin{align}
&\sum_{i=0}^{N-1}\lambda^i\int_{\ZZ_p}f(i+Nt)\,d\mu_{\lambda^N}(t)\\
&=\sum_{i=0}^{N-1}\lambda^i\lim_{n\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{Np^n}}\sum_{k=0}^{p^n-1}\lambda^{Nk}f(i+Nk)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{Np^n}}\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{p^n-1}\lambda^{i+Nk}f(i+Nk)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{Np^n}}\sum_{k=0}^{Np^n-1}\lambda^kf(k)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{Np^n}}\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{p^n-1}\lambda^{k+ip^n}f(k+ip^n)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{Np^n}}\sum_{k=0}^{p^n-1}\lambda^{k}f(k)\sum_{i=0}^{N-1}\lambda^{ip^n}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^n}}\sum_{k=0}^{p^n-1}\lambda^{k}f(k)\\
&=\int_{\ZZ_p}f(t)\,d\mu_{\lambda}(t)
\end{align}
と示される.
p進Lerch transcendentの性質
以下, $\lambda\in\CC_p, |\lambda-1|_p\geq 1$となるものとして固定する. 補題1の1つ目の式に$f(t):=\chi(x+t)\langle x+t\rangle^{-s}$とすると以下を得る.
$s,x\in\ZZ_p$とする. このとき,
\begin{align}
\lambda\Phi_p(\lambda,s,x+1;\chi)-\Phi_p(\lambda,s,x;\chi)=-\chi(x)\langle x\rangle^{-s}
\end{align}
が成り立つ.
補題1の2つ目の式に$f(t):=\chi(1-x-t)\langle 1-x-t\rangle^{-s}$とすると以下を得る.
$s,x\in\ZZ_p, \lambda\neq 0$とする. このとき,
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,s,1-x;\chi)=-\frac{\chi(-1)}{\lambda}\Phi_p\left(\frac 1{\lambda},s,x;\chi\right)
\end{align}
が成り立つ.
補題1の3つ目の式に$f(t):=\chi(Nx+t)\langle Nx+t\rangle^{-s}$とすると以下を得る.
$s,x\in\ZZ_p, p\nmid N, |\lambda^N-1|_p\geq 1$とする. このとき
\begin{align}
\sum_{i=0}^{N-1}\lambda^i\Phi_p\left(\lambda^N,s,x+\frac iN;\chi\right)=\chi(N)^{-1}\langle N\rangle^s\Phi_p(\lambda,s,Nx;\chi)
\end{align}
が成り立つ.
$p$進ポリログ
$p$進Lerch transcendentで$x=0$とすると,
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,s,0;\chi)=\int_{\ZZ_p^\times}\chi(t)\langle t\rangle^{-s}\,d\mu_{\lambda}(t)
\end{align}
となる. 特に, $s=n\in\ZZ$, $\omega$をTeichmüller指標として
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,n,0;\omega^{-n})=\int_{\ZZ_p^\times}t^{-n}\,d\mu_{\lambda}(t)
\end{align}
となる. $|\lambda|_p<1$とすると, この領域において$1-\lambda^{p^N}\to 1$より,
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,n,0;\omega^{-n})&=\lim_{N\to\infty}\frac 1{1-\lambda^{p^N}}\sum_{\substack{1\leq k\leq p^N\\p\nmid k}}\frac{\lambda^k}{k^n}\\
&=\sum_{\substack{1\leq k\\p\nmid k}}\frac{\lambda^k}{k^n}
\end{align}
となる. これは通常のColemanによる$p$進ポリログを
\begin{align}
\Li_n(\lambda):=\sum_{1\leq k}\frac{\lambda^k}{k^n},\qquad |\lambda|_p< 1
\end{align}
とすると
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,n,0;\omega^{-n})&=\Li_n(\lambda)-p^{-n}\Li_n(\lambda^p)
\end{align}
と表すことができる.
