p進Hurwitzゼータ関数
$p$を奇素数とする. 今回は$p$進Hurwitzゼータ関数の性質についてまとめる.
Teichmüller分解
$\omega:(\ZZ/p\ZZ)^{\times}\to \ZZ_p$を
Teichmüller指標
とする.
\begin{align}
\omega(x):=\begin{cases}
\omega(x\,\,\mathrm{mod}\,\, p)&& x\in\ZZ_p^{\times}\\
0&& x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
によって$\omega:\ZZ_p\to \ZZ_p$に拡張する. Teichmüller指標の性質から,
\begin{align}
\langle x\rangle:= \frac{x}{\omega(x)},\qquad x\in\ZZ_p^\times
\end{align}
と定義すれば, $\langle x\rangle \in1+p\ZZ_p$が成り立つ. よって, $\exp_p,\log_p$を$p$進指数関数, $p$進対数関数とすると, $s\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\langle x\rangle^s:=\exp_p(s\log_p\langle x\rangle)
\end{align}
と定めることができる.
$p$進Hurwitzゼータ関数の定義
法$p^m$の指標$\chi$に対し, それを
\begin{align}
\chi(x)=\chi(x\,\,\mathrm{mod}\,\,p^m)
\end{align}
によって$\ZZ_p$上に拡張する.
Volkenborn積分
を用いて, $s,x\in\ZZ_p, s\neq 1$に対し,
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,x):=\frac 1{s-1}\int_{\ZZ_p}\chi(x+t)\langle x+t\rangle^{1-s}\,dt
\end{align}
と定義する. ただし, $x+t\in p\ZZ_p$の場合は被積分関数は$0$であるとする.
$s, x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,x+1)-\zeta_p(\chi,s,x)=-(\chi\omega^{-1})(x)\langle x\rangle^{-s}
\end{align}
が成り立つ. ただし, $x\in p\ZZ_p$のときは右辺は$0$と解釈することとする.
この命題における$\chi\omega^{-1}$は指標の意味である.
Volkenborn積分の平行移動に関する性質から
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,x+1)-\zeta_p(\chi,s,x)&=\frac 1{s-1}\frac{d}{dx}\chi(x)\langle x\rangle^{1-s}
\end{align}
となる. ここで, $\chi(x)$は局所定数関数であるから,
\begin{align}
\frac{d}{dx}\chi(x)\langle x\rangle^{1-s}&=\chi(x)\frac{d}{dx}\langle x\rangle^{1-s}
\end{align}
となる. $x\in\ZZ_p^{\times}$の場合
\begin{align}
\langle x\rangle=x\omega(x)^{-1}
\end{align}
より
\begin{align}
\frac{d}{dx}\langle x\rangle=\omega(x)^{-1}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac{d}{dx}\langle x\rangle^{1-s}=(1-s)\langle x\rangle^{-s}\omega(x)^{-1}
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\frac{d}{dx}\chi(x)\langle x\rangle^{1-s}&=(1-s)(\chi\omega^{-1})(x)\langle x\rangle^{-s}
\end{align}
となる. $x\in p\ZZ_p$の場合は$\chi(x)=0$なのでこれは$x\in\ZZ_p$において成り立つ. よって, これを最初の式に代入して
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,x+1)-\zeta_p(\chi,s,x)&=-(\chi\omega^{-1})(x)\langle x\rangle^{-s}
\end{align}
を得る.
$p$進ポリガンマ関数との関係
$\Gamma_p$を
Moritaの$p$進ガンマ関数
として, $p$進ディガンマ関数を
\begin{align}
\psi_p(x):=(\log_p\Gamma_p)'(x)
\end{align}
とする. $p$進ポリガンマ関数$\psi^{(m)}_p$をその$m$回微分として定義する.
前の記事
の定理1を$x$に関して高階微分すると以下を得る.
$x\in\ZZ_p, m\geq 1$に対し,
\begin{align}
\psi_p(x)&=\int_{\ZZ_p}1_{\ZZ_p^{\times}}(x+t)\log_p(x+t)\,dt\\
\psi_p^{(m)}(x)&=(-1)^{m-1}(m-1)!\int_{\ZZ_p}1_{\ZZ_p^{\times}}(x+t)(x+t)^{-m}\,dt
\end{align}
$p$進Hurwitzゼータ関数の定義から
\begin{align}
\zeta_p(\omega^{-m},m+1,x)&=\frac 1m\int_{\ZZ_p}1_{\ZZ_p^\times}(x+t)\omega(x+t)^{-m}\langle x+t\rangle^{-m}\,dt\\
&=\frac 1m\int_{\ZZ_p}1_{\ZZ_p^{\times}}(x+t)(x+t)^{-m}\,dt\\
&=\frac{(-1)^{m-1}}{m!}\psi_p^{(m)}(x)
\end{align}
となる. つまり,
\begin{align}
\psi_p^{(m)}(x)&=(-1)^{m-1}m!\zeta_p(\omega^{-m},m+1,x)
\end{align}
が成り立つことが分かる. これは通常のポリガンマ関数とHurwitzゼータ関数の関係
\begin{align}
\psi^{(m)}(x)=(-1)^{m-1}m!\zeta(m+1,x)
\end{align}
の類似である.
$p$進$L$関数
$p$進$L$関数は$p$進Hurwitzゼータ関数を用いて
\begin{align}
L_p(\chi,s):=\zeta_p(\chi,s,0)=\frac 1{s-1}\int_{\ZZ_p}\chi(t)\langle t\rangle^{1-s}\,dt
\end{align}
と定義される. $p$進Eulerの定数を
\begin{align}
\gamma_p:=-\int_{\ZZ_p^{\times}}\log_p t\,dt
\end{align}
とすると, 前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数2
)で示した$p$進log-gammaのMaclaurin展開の係数は$p$進$L$関数を用いて以下のように表される.
$x\in p\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=-\gamma_p x-\sum_{0< n}\frac{L_p(\omega^{-2n},2n+1)}{2n+1}x^{2n+1}
\end{align}
が成り立つ.
定義から$\lambda_0=-\gamma_p$である. また,
\begin{align}
\lambda_n&=\int_{\ZZ_p^{\times}}t^{-2n}\,dt\\
&=\int_{\ZZ_p^{\times}}\omega(t)^{-2n}\langle t\rangle^{-2n}\,dt\\
&=2nL_p(\omega^{-2n},2n+1)
\end{align}
となるから, これを代入して示すべき等式を得る.
前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数2
)の定理2の証明における議論から偶数の$n>0$に対しては
\begin{align}
L_p(\omega^{1-n},n)=0
\end{align}
であることが分かるので, 定理3は
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=-\gamma_p x+\sum_{2\leq n}\frac{(-1)^nL_p(\omega^{1-n},n)}{n}x^n,\qquad x\in p\ZZ_p
\end{align}
と表すことができる. これは通常のlog-gamma関数のMaclaurin展開
\begin{align}
\ln\Gamma(1+x)&=-\gamma x+\sum_{2\leq n}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{n}x^n,\qquad |x|<1
\end{align}
の類似である.
$p$進Lerch公式
以下はLerchの公式
\begin{align}
\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=0}=\ln\frac{\Gamma(x)}{\sqrt{2\pi}}
\end{align}
の類似である.
$x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_p(\omega,s,x)\right|_{s=0}&=\log_p\Gamma_p(x)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\zeta_p(\omega,s,x):=\frac 1{s-1}\int_{\ZZ_p}\omega(x+t)\langle x+t\rangle^{1-s}\,dt
\end{align}
の両辺を$s$で微分すると
\begin{align}
\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_p(\omega,s,x)\right|_{s=0}&=\int_{\ZZ_p}\omega(x+t)\left.\frac{\partial}{\partial s}\frac{\langle x+t\rangle^{1-s}}{s-1}\right|_{s=0}\,dt\\
&=\int_{\ZZ_p}\omega(x+t)\langle x+t\rangle(\log_p\langle x+t\rangle -1)\,dt\\
&=\int_{\ZZ_p} 1_{\ZZ_p^{\times}}(x+t)(x+t)(\log_p(x+t) -1)\,dt\\
&=\log_p\Gamma_p(x)
\end{align}
と示される. ここで, 最後の等号は, 前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数2
)の定理1による.
相反公式
$s,x\in\ZZ_p, s\neq 1$に対し,
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,1-x)=\chi(-1)\zeta_p(\chi,s,x)
\end{align}
が成り立つ.
Volkenborn積分の性質
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(-t)\,dt=\int_{\ZZ_p}f(t+1)\,dt
\end{align}
を用いれば,
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,1-x)&=\frac 1{s-1}\int_{\ZZ_p}\chi(1-x+t)\langle 1-x+t\rangle^{1-s}\,dt\\
&=\frac 1{s-1}\int_{\ZZ_p}\chi(-x-t)\langle -x-t\rangle^{1-s}\,dt\\
&=\frac{\chi(-1)}{s-1}\int_{\ZZ_p}\chi(x+t)\langle x+t\rangle^{1-s}\,dt\\
&=\chi(-1)\zeta_p(\chi,s,x)
\end{align}
と示される.
先ほど示した$p$進ポリガンマ関数との関係
\begin{align}
\psi_p^{(m)}(x)=(-1)^{m-1}m!\zeta_p(\omega^{-m},m+1,x)
\end{align}
を用いると, $p$が奇素数であるとき, $\omega(-1)=-1$以下の系を得る.
$m\geq 1, x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\psi^{(m)}_p(1-x)=(-1)^m\psi_p^{(m)}(x)
\end{align}
が成り立つ.
系1の$m=0$の場合は定理5には含まれていないが,
$p$進ガンマ関数の相反公式
を対数微分すると
\begin{align}
\psi_p(1-x)=\psi_p(x)
\end{align}
となるので, 系1は$m=0$の場合も成り立っている.
乗法公式
$s,x\in\ZZ_p, s\neq 1$とする. $N\geq 1$を$p\nmid N$を満たす整数とする. このとき,
\begin{align}
\sum_{i=0}^{N-1}\zeta_p\left(\chi,s,x+\frac iN\right)=(\omega\chi^{-1})(N)\langle N\rangle^s\zeta_p\left(\chi, s, Nx\right)
\end{align}
が成り立つ.
Volkenborn積分の性質
\begin{align}
\sum_{i=0}^{N-1}\int_{\ZZ_p}f(i+Nt)\,dt=N\int_{\ZZ_p}f(t)\,dt
\end{align}
を用いれば
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\zeta_p\left(\chi,s,x+\frac iN\right)\\
&=\frac 1{s-1}\sum_{i=0}^{N-1}\int_{\ZZ_p}\chi\left(x+\frac iN+t\right)\left\langle x+\frac iN+t\right\rangle^{1-s}\,dt\\
&=\frac{\chi(N)^{-1}\langle N\rangle^{s-1}}{s-1}\sum_{i=0}^{N-1}\int_{\ZZ_p}\chi(Nx+i+Nt)\langle Nx+i+Nt\rangle^{1-s}\,dt\\
&=\frac{\chi(N)^{-1}N\langle N\rangle^{s-1}}{s-1}\int_{\ZZ_p}\chi(Nx+t)\langle Nx+t\rangle^{1-s}\,dt\\
&=(\omega \chi^{-1})(N)\langle N\rangle^{s}\zeta_p\left(\chi,s,Nx\right)
\end{align}
と示される.
先ほどのように, $p$進ポリガンマ関数に特殊化すると以下の系を得る.
$m\geq 1, x\in\ZZ_p$のとき,
\begin{align}
\sum_{i=0}^{N-1}\psi_p^{(m)}\left(x+\frac iN\right)=N^{m+1}\psi_p^{(m)}(Nx)
\end{align}
が成り立つ.
$p$進ディガンマ関数の場合は
$p$進ガンマ関数の乗法公式
\begin{align}
\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac{x+k}n\right)=n^{1-a_0(x)}(n^{p-1})^{-a_1(x)}\Gamma_p(x)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma_p\left(\frac kn\right)
\end{align}
を対数微分すると,
\begin{align}
\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\psi_p\left(\frac{x+k}n\right)=\psi_p(x)-\frac 1p\log_p n^{p-1}
\end{align}
となる. ここで, $a_1(x)=\frac{x+\langle -x\rangle_p}p-1$より$a_1'(x)=\frac 1p$となることを用いた. 系2と記法をそろえると
\begin{align}
\sum_{i=0}^{N-1}\psi_p\left(x+\frac iN\right)=N\psi_p(Nx)-\frac Np\log_p N^{p-1}
\end{align}
である.
