Moritaのp進ガンマ関数2
前回の記事 でMoritaの$p$進ガンマ関数の基本的な性質を示した. 今回はさらなる性質についてまとめたいと思う.
$p$進log-gammaのVolkenborn積分表示
Volkenborn積分を
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(x)\,dx:=\lim_{n\to\infty}\frac 1{p^n}\sum_{k=0}^{p^n-1}f(k)
\end{align}
と定義する. その基本的な性質については
子葉さんの記事
にまとめられている.
$x\in \ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=\int_{\ZZ_p}(x+t)(\log_p(x+t)-1)1_{\ZZ_p^{\times}}(x+t)\,dt
\end{align}
が成り立つ. ここで, $1_{\ZZ_p^{\times}}$は定義関数である.
$f(x)=x(\log_px-1)1_{\ZZ_p^{\times}}(x)$とする. このとき,
\begin{align}
f'(x)=
1_{\ZZ_p^{\times}}(x)\log_p x
\end{align}
が成り立つ. よって,
\begin{align}
F(x):=\int_{\ZZ_p}f(x+t)\,dt
\end{align}
とするとVolkenborn積分の平行移動に関する性質から
\begin{align}
F(x+1)-F(x)=
f'(x)=1_{\ZZ_p^{\times}}(x)\log_p x
\end{align}
を得る. 一方, 前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数
)の命題2の対数を考えると, $\log_p(-1)=0$より
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x+1)-\log_p\Gamma_p(x)=1_{\ZZ_p^{\times}}(x)\log_p x
\end{align}
となり, 上の$F$と全く同じ関係式を満たす.
\begin{align}
H(x):=F(x)-\log_p\Gamma_p(x)
\end{align}
とするとき, $H(x+1)=H(x)$であるから, $H(0)=0$が示せれば, 任意の自然数$x$に対し$H(x)=0$となり, 連続性から$x\in\ZZ_p$に対し$H(x)=0$が分かる. $H(0)$は
\begin{align}
H(0)&=F(0)-\log_p\Gamma_p(0)\\
&=\int_{\ZZ_p}f(t)\,dt
\end{align}
と表せるが, $f$は奇関数であるから, Volkenborn積分の性質から,
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}f(t)\,dt&=-\frac 12f'(0)
\end{align}
と表せるが, $f$は$p\ZZ_p$上で恒等的に$0$なので, この値は$0$である. よって$H(0)=0$となって示すべきことが得られた.
$p$進log-gammaのMaclaurin展開
\begin{align}
\lambda_0=\int_{\ZZ_p^{\times}}\log_pt\,dt,\quad\lambda_n=\int_{\ZZ_p^{\times}}t^{-2n}\,dt,\quad n\geq 1
\end{align}
とする. このとき, $x\in p\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=\lambda_0x-\sum_{0< n}\frac{\lambda_n}{2n(2n+1)}x^{2n+1}
\end{align}
が成り立つ.
定理1は$x\in p\ZZ_p$より, $x+t\in\ZZ_p^{\times}$であることと$t\in\ZZ_p^{\times}$であることが同値である. よって定理1は
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=\int_{\ZZ_p^{\times}}(x+t)(\log_p(x+t)-1)\,dt
\end{align}
と表される. この被積分関数を
\begin{align}
\log_p(x+t)&=\log_pt+\log_p\left(1+\frac xt\right)\\
&=\log_pt+\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\frac{x^n}{t^n}
\end{align}
より
\begin{align}
&(x+t)(\log_p(x+t)-1)\\
&=t(\log_p t-1)+x\log_p t-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k(k+1)}x^{k+1}t^{-k}
\end{align}
と展開して項別積分すると
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=\int_{\ZZ_p^{\times}}t(\log_p t-1)\,dt+x\int_{\ZZ_p^{\times}}\log_pt\,dt\\
&\qquad-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k(k+1)}x^{k+1}\int_{\ZZ_p^{\times}}t^{-k}\,dt
\end{align}
となる. 右辺第1項は定理1より$\log_p\Gamma_p(0)=0$である. $x\in p\ZZ_p$のとき相反公式から,
\begin{align}
\Gamma_p(x)\Gamma_p(-x)=1
\end{align}
となることから, $\log_p\Gamma_p(x)$は$x\in p\ZZ_p$上で奇関数である. よって, 上の展開の偶数次の項が$0$であることが分かり,
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=\lambda_0x-\sum_{0< n}\frac{\lambda_n}{2n(2n+1)}x^{2n+1}
\end{align}
となることが従う.
$n\geq 1$に対し,
\begin{align}
\lambda_n-B_{2n}\in\ZZ_p
\end{align}
が成り立つ.
逆元写像は$(\ZZ/p^r\ZZ)^{\times}$の置換になるので,
\begin{align}
\sum_{\substack{1\leq j< p^r\\p\nmid j}}j^{-2n}\equiv \sum_{\substack{1\leq j< p^r\\p\nmid j}}j^{2n}\pmod{p^r}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\lambda_n\equiv \int_{\ZZ_p^{\times}} t^{2n}\,dt\pmod {\ZZ_p}
\end{align}
となる.
\begin{align}
\int_{\ZZ_p}t^{2n}\,dt&=B_{2n}\\
\int_{p\ZZ_p}t^{2n}\,dt&=p^{2n-1}B_{2n}
\end{align}
となることから,
\begin{align}
\int_{\ZZ_p^{\times}}t^{2n}\,dt&=(1-p^{2n-1})B_{2n}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
\lambda_n\equiv (1-p^{2n-1})B_{2n}\equiv B_{2n}\pmod {\ZZ_p}
\end{align}
が分かる. 最後の等号はvon Staudt-Clausenの定理により, $pB_{2n}\in\ZZ_p$となることによる.
Maclaurin展開係数の評価
$a\in\ZZ_p$とする. 前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数
)の命題5は$x\in p\ZZ_p$に対し
\begin{align}
\Gamma_p(a+x)&=\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma_p^{(n)}(a)}{n!}x^n
\end{align}
とMaclaurin展開できるというものだった. その係数について, 以下が成り立つ.
$0\leq n< p$に対し, $\Gamma_p^{(n)}(a)\in\ZZ_p$が成り立つ.
まず,
\begin{align}
(\log_p\Gamma_p)'(0)&=\Gamma_p'(0)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{\Gamma_p(p^n)-1}{p^n}
\end{align}
である.
\begin{align}
\Gamma_p(p^n)\equiv \Gamma_p(0)=1\pmod{p^n}
\end{align}
であるから, $(\log_p\Gamma_p)'(0)\in\ZZ_p$である. 次に定理2より
\begin{align}
(\log_p\Gamma_p)^{(2m+1)}(0)&=-(2m-1)!\lambda_m\\
(\log_p\Gamma_p)^{(2m)}(0)&=0
\end{align}
である. ここで, von Saudt-Clausenの定理より$B_{2m}$の分母に$p$が現れるためには$p-1\mid 2m$である必要があるが, $2m+1< p$よりこれは起こらないので, $B_{2m}\in\ZZ_p$である. よって命題3より$\lambda_m\in\ZZ_p$となるから, 任意の$1\leq n< p$に対し$(\log_p\Gamma_p)^{(n)}(0)\in\ZZ_p$である.
\begin{align}
\Gamma_p(x)&=\exp_p(\log_p\Gamma_p(x))
\end{align}
が$x\in p\ZZ_p$で成り立つ. $\Gamma_p(0)=1$であり, $\Gamma_p^{(n)}(0)$は$(\log_p\Gamma_p)'(0),\dots,(\log_p\Gamma_p)^{(n)}(0)$の整数係数多項式である(Bell多項式で表される)から, $\Gamma_p^{(n)}(0)\in\ZZ_p$であることが分かる.
\begin{align}
\Gamma_p(x+1)&=\begin{cases}-x\Gamma_p(x)&& x\in\ZZ_p^{\times}\\
-\Gamma_p(x)&& x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
を$n$階微分して
\begin{align}
\Gamma_p^{(n)}(x+1)=\begin{cases}-x\Gamma_p^{(n)}(x)-n\Gamma_p^{(n-1)}(x)&&x\in\ZZ_p^{\times}\\
-\Gamma_p^{(n)}(x)&& x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
を得る. よって, これらと$n,x$に関する帰納法により, 自然数$x$に対して$\Gamma_p^{(n)}(x)\in \ZZ_p$が分かる. よって, $\Gamma_p^{(n)}$は連続で自然数全体は$\ZZ_p$で稠密なので, 任意の$x\in\ZZ_p$に対し$\Gamma_p^{(n)}(x)\in\ZZ_p$が成り立つことが分かる.
