p進数の解析学と実解析：積分編

解析学,p進数

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はじめに

　この記事では前回の記事に続いて $p$ 進関数の積分を実関数の積分と比較したりしながら解説していきます。
　内容は薄めです。

積分の定義

逆微分としての積分

　実解析における積分は、微分積分学の基本定理によって逆微分という重要な側面を持っていました。
$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
$\int_{a}^{x} \frac{d}{d t} f (t) d t = f (x) - f (a)$
そういうわけで $p$ 進関数の積分も逆微分というモチベーションから始めたいところなのですが、前回の記事で解説したように逆微分の不定性は定数関数の域に留まらないのでした。
$f^{'} (x) = g^{'} (x) \Rightarrow f (x) = g (x) + C (x) (C^{'} (x) = 0)$
つまるところ関数 $f (x)$ の $a$ から $x$ までの積分を
$\int_{a}^{x} f (x) d x = F (x) - F (a) (F^{'} (x) = f (x))$
と定めようにも、 $F$ の取り方によって $F (x) - F (a)$ の値が変わってしまうわけなのです。
　じゃあ $F$ の取り方を固定すればいいじゃないか、例えば
$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C o n s t .$
を基準として解析関数 $f (x)$ の不定積分を
$\int f (x) d x = \int (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n} + C o n s t .$
と定めれば良いだとか、前回の記事の定理7に倣って連続関数 $f (x)$ の不定積分を
$\int f (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} (x^{(n + 1)} - x^{(n)}) f (x^{(n)}) + C o n s t .$
と定めれば良いだとか考えたくなりますが、こうなってくると積分の積分としての本来の意味があやふやになってしまい本質的ではない(気がする)ので逆微分として積分を定めることはひとまず諦めることにしましょう。

リーマン積分からの考察

　とりあえず逆微分として積分を考えるには難があるとわかったところで、そもそもの実解析における積分の定義であるリーマン積分に立ち返ってみましょう。
　リーマン積分では区間 $[a, b]$ を無数の小区間 $[x_{n}, x_{n + 1}]$ に分割したときにリーマン和
$\sum_{n = 0}^{N} f (ξ_{n}) (x_{n + 1} - x_{n}) (ξ_{n} \in [x_{n}, x_{n + 1}])$
が近づく値を
$\int_{a}^{b} f (x) d x$
と定めたのでした。
　では $p$ 進関数に対しても同じようなプロセスで積分を構成してみましょう。

　まず区間 $Z_{p}$ を $p^{n}$ 個の小区間に分割します。
$Z_{p} = ⋃_{a = 0}^{p^{n} - 1} (a + p^{n} Z_{p})$
次に各小区間から代表元 $a \in a + p^{n} Z_{p}$ を選び、その点における値 $f (a)$ と $a + p^{n} Z_{p}$ の長さ(的なもの) $μ (a + p^{n} Z_{p})$ を掛け合わせてその和を取ります。
$\sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a) μ (a + p^{n} Z_{p})$
そして $n \to \infty$ と分割を細分化したときにこのリーマン和が近づく値を
$\int_{Z_{p}} f (x) d μ$
と定めます。
　ところで前々回の記事で紹介したように区間 $I$ の長さ(的なもの) $μ (I)$ を

平行移動に対する不変性： $μ (a + I) = μ (I)$
直和に対する加法性： $I \cap J = \emptyset \Rightarrow μ (I \cup J) = μ (I) + μ (J)$

で特徴付けたとき、 $μ (a + p^{n} Z_{p}) = p^{- n} μ (Z_{p})$ が成り立つのでした。そこで $μ (Z_{p}) = 1$ を単位としてこの長さ(的なもの)を定めたときの積分
$\int_{Z_{p}} f (x) d μ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a)$
のことをVolkenborn積分と言い、この記事では単に
$\int_{Z_{p}} f (x) d x$
と表すことにします。

　 $p$ 進関数の積分は定義しようと思えば色々な積分が考えられますが、この記事ではリーマン積分から自然に定義される積分としてVolkenborn積分のみを扱います。
　Volkenborn積分においてはリーマン積分と違って区間 $Z_{p}$ の分割の仕方が「 $p^{n}$ 等分」で固定されており任意性がありませんが、実際分割の仕方を任意に選んでしまうとその値が一意に定まらなくなってしまいます。例えば $f (x) = x$ の積分を考えると
$\int x d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} a = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \cdot \frac{p^{n} (p^{n} - 1)}{2} = - \frac{1}{2}$
と求められますが
$Z_{p} = (p^{n - 1} Z_{p}) \cup (⋃_{a = p}^{p^{n} - 1} (a + p^{n} Z_{p}))$
と分割して求めようとすると
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = p}^{p^{n} - 1} a = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} (\frac{p^{n} (p^{n} - 1)}{2} - \frac{p (p - 1)}{2})$
となり
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \cdot \frac{p (p - 1)}{2}$
は発散してしまうので値が定義できなくなります。
　代表元の取り方も $ξ_{a} = a \in a + p^{n} Z_{p}$ と固定されているのも同様の理由になります。実際
$\int_{Z_{p}} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a)$
が収束するとき $ξ_{0} = p^{n} \in p^{n} Z_{p}$ とすると
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 1}^{p^{n}} f (a) & = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a) + lim_{n \to \infty} \frac{f (p^{n}) - f (0)}{p^{n}} \\ = \int_{Z_{p}} f (x) d x + f^{'} (0) \end{aligned}$
と $f^{'} (0)$ だけのズレが出る(もしくは定義できない)ことになります。
　とりあえず $p$ 進関数の積分が定義できたので以下でその性質を見ていきましょう。

Volkenborn積分の性質

　とりあえずVolkenborn積分の持つ性質をざっと列挙していきます。

変換公式

線形性

$\int_{Z_{p}} (a f (x) + b g (x)) d x = a \int_{Z_{p}} f (x) d x + b \int_{Z_{p}} g (x) d x$

平行移動に対する変換公式

$\begin{array}{rcl} \int_{Z_{p}} f (x + m) d x & = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a + m) \\ = & lim_{n \to \infty} (\frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a) + \sum_{a = 0}^{m - 1} \frac{f (a + p^{n}) - f (a)}{p^{n}}) \\ = & \int_{Z_{p}} f (x) d x + \sum_{a = 0}^{m - 1} f^{'} (a) \end{array}$
(ただし $m$ は正整数で $f$ は $x = 0, 1, 2, \dots, m - 1$ において微分可能であるものとした。)

反転に対する変換公式

$\begin{array}{rcl} \int_{Z_{p}} f (- x) d x & = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} (\binom{- a}{k}) \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} ((\binom{- a + 1}{k + 1}) - (\binom{- a}{k + 1})) \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} ((\binom{1}{k + 1}) - (\binom{- (p^{n} - 1)}{k + 1})) \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} (a_{0} p^{n} + \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_{k} \frac{(p^{n} - 1) p^{n} (p^{n} + 1) \dots (p^{n} + k - 1)}{(k + 1)!}) \\ = & a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{a_{k}}{k (k + 1)} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} a_{k} + \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k - 1} \frac{a_{k}}{k} \\ = & \int_{Z_{p}} f (x) d x + f^{'} (0) \\ = & \int_{Z_{p}} f (x + 1) d x \end{array}$
ただし連続関数
$f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} (\binom{x}{k})$
に対し
$\int_{Z_{p}} f (x) d x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} a_{k}$
であること(後述)と
$f^{'} (0) = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k - 1} \frac{a_{k}}{k}$
であること( 前回の記事の定理1)を用いた。

区間の変換公式

　 $f$ の $a + p^{n} Z_{p} (0 \leq a \leq p^{n} - 1)$ における積分を特性関数
$1_{a + p^{n} Z_{p}} (x) = {\begin{array}{lc} 1 & x \in a + p^{n} Z_{p} \\ 0 & x \notin a + p^{n} Z_{p} \end{array}$
を用いて
$\int_{a + p^{n} Z_{p}} f (x) d x = \int_{Z_{p}} 1_{a + p^{n} Z_{p}} (x) f (x) d x$
と定めると、
$\begin{array}{rcl} \int_{a + p^{n} Z_{p}} f (x) d x & = & lim_{m \to \infty} \frac{1}{p^{m}} \sum_{\begin{array}{c} x \in a + p^{n} Z \\ 0 \leq x \leq p^{m} - 1 \end{array}} f (x) \\ = & lim_{m \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \cdot \frac{1}{p^{m - n}} \sum_{x = 0}^{p^{m - n} - 1} f (a + p^{n} x) \\ = & \frac{1}{p^{n}} \int_{Z_{p}} f (a + p^{n} x) d x \end{array}$

積分公式

単項式

　ファウルハーバーの公式
$\sum_{a = 0}^{n} a^{k} = \frac{1}{k + 1} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k + 1}{j + 1}) B_{k - j} n^{j + 1} (\frac{t}{e^{t} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!} t^{n})$
より
$\begin{array}{rcl} \int_{Z_{p}} x^{k} d x & = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} a^{k} \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{k + 1} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k + 1}{j + 1}) B_{k - j} p^{j n} = B_{k} \end{array}$
特に
$\int_{Z_{p}} (z + x)^{n} d x = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{n} z^{n - k} = B_{n} (z) (\frac{t e^{z t}}{e^{t} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n} (z)}{n!} t^{n})$

二項係数

$(\binom{x}{k}) = (\binom{x + 1}{k + 1}) - (\binom{x}{k + 1})$
より
$\begin{array}{rcl} \int_{Z_{p}} (\binom{x}{k}) d x & = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} (\binom{a}{k}) \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} ((\binom{p^{n}}{k + 1}) - (\binom{0}{k + 1})) \\ = & lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \cdot \frac{p^{n} (p^{n} - 1) \dots (p^{n} - k)}{(k + 1)!} = \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} \end{array}$

連続関数

$\int_{Z_{p}} f (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \int_{Z_{p}} (\binom{x}{n}) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} a_{n}$

解析関数

$\int_{Z_{p}} f (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \int_{Z_{p}} x^{n} d x = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} B_{n}$

奇関数

　 $f (- x) = - f (x)$ のとき反転に関する変換公式から
$\int_{Z_{p}} f (x) d x = - \frac{1}{2} f^{'} (0)$

指数関数

$\int_{Z_{p}} e^{x t} d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!} t^{n} = \frac{t}{e^{t} - 1}$

積分の存在

　上では積分の存在を仮定していましたがここで積分が存在する十分条件について確認しておきます。

　非負整数 $0 \leq k \leq p^{n} - 1$ に対して $k$ の $p$ 進展開を
$k = \sum_{i = 0}^{d_{k}} k_{i} p^{i} (k_{i} \in {0, 1, 2, \dots, p - 1}, k_{d_{k}} \neq 0)$
とすると
$(\binom{p^{n} - 1}{k}) \equiv (- 1)^{k} (\mod p^{n - d_{k}})$
が成り立つ。

　 $k$ についての数学的帰納法で示す。 $k = 0$ のときは自明。
$(\binom{p^{n} - 1}{k - 1}) \equiv (- 1)^{k - 1} (\mod p^{n - d_{k - 1}})$
が成り立つとき $d_{k} \geq d_{k - 1}$ に注意すると
$\begin{array}{rcl} (\binom{p^{n} - 1}{k}) & = & (\binom{p^{n}}{k}) - (\binom{p^{n} - 1}{k - 1}) \\ \equiv & (\binom{p^{n}}{k}) - (- 1)^{k - 1} (\mod p^{n - d_{k - 1}}) \\ \equiv & (\binom{p^{n}}{k}) + (- 1)^{k} (\mod p^{n - d_{k}}) \end{array}$
であって、また $p$ 進法における足し算 $(p^{n} - k) + k$ の繰り上がり回数は $n - v_{p} (k)$ である(これは $p^{n} = 100 \dots 00_{(p)}$ であることから容易にわかる)ので Kummerの定理より
$v_{p} ((\binom{p^{n}}{k})) = n - v_{p} (k) \geq n - d_{k}$
すなわち
$(\binom{p^{n} - 1}{k}) \equiv (\binom{p^{n}}{k}) + (- 1)^{k} \equiv (- 1)^{k} (\mod p^{n - d_{k}})$
を得る。

　連続関数 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{x}{n})$ が
$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n + 1} = 0$
を満たすとき $f$ の積分は存在し
$\int_{Z_{p}} f (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} a_{n}$
が成り立つ。

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a) - \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} a_{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} a_{k} (\binom{a}{k}) - \frac{(- 1)^{k}}{k + 1} a_{k}) \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{p^{n}} (\binom{p^{n}}{k + 1}) - \frac{(- 1)^{k}}{k + 1}) a_{k} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} ((\binom{p^{n} - 1}{k}) - (- 1)^{k}) \frac{a_{k}}{k + 1} \end{array}$
と変形したとき、補題1に注意して
${| (\binom{p^{n} - 1}{k}) - (- 1)^{k} |}_{p} \leq {\begin{cases} p^{- \frac{n}{2}} & 1 \leq k < p^{\frac{n}{2}} \\ 1 & p^{\frac{n}{2}} \leq k \end{cases}$
と評価すると
$\begin{array}{rcl} {| \sum_{k = 1}^{\infty} ((\binom{p^{n} - 1}{k}) - (- 1)^{k}) \frac{a_{k}}{k + 1} |}_{p} \\ \leq & max {p^{- \frac{n}{2}} max_{1 \leq k < p^{\frac{n}{2}}} {| \frac{a_{k}}{k + 1} |}_{p}, max_{p^{\frac{n}{2}} \leq k} {| \frac{a_{k}}{k + 1} |}_{p}} \\ \leq & max {p^{- \frac{n}{2}} max_{1 \leq k} {| \frac{a_{k}}{k + 1} |}_{p}, max_{p^{\frac{n}{2}} \leq k} {| \frac{a_{k}}{k + 1} |}_{p}} \to 0 (a s n \to \infty) \end{array}$
となるので
$\int_{Z_{p}} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n}} \sum_{a = 0}^{p^{n} - 1} f (a) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} a_{n}$
を得る。