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大学数学基礎解説
文献あり

p進数の解析学と実解析:微分編

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はじめに

 この記事では 前回の記事 に続いてp進関数の微分法を実関数の微分法と比較したりしながら解説していきます。

微分の性質

定義

 微分の定義は実解析でもp進解析でも同じで区間I上の関数fに対してxIにおける導関数f(x)
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
と定めます。また積の微分法や合成関数の微分法などはp進関数においても成り立ちます。
(f(x)g(x))=limh0(f(x+h)f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)g(x))h=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(g(x)))=limh0f(g(x+h))f(g(x))g(x+h)g(x)g(x+h)g(x)h=f(g(x))g(x)
また多項式関数の微分についても実解析と同じになります。
(xn)=nxn1ddx(xn)=k=0n(1)k1k(xnk)

各点での微分可能性

 さて 前回の記事 でMahlerの定理として示したように、p進解析では連続関数fは次のようなニュートン級数展開を持つのでした。
f(x)=n=0an(xn)(an=k=0n(1)nk(nk)f(k))
この表示においてx=0における微分を考えると以下の定理が成り立ちます。

タウバー型定理

 p進連続関数fx=0で微分可能であることと
limnann=0
となることは同値であり、そのとき
f(0)=n=1(1)n1ann
が成り立つ。

 これをなんとなくテイラー級数展開と比較してみると
f(x)=n=0Dnf(0)n!xnΔf(0)=f(1)f(0)=n=1Dnf(0)n!f(x)=n=0Δnf(0)n!xxDf(0)=n=1(1)n1Δnf(0)n
という感じになります。なんだか指数と対数のテイラー展開みたいな関係になっていますね。
 定理1の(微分可能性)(収束性)および後半の主張については
g(x)=f(x)f(0)x=n=1anx(xn)=n=0ann(x1n1)
とおいたとき
g(x+1)=n=0an+1n+1(xn)
は係数が0に収束することからMahlerの定理により連続であり
f(0)=limx0g(x)=n=1ann(1n1)=n=1(1)n1ann
といった具合に示せるので、あとは(微分可能性)(収束性)、つまり以下の主張を示せば十分となります。

 0に収束するp進数列anに対し極限
limx0n=1ann(x1n1)
が収束するならば
limnann=0
が成り立つ。

f(x)=n=1an(xn),g(x)=n=1ann(x1n1)=f(x)x
とおいたとき、an0の仮定よりMahlerの定理からfは連続であり、gx0において連続となる。またlimx0g(x)の収束性の仮定よりgx=0でも連続であるのでMahlerの定理からある0に収束するp進数列{bn}が存在して
g(x)=n=0bn(xn)
が成り立つ。このとき
f(x)=xg(x)=n=0bn((xn)+n)(xn)=n=0bn((n+1)(xn+1)+n(xn))=n=0n(bn1+bn)(xn)
よりan=n(bn1+bn)、特に
limnann=limn(bn1+bn)=0
を得る。

 ちなみに
limx0n=1ann(x1n1)
が収束するという仮定は
limZ>0x0n=1ann(x1n1)=limZ>0x0n=1xann(x1n1)
が収束する、というより弱い仮定に置き換えても十分であることが言えますが、それらが同値であることはZ>0Zpにおける稠密性から自明なので詳しくは触れません。

導関数のニュートン級数展開

 さて上で紹介してきた通り
f(0)=k=1(1)k1Δkf(0)k
が成り立っており、また 前回の記事 でも少し紹介したように
Δkf(x)=n=0an+k(xn)
が成り立つことに注意すると
f(x)=k=1(1)k1Δkf(x)k=n=0(k=1(1)k1an+kk)(xn)
と具体的に導関数を求めることができます。収束性を吟味すると正確には以下のようになります。

 pC1級関数、つまりZp上微分可能で導関数が連続であるような関数fについて
f(x)=n=0an(xn)(an=k=1(1)k1an+kk)
が成り立つ。特にlimnan=0である。

 仮定より各点において
f(x)=k=1(1)k1Δkf(x)k
は収束するので
limkΔkf(x)k=limkn=0an+kk(xn)=0
が成り立つ。これのx=0,1,2,の場合を考えていくと
Δkf(0)k=akk0Δkf(1)k=akk+ak+1kak+1k0Δkf(2)k=akk+2ak+1k+ak+2kak+2k0Δkf(n)k=j=0n1ak+jk(nj)+ak+nkak+nk0(k)
のようにしてn=0,1,2,に対して
limkak+nk=0
が成り立つ、つまり
an=k=1(1)k1an+kk
はそれぞれ収束することがわかる。
 よってxが非負整数のときには
f(x)=k=1(1)k1Δkf(x)k=k=1(1)k1kn=0xan+k(xn)=n=0x(k=1(1)k1an+kk)(xn)=n=0xan(xn)
と和の順序が交換でき、
Δkf(x)=n=0xan+k(xn)
特にΔkf(0)=akがわかる。
 そしてfは連続であったのでMahlerの定理より
f(x)=n=0Δnf(0)(xn)=n=0an(xn)
および
limnan=limnΔnf(0)=0
が成り立つことになる。

 この証明を見る限り連続関数fについて
an=k=1(1)k1an+kk
が収束し、limnan=0が成り立てば導関数f(x)が存在し連続関数を定めるようにも思えますが 参考にした文献 によると反例を以って否定的に解決しています。具体的にはこの仮定からは非負整数xに対して
limkΔkf(x)k=0
つまり
f(x)=k=1(1)k1Δkf(x)k
が存在することまでは言えますが、xZ0に対しては
limkΔkf(x)k=0
が成り立つかどうかまではわからないことが原因となっています(実際の反例も仮定のようなfであってf(1)f(2)が存在しないようなものが存在することを示しています)。

導関数の存在

 上で定理3の逆は必ずしも成り立たないと言いましたが、以下のような条件を満たす{an}に対してはC1級関数が定まることが知られています。

 p進数列{an}limnn|an|p=0を満たすとき、
f(x)=n=0an(xn)
C1級関数となる。

 この仮定はx=0における微分可能性の必要十分条件
limnann=limnanplogpn=0
の少し強い仮定
limnanplogpn=0
くらいの気持ちになっています。実際1plogpnlogpn<pなので
limnn|an|p=0limnplogpn|an|p=limn|anplogpn|p=0
が成り立っています。

|Δkf(x)k|p=|n=0an+kk(xk)|maxn|an+kk|pmaxnk|an+k|pmaxn(n+k)|an+k|p0(k)
0に一様収束するので
f(x)=k=1(1)k1Δkf(x)k
が存在し、また右辺は連続関数の一様収束極限なのでf(x)は連続関数を定める。
(f(x)Δkf(x)の連続性についてはMahlerの定理から明らか。)

 更に次の仮定を満たせば無限階微分可能性もわかります。

 p進数列{an}が任意のλ>0に対しlimnnλ|an|p=0を満たすとき、
f(x)=n=0an(xn)
C級関数(無限階微分可能)となる。

 f(x)が連続関数を定めることは定理4からわかるので後は
f(x)=n=0an(xn)
について任意のλ>0limnnλ|an|=0を満たすことを示せばよい。
 そのことは
nλ|an|p=nλ|k=1(1)k1an+kk|pnλmaxk|an+kk|pnλmaxkk|an+k|pnλmaxk(k+n)|an+k|pmaxk(k+n)λ+1|an+k|p0(n)
とわかる。

解析関数

 これまでp進連続関数の基本形としてニュートン級数
f(x)=n=0an(xn)
を使っていましたが、この節では実解析で慣れ親しんだ冪級数
f(x)=n=0cnxn
を扱っていきます。

解析関数

 Zp上で収束する冪級数展開
f(x)=n=0cnxn
を持つようなp進関数を解析関数という。

 簡単にわかるように上の冪級数が任意のxZpで収束するには
limncn=0
が必要十分条件となります。このときその冪級数は
|cnxn|p|cn|0(asn)
と一様収束するので連続関数となります。また
|f(x)f(y)xyn=0ncnxn1|p=|n=0cnxnynxyn=0ncnxn1|p=|n=0cn(k=0n1xk(yn1kxn1k))|p|xy|pmax0n|cn|p0(yx)
のように評価できるので
f(x)=n=0ncnxn1
がわかり、limn|ncn|plimn|cn|p=0に注意すると同様にして
f(k)(x)=n=kn!(nk)!cnxnk
C級になることがわかります。
 さてp進解析では解析的ならC級になることがわかりましたが、逆に複素解析のようにC級なら解析的であり
f(x)=n=0f(n)(0)n!xn
が成り立つなんてことが言えると嬉しいです。しかしそんなうまい話は流石に成り立たず、それには無数の反例が挙げられることになります。

 C級であるが解析的ではないようなp進関数が存在する。

 fが解析的であれば
f(x)=n=0cnxn=n=0an(xn)
においてanには常に"ある不等式"が成り立つのに対し、C級の十分条件(定理5)
limnnλ|an|p=0(λ>0)
を満たすようなものでその"ある不等式"を満たさないようなものが存在することを示せばよい。

解析性の必要条件

 冪級数の各項xnは第二種スターリング数{nk}Zを用いて
xn=k=0n{nk}xk=k=0n{nk}k!(xk)
とニュートン級数展開できるので
f(x)=n=0cnk=0n{nk}k!(xk)=k=0(n=k{nk}cn)k!(xk)=k=0ak(xk)
つまり
|ak|p=|(n=k{nk}cn)|p|k!|p|k!|pmaxkn|cn|p
と評価でき、またlimncn=0より十分大きいkに対しknならば|cn|p1が成り立つこと、およびルジャンドルの公式よりkp2において
vp(k!)=n=1kpnkp+1>kp
が成り立つことに注意すると十分大きいkに対し
|ak|p<pk/p
と評価することができる。

反例

an=pn/p
としたとき、これはC級の十分条件
limnnλ|an|p=limnpn/p+λlogpn=0(λ>0)
を満たすのに対し、解析性の必要条件|ak|p<pk/p (k0)
pk/ppk/p=|ak|p
より満たさない。

別証明

 下で示すように微分して0になる定数でない関数はC級ではあるがテイラー展開できない、つまり解析的ではない関数となる。
(こっちの方がかなり簡潔ですがC級だけど解析的ではない関数を生成するには上の方法の方がより広い結果が得られるので 参考文献 に倣って紹介しておきました。)

 以上のようにしてC級であっても解析的であるとは限らないことがわかりましたが、したがってC級というだけでは
f(x)=n=0f(n)(0)n!xn
という等式も成り立たないことになります(このことについては後で少し触れます)。ただ、解析的な関数については
f(k)(0)=n=kn!(nk)!cn0nk=k!ck
からcn=f(n)(0)n!が成り立つので安心してください。

逆微分の性質

"ほぼ定数"な関数

 さて微分の性質がわかってきたところで次は逆微分の性質について考えていきます。
 まずは基本的な方程式f(x)=0を考えたいところですが、直感的には定数関数しか存在しないように思えます。しかしそうはならないのがp進解析、全然定数でない関数もf(x)=0を満たすことになります。

具体例1

 例えば連続関数f:ZpZpp進展開
f(x)=n=0fn(x)pn
を途中で打ち切った関数
g(x)=n=0sfn(x)pn
前回の記事 でも見たようにある非負整数tがあって|xy|pptならばg(x)=g(y)が成り立つので
g(x)=limyxg(x)g(y)xy=0
ということになります。

具体例2

 またlimn(ωnn)=なる正整数列(ωn=n2とか)
1ω1<ω2<ω3<
を取ったとき、xZpp進展開
x=n=0xnpn
に対し
f(x)=n=0xnpωn
を返す関数fを考えると、任意の非負整数tに対し|xy|pptならば|f(x)f(y)|pωtが成り立ち
|f(x)f(y)xy|pp(ωtt)0(t)
よりf(x)=0ということになります。

具体例3

 f(x)=0を満たすような関数とC1級関数Fに対し
g(x)=F(f(x)),f(F(x))
g(x)=0を満たすことになります。
ddxF(f(x))=F(f(x))f(x)=F(f(x))0=0ddxf(F(x))=f(F(x))F(x)=0F(x)=0
この性質を考えると微分して0になる"ほぼ定数"な関数が無限に得られることになります( 参考にした文献 が"almost constant" functionと表現しているだけで、内実は全然定数的ではないですが...)。

考察

 結局のところ方程式f(x)=0の一般解ってどうなるの?といったところですが、それに対する明確な答えは出せないみたいです。
 というのもC1級関数
f(x)=n=0an(xn)
f(x)=0を満たすには
limnan=0
および未知数および方程式の本数が無限個の線形方程式
k=0(1)k1an+kk=0(n=0,1,2,)
を解く必要があり、それだけでも難しい上に(定理3の逆が常には成り立たないと言及したように)その二つの条件を満たすような{an}に対しf(x)C1級関数を定めるとは限らないので困難を極めている。といった具合なわけです。

逆微分の存在

 とりあえず逆微分の不定性についてはおいておくとして、一般の微分方程式F(x)=f(x)には常に解が存在することを紹介していきます。

 連続関数fに対してF=fなる連続関数Fが常に存在する。特にxZpp進展開
x=k=0xkpk
に対し
x(n)=k=0nxkpk
と定めたとき、任意の非負整数sに対して
Fs(x)=n=s(x(n+1)x(n))f(x(n))
Fs(x)=f(x)を満たす。

 Fsが連続関数を定めることは有界性原理より
|(x(n+1)x(n))f(x(n))|p(n+1)M0
と一様に0に収束することから( 前回の記事 の定理5より)わかります。
 また
Fs(x)=n=s(x(n+1)x(n))(f(x(n))f(x))+f(x)n=s(x(n+1)x(n))=n=s(x(n+1)x(n))(f(x(n))f(x))+(xx(s))f(x)
なのでfの一様連続性から任意の整数sに対して|xy|pptならば|f(x)f(y)|ppsとなるような整数t>sを取ると|xy|p=p(t+1)ptにおいて
|Fs(x)Fs(y)xyf(x)|p=|1xy(n=t(x(n+1)x(n))(f(x(n))f(x))+n=t(y(n+1)y(n))(f(y(n))f(y)))|p1|xy|pmaxtn{|(x(n+1)x(n))(f(x(n))f(x))|p,|(y(n+1)y(n))(f(y(n))f(y))|p}pt+1maxtn{p(n+1)ps,p(n+1)ps}=pt+1p(t+1)ps=ps
となるのでFs(x)=f(x)を得る。
 ただし|xy|p=p(t+1)において
x(n)=y(n)(0nt)
となることおよび
|xx(n)|pp(n+1)
であることを用いた。

 以上により微分方程式y=f(x)p進数の世界で解くと
y=F0(x)+C(x)(C(x)=0)
が一般解ということになります。

色々成り立たないp進解析

 上でp進解析ではテイラー級数展開ができないといったことを話しましたが、同様に実解析(複素解析)では成り立ってp進解析では成り立たない定理について軽く掘り下げていきます。
 実解析には
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

有界性定理

最大値最小値定理

ロルの定理

平均値の定理

テイラーの定理、ロピタルの定理、etc...

という一つの流れのようなものがありますが、p進数は順序体という構造を持たないので上限や下限が定義できず、最大値最小値定理から成り立たないことになります(これは複素解析と全く同じ事情となっています)。そこで実際にロルの定理やテイラー級数展開が成り立たないことを見ていきましょう。

ロルの定理

 ロルの定理とはざっくり言うと
"f(a)=f(b)ならばあるc(a,b)が存在してf(c)=0を満たす"
という定理でしたが、p進解析では
"f(a)=f(b)だが任意のcZpに対してf(c)0が成り立つ"
という反例が存在します。

 xp(p3)はロルの定理の反例となる。

 xpx=0,1,2,,p1において同じ値=0を持つのであとは任意のxZpに対して(xp)0となることを示せばよい。
 そのことは
ddxxp=n=0p1k=0knp1(xk)
Zp係数の多項式であることからxx0(modp)なるx0=0,1,2,,p1に対して
ddxxpn=0p1k=0knp1(x0k)i=0p1j=0jip1j=j=1p1j0(modp)
が成り立つので、特に
ddxxp0
がわかる。

テイラー級数展開

 複素解析では無限階微分可能な関数fについて
f(x)=n=0f(n)(0)n!xn
が成り立ちましたが、p進解析では「任意のnZ0に対してf(n)(0)=g(n)(0)が成り立つがf(x)g(x)となる」という反例があります。
 これについては上でも示したように微分して0になる定数でない関数h(x)が存在するのでg(x)=f(x)+h(x)h(0)
とおけばg(0)=f(0)かつ任意のnZ1g(n)(x)=f(n)(x)が成り立つのに対してf(x)g(x)が成り立つことからこのf(x),g(x)がその反例となります。特にh(x)のテイラー級数は定数関数h(0)ということになってh(x)が定数関数でないことに矛盾しますね(これはつまりh(x)C級ではあるが解析的ではない関数だということも意味しています)。

参考文献

[1]
Kurt Mahler, Introduction to p-adic numbers and their functions, Cambridge University Press, 1973, pp.62-86
投稿日:2021629
更新日:202457
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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  2. 微分の性質
  3. 定義
  4. 各点での微分可能性
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  6. 導関数の存在
  7. 解析関数
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  9. "ほぼ定数"な関数
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  12. ロルの定理
  13. テイラー級数展開
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