p進数の解析学と実解析：連続関数編

実数列の場合

　仮定のような数列$\{a_n\}$について
$$m=\inf_n a_n,\quad M=\sup_n a_n,\quad I_0=[m,M]$$
とおく。このとき$I_0$の分割
$$\l[m,\frac{m+M}{2}\r],\l[\farc{m+M}{2},M\r]$$
のどちらか一方は無限に項を含んでいるのでそのような一方を$I_1$とおく。同様に$I_n$の分割に対して無限に項を含む一方を$I_{n+1}$としていくとこれはある一点$\a$に収束する。
$$\lim_{n\to\infty}I_n=\bigcap^\infty_{n=0}I_n=\{\a\}$$
ここで$I_k$からそれぞれ(添え字の重複の無いよう)任意に項を一つ取り$a_{n_k}$とおくと、$\{a_n\}$の部分列$\{a_{n_k}\}$は$\a$に収束する数列となる。

$p$進数列の場合

　仮定のような数列$\{a_n\}$について簡単のため$a_n\in\Z_p$であるものとすると、$I_0=\Z_p$の分割
$$p\Z_p,\ 1+p\Z_p,\ 2+p\Z_p,\ \ldots,\ (p-1)+p\Z_p$$
のうちどれか一つは無限に項を含むのでそのような一つを$I_1=c_1+p\Z_p$とおく。また$I_1$の分割
$$c_1+p^2\Z_p,\ (c_1+p)+p^2\Z_p,\ (c_1+2p)+p^2\Z_p,\ \ldots,\ (c_1+(p-1)p)+p^2\Z_p$$
のうちどれか一つは無限に項を含むのでそのような一つを$I_2=(c_1+c_2p)+p^2\Z_p$とおく。同様に$I_n$の分割に対して無限に項を含む一つを$I_{n+1}=(\sum^n_{k=1}c_kp^{k-1})+p^n\Z_p$としていくとこれはある一点$\a=\sum^\infty_{k=1}c_kp^{k-1}$に収束する。
　ここで$I_k$からそれぞれ(添え字の重複の無いよう)任意に項を一つ取り$a_{n_k}$とおくと、$\{a_n\}$の部分列$\{a_{n_k}\}$は$\a$に収束する数列となる。

　実数または$p$進数$x$に対して$\|x\|$を対応する絶対値とする(つまり$x$が実数なら$\|x\|=|x|$、$x$が$p$進数なら$\|x\|=|x|_p$)。
　有界閉区間$I$上の連続関数$f$が一様連続でないと仮定すると一様連続の定義より
$$\exists\e>0,\;\forall\d>0,\;\exists x,y\in I,\;(\|x-y\|<\d)\land(\|f(x)-f(y)\|>\e)$$
となるので、そのような$\e$に対し
$$(\|x_n-y_n\|<\tfrac1{p^n})\land(\|f(x_n)-f(y_n)\|>\e)$$
なる$x_n,y_n\in I$を取るとボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理から収束部分列$x_{n_k}$が取れ、その収束先を$a$とおくと
$$0\leq\lim_{k\to\infty}\|x_{n_k}-y_{n_k}\|\leq\lim_{k\to\infty}\frac1{p^{n_k}}=0$$
なので
$$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}y_{n_k}=a$$
となるが、$f$の連続性より
$$0<\e\leq\lim_{k\to\infty}|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|=|f(a)-f(a)|=0$$
となって矛盾。よって主張を得る。

　主張が成り立たないと仮定すると任意の$n\in\Z_{\geq0}$に対し
$$\|f(x_n)\|>p^n$$
なる$x_n$が存在することになる。これの収束部分列$\{x_{n_k}\}$を取り
$$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0$$
とおくと$f$の連続性より
$$\|f(x_0)\|=\lim_{k\to\infty}\|f(x_{n_k})\|>\lim_{k\to\infty}p^{n_k}=\infty$$
となるが$f(x_0)$は有限であることに矛盾。よって主張を得る。

　(左)$\Leftarrow$(右)は収束列はコーシー列であることから
$$0=\lim_{n\to\infty}\l|\sum^n_{k=0}a_k-\sum^{n-1}_{k=0}a_k\r|_p=\lim_{n\to\infty}|a_n|_p$$
とわかる。
　(左)$\Rightarrow$(右)は任意の$\e>0$にある$N\in\N$が存在して$n\geq N$ならば$|a_n|_p<\e$となるので$n>m\geq N$において
$$\l|\sum^n_{k=0}a_k-\sum^m_{k=0}a_k\r|_p\leq\max_{m< k\leq n}|a_k|_p<\e$$
とコーシー性が成り立つことからわかる。

　(左)$\Leftarrow$(右)は一様収束の定義から$n>N$において任意の$x\in\Z_p$に
$$|S_n(x)-S_{n-1}(x)|_p=|f_n(x)|_p<\e$$
が成り立つことからわかる。
　(左)$\Rightarrow$(右)は$n\geq N$ならば任意の$x\in\Z_p$に$|f_n(x)|_p<\e$となるので$n>m\geq N$において
$$\l|S_m(x)-S_n(x)\r|_p\leq\max_{m< k\leq n}|f_k(x)|_p<\e$$
が成り立つことからわかる。

　任意に$x_0\in I,\e>0$を取ったとき、$f_n$の一様収束性から任意の$x\in I$に対し
$$\|f(x)-f_N(x)\|<\frac\e3$$
なる自然数$N$が取れ、また$f_N$の連続性から$\|x-x_0\|<\d$ならば
$$\|f_N(x)-f_N(x_0)\|<\frac\e3$$
となるような$\d>0$が取れる。
　このとき$\|x-x_0\|<\d$において
$$\|f(x)-f(x_0)\|\leq\|f(x)-f_N(x)\|+\|f_N(x)-f_N(x_0)\|+\|f_N(x_0)-f(x_0)\|<\e$$
が成り立つので$f$は$I$上連続であることが示された。

　$p$進整数$x$に対して$x$に収束する非負整数列$\{x_n\}$を取ると、$\binom xk$は整数$\binom{x_n}k$の極限として表せるので$p$進整数である。特に$\l|\binom xk\r|_p\leq1$が成り立つ。よって$x$に依らず
$$\lim_{n\to\infty}\l|b_n\binom xk\r|_p\leq\lim_{n\to\infty}|b_n|_p=0$$
と$0$に一様収束するので定理6より$g$も一様収束する。
　また部分和$\sum^n_{k=0}b_k\binom xk$は多項式関数なので連続であり、定理7より$g$も連続となる。

$g(x)$の定義

　有界性定理より任意の$x\in\Z_p$に対し
$$|f(x)|_p\leq p^n$$
なる整数$n$が存在するので、$p^nf(x)$を改めて$f(x)$と置くことで
$$|f(x)|_p\leq 1$$
としてよい。このとき$f(x)\in\Z_p$であることに注意する。
　また任意に非負整数$s$を取って固定し$f(x)\in\Z_p$の$p$進展開
$$f(x)=\sum^\infty_{n=0}f_n(x)p^n\quad(f_n(x)\in\{0,1,2,\ldots,p-1\})$$
に対して$p$進関数$g(x)$を
$$g(x)=\sum^{s-1}_{n=0}f_n(x)p^n$$
と定める。このとき$|f(x)-g(x)|_p\leq p^{-s}$であることに注意する。
　定理1より$f$は$\Z_p$上一様連続であったので
$$|x-y|_p\leq p^{-t}\Rightarrow |f(x)-f(y)|_p\leq p^{-s}$$
なる整数$t$が存在し、このとき$|x-y|_p\leq p^{-t}$ならば
\begin{eqnarray} |g(x)-g(y)|_p&=&|(g(x)-f(x))+(f(x)-f(y))+(f(y)-g(y))|_p \\&\leq&\max\{|g(x)-f(x)|_p,|f(x)-f(y)|_p,|f(y)-g(y)|_p\}\leq p^{-s} \end{eqnarray}
となるが、定義より$0\leq g(x)\leq p^s-1$であったので$g(x)=g(y)$でなければならないことがわかる。
　特に$y=x+p^t$とすると
$$g(x+p^t)=g(x)$$
つまり$g$は周期$p^t$の関数ということになる。

$b_n$の収束性

　さて$g$が周期$p^t$の関数ということは$\o=\exp(2\pi i/p^t)$を用いて
$$g(n)=\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m\o^{mn}\quad\l(\la_m=\frac1{p^t}\sum^{p^t-1}_{n=0}g(n)\o^{-mn}\r)$$
と離散フーリエ展開することができる。このとき$g$のニュートン級数展開の係数を$b_n$とおくと
\begin{eqnarray} b_n&=&\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nkg(k) \\&=&\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m\o^{mk} \\&=&\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk\o^{mk} \\&=&\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m(\o^m-1)^n \end{eqnarray}
となるので
\begin{alignat}{3} \la_m&=\frac1{p^t}\sum^{p^t-1}_{n=0}g(n)\o^{-mn}&&\in\frac1{p^t}\Z[\o]\\ \frac{\o^m-1}{\o-1}&=\sum^{m-1}_{k=0}\o^k&&\in\Z[\o]\\ p&=\Phi_{p^t}(1)\\ &=(\o-1)^{\varphi(p^t)}\prod^{p^t-1}_{\substack{k=1\\p\nmid k}}\farc{\o^k-1}{\o-1} &&\in(\o-1)^{p^{t-1}(p-1)}\Z[\o]^\times \end{alignat}
(最後の式については この記事 の補題4辺りを参照)つまり
$$|\la_m|_p\leq p^t,\quad \l|\frac{\o^m-1}{\o-1}\r|_p\leq 1,\quad |\o-1|_p=p^{-\farc1{p^{t-1}(p-1)}}$$
に注意すると
\begin{align} |b_n|_p &=\l|\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m(\o^m-1)^n\r|_p\\ &\leq\max_{0\leq m\leq p^t-1}\l|\la_m\cdot\l(\frac{\o^m-1}{\o-1}\r)^n\cdot(\o-1)^n\r|_p\\ &\leq p^t|\o-1|_p^n=p^{t-\farc{n}{p^{t-1}(p-1)}} \end{align}
がわかる。特に十分大きい任意の$n$に対し$|b_n|\leq p^{-s}$が成り立つ(具体的には$n\geq (s+t)p^{t-1}(p-1)$であればよい)。

結論

　最後に$\binom nk\in\Z$つまり$\l|\binom nk\r|_p\leq1$に注意すると
\begin{eqnarray} |a_n-b_n|_p&=&\l|\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk(f(k)-g(k))\r|_p \\&\leq&\max_{0\leq k\leq n}\l\{\l|\binom nk\r|_p\cdot|f(k)-g(k)|_p\r\}\leq p^{-s} \end{eqnarray}
が成り立つので十分大きい任意の$n$に対して
\begin{eqnarray} |a_n|&=&|(a_n-b_n)+b_n|_p \\&\leq&\max\{|a_n-b_n|_p,|b_n|_p\}\leq p^{-s} \end{eqnarray}
と評価でき、$s$は任意であったことから
$$\lim_{n\to\infty}a_n=0$$
を得る。