大学数学基礎解説

文献あり

p進数の解析学と実解析：連続関数編

解析学,p進数

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はじめに

　この記事では$p$進数から$p$進数への関数$f:\Z_p\to\Q_p$を対象とした解析学:$p$進解析について、実解析の理論と比較したりしながら解説していきます。

区間と連続関数

$p$進数の区間

　実解析や複素解析において関数の定義域は$\R$や$\C$ではなく一般に区間$I\subset\R$や領域$D\subset\C$とすることが多いです。また基本的な区間や領域として『ある点からの距離が$r$以下である点の集合』こと円という図形があります。
\begin{eqnarray} I&=&\{x\in\R\mid|x-a|\leq r\}&&(=[a-r,a+r]) \\D&=&\{z\in\C\mid|z-\a|\leq r\} \end{eqnarray}
となると$p$進解析においても同様に円という図形を基本的な領域として考えたくなります。
$$I=\{x\in\Q_p\mid|x-a|_p\leq p^{-n}\}=a+p^n\Z_p$$
このような領域のことを$p$進解析において(有界閉)区間と言います。
　以下簡単のため$p$進関数$f:I=a+p^n\Z_p\to\Q_p$について$\ol f:x\mapsto f(a+p^nx)$を改めて$f$とおくことで$I=\Z_p$であるものとします。

呼称について

　$I=a+p^n\Z_p$のことを区間と呼ぶのはこれの体積(的なもの)が一次元的な量を持つことから正当化でき(ると思い)ます。
　$p$進数の区間$I$に対して定まる量$\mu(I)\in\R_{\geq0}$を体積的なもの(ハール測度)とみなすにはざっくり以下の要件を満たす必要があります。

平行移動に対する不変性:$\mu(a+I)=\mu(I)$
直和に対する加法性:$I\cap J=\emptyset\Rightarrow\mu(I\cup J)=\mu(I)+\mu(J)$

そして$\Z_p/p\Z_p\simeq\Z/p\Z$からわかるように
$$\Z_p=\bigcup_{a=0}^{p-1}(a+p\Z_p)$$
と直和分解できるのでその体積的なものについて
$$\mu(\Z_p)=\sum^{p-1}_{a=0}\mu(a+p\Z_p)=\sum^{p-1}_{a=0}\mu(p\Z_p)=p\cdot\mu(p\Z_p)$$
つまり
$$\mu(p\Z_p)=p^{-1}\mu(\Z_p)=|p|_p\mu(\Z_p)$$
が成り立ちます。また一般には同様にして
$$\mu(a\Z_p)=|a|_p\mu(\Z_p)\quad(\forall a\in\Q_p)$$
が成り立ちます。
　一般にユークリッド空間$\R^n$や複素数平面$\C\simeq\R^2$においては領域$D$の体積$\mu(D)$とその定数倍$aD=\{ax\in\R^n\mid x\in D\}$の体積$\mu(aD)$には
$$\mu(aD)=|a|^n\mu(D)$$
という関係が成り立つことを考えると$I=a+p^n\Z_p$は一次元的な領域であると捉えられると思います。

連続と一様連続

　実解析において関数$f$が区間$I$において連続であるとは、$I$の任意の点$x_0$において
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$
が成り立つ、あるいは同じことですが
$$\forall x_0\in I,\;\forall\e>0,\;\exists\d>0,\;\forall x\in I\big[|x-x_0|<\d\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\e\big]$$
が成り立つことを言い、また$I$において一様連続であるとは
$$\forall\e>0,\;\exists\d>0,\;\forall x,y\in I\;\big[|x-y|<\d\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\e\big]$$
が成り立つことを言いました。これは$p$進解析においても全く同じなので省略します。
　実解析においては有界閉区間上連続であることと一様連続であることが同値であることが知られていますが、それは$p$進解析においても同じことを言うことができます。一様連続$\Rightarrow$連続は定義より明らかなので以下の主張を示すことでその同値性を確かめることができます。

　有界閉区間上の連続関数は一様連続である。

　これの実解析と$p$進解析における証明は非常に似ているどころか全く同じなので同時に証明していきます。

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

　有界な数列は収束部分列を持つ。

実数列の場合

　仮定のような数列$\{a_n\}$について
$$m=\inf_n a_n,\quad M=\sup_n a_n,\quad I_0=[m,M]$$
とおく。このとき$I_0$の分割
$$\l[m,\frac{m+M}{2}\r],\l[\farc{m+M}{2},M\r]$$
のどちらか一方は無限に項を含んでいるのでそのような一方を$I_1$とおく。同様に$I_n$の分割に対して無限に項を含む一方を$I_{n+1}$としていくとこれはある一点$\a$に収束する。
$$\lim_{n\to\infty}I_n=\bigcap^\infty_{n=0}I_n=\{\a\}$$
ここで$I_k$からそれぞれ(添え字の重複の無いよう)任意に項を一つ取り$a_{n_k}$とおくと、$\{a_n\}$の部分列$\{a_{n_k}\}$は$\a$に収束する数列となる。

$p$進数列の場合

　仮定のような数列$\{a_n\}$について簡単のため$a_n\in\Z_p$であるものとすると、$I_0=\Z_p$の分割
$$p\Z_p,\ 1+p\Z_p,\ 2+p\Z_p,\ \ldots,\ (p-1)+p\Z_p$$
のうちどれか一つは無限に項を含むのでそのような一つを$I_1=c_1+p\Z_p$とおく。また$I_1$の分割
$$c_1+p^2\Z_p,\ (c_1+p)+p^2\Z_p,\ (c_1+2p)+p^2\Z_p,\ \ldots,\ (c_1+(p-1)p)+p^2\Z_p$$
のうちどれか一つは無限に項を含むのでそのような一つを$I_2=(c_1+c_2p)+p^2\Z_p$とおく。同様に$I_n$の分割に対して無限に項を含む一つを$I_{n+1}=(\sum^n_{k=1}c_kp^{k-1})+p^n\Z_p$としていくとこれはある一点$\a=\sum^\infty_{k=1}c_kp^{k-1}$に収束する。
　ここで$I_k$からそれぞれ(添え字の重複の無いよう)任意に項を一つ取り$a_{n_k}$とおくと、$\{a_n\}$の部分列$\{a_{n_k}\}$は$\a$に収束する数列となる。

定理1の証明

　実数または$p$進数$x$に対して$\|x\|$を対応する絶対値とする(つまり$x$が実数なら$\|x\|=|x|$、$x$が$p$進数なら$\|x\|=|x|_p$)。
　有界閉区間$I$上の連続関数$f$が一様連続でないと仮定すると一様連続の定義より
$$\exists\e>0,\;\forall\d>0,\;\exists x,y\in I,\;(\|x-y\|<\d)\land(\|f(x)-f(y)\|>\e)$$
となるので、そのような$\e$に対し
$$(\|x_n-y_n\|<\tfrac1{p^n})\land(\|f(x_n)-f(y_n)\|>\e)$$
なる$x_n,y_n\in I$を取るとボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理から収束部分列$x_{n_k}$が取れ、その収束先を$a$とおくと
$$0\leq\lim_{k\to\infty}\|x_{n_k}-y_{n_k}\|\leq\lim_{k\to\infty}\frac1{p^{n_k}}=0$$
なので
$$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}y_{n_k}=a$$
となるが、$f$の連続性より
$$0<\e\leq\lim_{k\to\infty}|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|=|f(a)-f(a)|=0$$
となって矛盾。よって主張を得る。

　ちなみに実関数でも$p$進関数でも定理$1$が成り立つのは偶然ではなく、実はハイネ・カントールの定理として一般の距離空間上の関数でも同じことが言えることが知られています(詳しくは Wikipedia 参照)。
　最後に実連続関数と$p$進連続関数に共通する基本的な性質として有界性定理を紹介しておきます。

有界性定理

　有界閉区間上の連続関数$f$は有界である。

　主張が成り立たないと仮定すると任意の$n\in\Z_{\geq0}$に対し
$$\|f(x_n)\|>p^n$$
なる$x_n$が存在することになる。これの収束部分列$\{x_{n_k}\}$を取り
$$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0$$
とおくと$f$の連続性より
$$\|f(x_0)\|=\lim_{k\to\infty}\|f(x_{n_k})\|>\lim_{k\to\infty}p^{n_k}=\infty$$
となるが$f(x_0)$は有限であることに矛盾。よって主張を得る。

級数の収束と関数の一様収束

　ここで次の話に進む前にそこで扱う級数や一様収束の話について触れておきます。知っての通り$p$進数における級数の収束する必要十分条件は以下のように非常に単純なものとなっています。

　$p$進数列$a_n$について、$a_n$が$0$に収束することと級数$\sum^\infty_{n=0}a_n$が収束することは同値である。

　(左)$\Leftarrow$(右)は収束列はコーシー列であることから
$$0=\lim_{n\to\infty}\l|\sum^n_{k=0}a_k-\sum^{n-1}_{k=0}a_k\r|_p=\lim_{n\to\infty}|a_n|_p$$
とわかる。
　(左)$\Rightarrow$(右)は任意の$\e>0$にある$N\in\N$が存在して$n\geq N$ならば$|a_n|_p<\e$となるので$n>m\geq N$において
$$\l|\sum^n_{k=0}a_k-\sum^m_{k=0}a_k\r|_p\leq\max_{m< k\leq n}|a_k|_p<\e$$
とコーシー性が成り立つことからわかる。

　そして関数項級数が一様収束する必要十分条件についても全く同じことが言えます。

　$p$進関数列$f_n$について、$f_n$が$I$上$0$に一様収束することと級数$\sum^\infty_{n=0}f_n(x)$が$I$上一様収束することは同値である。

　一応一様収束の定義を確認しておくと
$$\forall\e>0,\;\exists N\in\N,\;\forall x\in I,\;\forall m,n\in\N\; \big[m,n\geq N\Rightarrow\|f_m(x)-f_n(x)\|<\e\big]$$
が成り立つとき関数列$\{f_n\}$は$I$上一様収束すると言います。また級数$\sum^\infty_{n=0}f_n(x)$が一様収束するとは
$$S_n(x)=\sum^n_{k=0}f_k(x)$$
が$I$上一様収束するをことを言います。

　(左)$\Leftarrow$(右)は一様収束の定義から$n>N$において任意の$x\in\Z_p$に
$$|S_n(x)-S_{n-1}(x)|_p=|f_n(x)|_p<\e$$
が成り立つことからわかる。
　(左)$\Rightarrow$(右)は$n\geq N$ならば任意の$x\in\Z_p$に$|f_n(x)|_p<\e$となるので$n>m\geq N$において
$$\l|S_m(x)-S_n(x)\r|_p\leq\max_{m< k\leq n}|f_k(x)|_p<\e$$
が成り立つことからわかる。

　ついでに思い付きで書くと
$$a_n=a_0+\sum^n_{k=0}(a_{k+1}-a_k)$$
と表せることから次のような主張が成り立ちます。

定理4,5

　$p$進数列$a_n$が収束することと$\dis\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$が成り立つことは同値である。
　$p$進関数列$f_n$が$I$上一様収束することと$f_{n+1}-f_n$が$I$上$0$に一様収束することは同値である。

　最後に関数列が一様収束することの嬉しさを一つ紹介しておきます。

　連続関数列$f_n$が$I$上一様収束するとき、その収束先$f$も$I$上連続である。

　これも実解析と$p$進解析において本質的に同じなので統一的に証明します。

ニュートン級数展開

マーラーの定理

　良く知られているように任意の$p$進数は非負整数列の極限として表すことができます。
$$\Z_p\ni a=\sum^\infty_{k=0}a_kp^k=\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=0}a_kp^k\quad(a_k\in\{0,1,2,\ldots,p-1\})$$
したがって$p$進連続関数$f$について$f(0),f(1),f(2),\ldots$の値がわかっていれば
$$f(a)=f\l(\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=0}a_kp^k\r)=\lim_{n\to\infty}f\l(\sum^n_{k=0}a_kp^k\r)$$
として任意の$p$進数$a\in\Z_p$における値も定まることになります。
　そして実際$f(0),f(1),f(2),\ldots$の値から明示的に$f(x)$の値を求める公式が存在しており、それをMahlerの定理と言います。

Mahlerの定理

　$p$進関数$f$が連続であることと
$$a_n:=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nkf(k)\to0\quad(n\to\infty)$$
となることは同値であり、そのとき
$$f(x)=\sum^\infty_{n=0}a_n\binom xn$$
が成り立つ。ここで$\binom xn$は一般化二項係数
$$\binom xn=\frac{x^{\ul n}}{n!}=\farc{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}{n!}$$
とした。

実解析との比較

　この公式は差分作用素
$$\D g(x)=g(x+1)-g(x)$$
を用いると
$$f(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{\D^nf(0)}{n!}x^{\ul n}$$
と表せ(この左辺のことをニュートン級数と言う)、実解析におけるテイラー展開
$$f(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{D^nf(0)}{n!}x^n$$
に類似になっていることがわかります($D$は微分作用素$Df(x)=f'(x)$とした)。
　ついでに言うと
\begin{eqnarray} D\frac{x^n}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}&\longleftrightarrow&\D\frac{x^{\ul n}}{n!}=\frac{x^{\ul{n-1}}}{(n-1)!} \\Df(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{D^{n+1}f(0)}{n!}x^n&\longleftrightarrow&\D f(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{\D^{n+1}f(0)}{n!}x^{\ul n} \end{eqnarray}
という類似が成り立ちます。
　なお複素解析においてニュートン級数展開が成立するにはカールソンの定理のような強い仮定が必要らしいですが、Mahlerの定理は$p$進関数においては連続であるという弱い仮定で十分であることを主張しています。

二項変換

　ちなみに$x=n\in\Z_{\geq0}$のときは
$$f(n)=\sum^\infty_{k=0}\binom nka_k=\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}a_k$$
と有限和になり、これは湧水さんの記事でも紹介されているような有名な変換公式
$$a_n=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nkb_k\iff b_n=\sum^n_{k=0}\binom nka_k$$
に他なりません。

証明のあらすじ

　まず$0$に収束する$p$進数列$b_n$に対し
$$g(x)=\sum^\infty_{n=0}b_n\binom xn$$
は$\Z_p$上一様収束する、特に連続であることを示す。
　次に$p$進連続関数$f$に対し
$$a_n=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nkf(k)$$
は$0$に収束することを示す。これにより
$$f^*(x)=\sum^\infty_{n=0}a_n\binom xn$$
は連続関数を定めることがわかる。
　また上で言及したように$x\in\Z_{\geq0}$において$f(x)-f^*(x)=0$であったことから
$$\lim_{\Z_{\geq0}\ni x\to x_0}(f(x)-f^*(x))=f(x_0)-f^*(x_0)=0$$
つまり
$$f(x)=f^*(x)=\sum^\infty_{n=0}a_n\binom xn$$
が得られる。といった具合になります。

証明

　上のあらすじで紹介したように、示すべき事実は以下の二つとなります。

　$0$に収束する$p$進数列$b_n$に対し
$$g(x)=\sum^\infty_{n=0}b_n\binom xn$$
は$\Z_p$上一様収束する。特に連続である。

　$p$進整数$x$に対して$x$に収束する非負整数列$\{x_n\}$を取ると、$\binom xk$は整数$\binom{x_n}k$の極限として表せるので$p$進整数である。特に$\l|\binom xk\r|_p\leq1$が成り立つ。よって$x$に依らず
$$\lim_{n\to\infty}\l|b_n\binom xk\r|_p\leq\lim_{n\to\infty}|b_n|_p=0$$
と$0$に一様収束するので定理6より$g$も一様収束する。
　また部分和$\sum^n_{k=0}b_k\binom xk$は多項式関数なので連続であり、定理7より$g$も連続となる。

　$p$進連続関数$f$に対し
$$a_n=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nkf(k)$$
は$0$に収束する。

$g(x)$の定義

　有界性定理より任意の$x\in\Z_p$に対し
$$|f(x)|_p\leq p^n$$
なる整数$n$が存在するので、$p^nf(x)$を改めて$f(x)$と置くことで
$$|f(x)|_p\leq 1$$
としてよい。このとき$f(x)\in\Z_p$であることに注意する。
　また任意に非負整数$s$を取って固定し$f(x)\in\Z_p$の$p$進展開
$$f(x)=\sum^\infty_{n=0}f_n(x)p^n\quad(f_n(x)\in\{0,1,2,\ldots,p-1\})$$
に対して$p$進関数$g(x)$を
$$g(x)=\sum^{s-1}_{n=0}f_n(x)p^n$$
と定める。このとき$|f(x)-g(x)|_p\leq p^{-s}$であることに注意する。
　定理1より$f$は$\Z_p$上一様連続であったので
$$|x-y|_p\leq p^{-t}\Rightarrow |f(x)-f(y)|_p\leq p^{-s}$$
なる整数$t$が存在し、このとき$|x-y|_p\leq p^{-t}$ならば
\begin{eqnarray} |g(x)-g(y)|_p&=&|(g(x)-f(x))+(f(x)-f(y))+(f(y)-g(y))|_p \\&\leq&\max\{|g(x)-f(x)|_p,|f(x)-f(y)|_p,|f(y)-g(y)|_p\}\leq p^{-s} \end{eqnarray}
となるが、定義より$0\leq g(x)\leq p^s-1$であったので$g(x)=g(y)$でなければならないことがわかる。
　特に$y=x+p^t$とすると
$$g(x+p^t)=g(x)$$
つまり$g$は周期$p^t$の関数ということになる。

$b_n$の収束性

　さて$g$が周期$p^t$の関数ということは$\o=\exp(2\pi i/p^t)$を用いて
$$g(n)=\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m\o^{mn}\quad\l(\la_m=\frac1{p^t}\sum^{p^t-1}_{n=0}g(n)\o^{-mn}\r)$$
と離散フーリエ展開することができる。このとき$g$のニュートン級数展開の係数を$b_n$とおくと
\begin{eqnarray} b_n&=&\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nkg(k) \\&=&\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m\o^{mk} \\&=&\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk\o^{mk} \\&=&\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m(\o^m-1)^n \end{eqnarray}
となるので
\begin{alignat}{3} \la_m&=\frac1{p^t}\sum^{p^t-1}_{n=0}g(n)\o^{-mn}&&\in\frac1{p^t}\Z[\o]\\ \frac{\o^m-1}{\o-1}&=\sum^{m-1}_{k=0}\o^k&&\in\Z[\o]\\ p&=\Phi_{p^t}(1)\\ &=(\o-1)^{\varphi(p^t)}\prod^{p^t-1}_{\substack{k=1\\p\nmid k}}\farc{\o^k-1}{\o-1} &&\in(\o-1)^{p^{t-1}(p-1)}\Z[\o]^\times \end{alignat}
(最後の式についてはこの記事の補題4辺りを参照)つまり
$$|\la_m|_p\leq p^t,\quad \l|\frac{\o^m-1}{\o-1}\r|_p\leq 1,\quad |\o-1|_p=p^{-\farc1{p^{t-1}(p-1)}}$$
に注意すると
\begin{align} |b_n|_p &=\l|\sum^{p^t-1}_{m=0}\la_m(\o^m-1)^n\r|_p\\ &\leq\max_{0\leq m\leq p^t-1}\l|\la_m\cdot\l(\frac{\o^m-1}{\o-1}\r)^n\cdot(\o-1)^n\r|_p\\ &\leq p^t|\o-1|_p^n=p^{t-\farc{n}{p^{t-1}(p-1)}} \end{align}
がわかる。特に十分大きい任意の$n$に対し$|b_n|\leq p^{-s}$が成り立つ(具体的には$n\geq (s+t)p^{t-1}(p-1)$であればよい)。

結論

　最後に$\binom nk\in\Z$つまり$\l|\binom nk\r|_p\leq1$に注意すると
\begin{eqnarray} |a_n-b_n|_p&=&\l|\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk(f(k)-g(k))\r|_p \\&\leq&\max_{0\leq k\leq n}\l\{\l|\binom nk\r|_p\cdot|f(k)-g(k)|_p\r\}\leq p^{-s} \end{eqnarray}
が成り立つので十分大きい任意の$n$に対して
\begin{eqnarray} |a_n|&=&|(a_n-b_n)+b_n|_p \\&\leq&\max\{|a_n-b_n|_p,|b_n|_p\}\leq p^{-s} \end{eqnarray}
と評価でき、$s$は任意であったことから
$$\lim_{n\to\infty}a_n=0$$
を得る。

おわりに

　いやあ(連続関数なら)非負整数点における値さえわかれば任意の点における値が明示的にわかるなんて面白いですね、$p$進解析。というか定理9の証明で離散フーリエ展開を出してきた先人の閃きに驚かされました。また前半部分は実解析と$p$進解析の類似性を探りながら書いたのですが、思ったより実解析と同じことをやっているんだなということがわかって、割ととっつきやすい導入にできたんじゃないかなと思います。
　本当は微分や積分などの話もしたかったのですが思いのほか長くなってしまったのと単純に勉強時間が確保できてないのとで一旦「連続関数編」として区切って次回の記事(来週あたり？)で$p$進関数の微積分について紹介していきたいなと思います。