p進数の解析学と実解析：連続関数編

実数列の場合

　仮定のような数列$\{a_n\}$について
$$m=\underset{n}{inf}{a}_n,M=\underset{n}{sup}{a}_n,I_0=[m,M]$$
とおく。このとき$I_0$の分割
$$[m,\frac{m+M}{2}],[\frac{m+M}{2},M]$$
のどちらか一方は無限に項を含んでいるのでそのような一方を$I_1$とおく。同様に$I_n$の分割に対して無限に項を含む一方を$I_{n+1}$としていくとこれはある一点$\alpha$に収束する。
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=\{\alpha \}$$
ここで$I_k$からそれぞれ(添え字の重複の無いよう)任意に項を一つ取り$a_{n_k}$とおくと、$\{a_n\}$の部分列$\{a_{n_k}\}$は$\alpha$に収束する数列となる。

$p$進数列の場合

　仮定のような数列$\{a_n\}$について簡単のため$a_n\in {\mathbb{Z}}_p$であるものとすると、$I_0={\mathbb{Z}}_p$の分割
$$p{\mathbb{Z}}_p,1+p{\mathbb{Z}}_p,2+p{\mathbb{Z}}_p,\dots ,(p-1)+p{\mathbb{Z}}_p$$
のうちどれか一つは無限に項を含むのでそのような一つを$I_1=c_1+p{\mathbb{Z}}_p$とおく。また$I_1$の分割
$$c_1+p^2{\mathbb{Z}}_p,(c_1+p)+p^2{\mathbb{Z}}_p,(c_1+2p)+p^2{\mathbb{Z}}_p,\dots ,(c_1+(p-1)p)+p^2{\mathbb{Z}}_p$$
のうちどれか一つは無限に項を含むのでそのような一つを$I_2=(c_1+c_{2}p)+p^2{\mathbb{Z}}_p$とおく。同様に$I_n$の分割に対して無限に項を含む一つを$I_{n+1}=(\sum _{k=1}^n{c}_k{p}^{k-1})+p^n{\mathbb{Z}}_p$としていくとこれはある一点$\alpha =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{p}^{k-1}$に収束する。
　ここで$I_k$からそれぞれ(添え字の重複の無いよう)任意に項を一つ取り$a_{n_k}$とおくと、$\{a_n\}$の部分列$\{a_{n_k}\}$は$\alpha$に収束する数列となる。

　実数または$p$進数$x$に対して$\parallel x\parallel$を対応する絶対値とする(つまり$x$が実数なら$\parallel x\parallel =|x|$、$x$が$p$進数なら$\parallel x\parallel =|x{|}_p$)。
　有界閉区間$I$上の連続関数$f$が一様連続でないと仮定すると一様連続の定義より
$$\mathrm{\exists }\epsilon >0,\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x,y\in I,(\parallel x-y\parallel <\delta )\wedge (\parallel f(x)-f(y)\parallel >\epsilon )$$
となるので、そのような$\epsilon$に対し
$$(\parallel x_n-y_n\parallel <\frac{1}{p^n})\wedge (\parallel f(x_n)-f(y_n)\parallel >\epsilon )$$
なる$x_n,y_n\in I$を取るとボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理から収束部分列$x_{n_k}$が取れ、その収束先を$a$とおくと
$$0\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel x_{n_k}-y_{n_k}\parallel \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{p^{n_k}}=0$$
なので
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_{n_k}=a$$
となるが、$f$の連続性より
$$0<\epsilon \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|=|f(a)-f(a)|=0$$
となって矛盾。よって主張を得る。

　主張が成り立たないと仮定すると任意の$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$に対し
$$\parallel f(x_n)\parallel >p^n$$
なる$x_n$が存在することになる。これの収束部分列$\{x_{n_k}\}$を取り
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=x_0$$
とおくと$f$の連続性より
$$\parallel f(x_0)\parallel =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel f(x_{n_k})\parallel >\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}^{n_k}=\mathrm{\infty }$$
となるが$f(x_0)$は有限であることに矛盾。よって主張を得る。

　(左)$\Leftarrow$(右)は収束列はコーシー列であることから
$$0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{|\sum _{k=0}^n{a}_k-\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k|}_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n{|}_p$$
とわかる。
　(左)$\Rightarrow$(右)は任意の$\epsilon >0$にある$N\in \mathbb{N}$が存在して$n\ge N$ならば$|a_n{|}_p<\epsilon$となるので$n>m\ge N$において
$${|\sum _{k=0}^n{a}_k-\sum _{k=0}^m{a}_k|}_p\le \underset{m<k\le n}{max}|a_k{|}_p<\epsilon$$
とコーシー性が成り立つことからわかる。

　(左)$\Leftarrow$(右)は一様収束の定義から$n>N$において任意の$x\in {\mathbb{Z}}_p$に
$$|S_n(x)-S_{n-1}(x){|}_p=|f_n(x){|}_p<\epsilon$$
が成り立つことからわかる。
　(左)$\Rightarrow$(右)は$n\ge N$ならば任意の$x\in {\mathbb{Z}}_p$に$|f_n(x){|}_p<\epsilon$となるので$n>m\ge N$において
$${|S_m(x)-S_n(x)|}_p\le \underset{m<k\le n}{max}|f_k(x){|}_p<\epsilon$$
が成り立つことからわかる。

　任意に$x_0\in I,\epsilon >0$を取ったとき、$f_n$の一様収束性から任意の$x\in I$に対し
$$\parallel f(x)-f_N(x)\parallel <\frac{\epsilon }{3}$$
なる自然数$N$が取れ、また$f_N$の連続性から$\parallel x-x_0\parallel <\delta$ならば
$$\parallel f_N(x)-f_N(x_0)\parallel <\frac{\epsilon }{3}$$
となるような$\delta >0$が取れる。
　このとき$\parallel x-x_0\parallel <\delta$において
$$\parallel f(x)-f(x_0)\parallel \le \parallel f(x)-f_N(x)\parallel +\parallel f_N(x)-f_N(x_0)\parallel +\parallel f_N(x_0)-f(x_0)\parallel <\epsilon$$
が成り立つので$f$は$I$上連続であることが示された。

　$p$進整数$x$に対して$x$に収束する非負整数列$\{x_n\}$を取ると、$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})$は整数$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_n}{k})$の極限として表せるので$p$進整数である。特に${\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})\right|}_p\le 1$が成り立つ。よって$x$に依らず
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left|b_n(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})\right|}_p\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|b_n{|}_p=0$$
と$0$に一様収束するので定理6より$g$も一様収束する。
　また部分和$\sum _{k=0}^n{b}_k(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})$は多項式関数なので連続であり、定理7より$g$も連続となる。

$g(x)$の定義

　有界性定理より任意の$x\in {\mathbb{Z}}_p$に対し
$$|f(x){|}_p\le p^n$$
なる整数$n$が存在するので、$p^{n}f(x)$を改めて$f(x)$と置くことで
$$|f(x){|}_p\le 1$$
としてよい。このとき$f(x)\in {\mathbb{Z}}_p$であることに注意する。
　また任意に非負整数$s$を取って固定し$f(x)\in {\mathbb{Z}}_p$の$p$進展開
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)p^n(f_n(x)\in \{0,1,2,\dots ,p-1\})$$
に対して$p$進関数$g(x)$を
$$g(x)=\sum _{n=0}^{s-1}{f}_n(x)p^n$$
と定める。このとき$|f(x)-g(x){|}_p\le p^{-s}$であることに注意する。
　定理1より$f$は${\mathbb{Z}}_p$上一様連続であったので
$$|x-y{|}_p\le p^{-t}\Rightarrow |f(x)-f(y){|}_p\le p^{-s}$$
なる整数$t$が存在し、このとき$|x-y{|}_p\le p^{-t}$ならば
$$\begin{array}{rcl}|g(x)-g(y){|}_p& =& |(g(x)-f(x))+(f(x)-f(y))+(f(y)-g(y)){|}_p\\ & \le & max\{|g(x)-f(x){|}_p,|f(x)-f(y){|}_p,|f(y)-g(y){|}_p\}\le p^{-s}\end{array}$$
となるが、定義より$0\le g(x)\le p^s-1$であったので$g(x)=g(y)$でなければならないことがわかる。
　特に$y=x+p^t$とすると
$$g(x+p^t)=g(x)$$
つまり$g$は周期$p^t$の関数ということになる。

$b_n$の収束性

　さて$g$が周期$p^t$の関数ということは$\omega =\exp \left(2\pi i/p^t\right)$を用いて
$$g(n)=\sum _{m=0}^{p^t-1}{\lambda }_m{\omega }^{mn}({\lambda }_m=\frac{1}{p^t}\sum _{n=0}^{p^t-1}g(n){\omega }^{-mn})$$
と離散フーリエ展開することができる。このとき$g$のニュートン級数展開の係数を$b_n$とおくと
$$\begin{array}{rcl}{b}_n& =& \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})g(k)\\ & =& \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\sum _{m=0}^{p^t-1}{\lambda }_m{\omega }^{mk}\\ & =& \sum _{m=0}^{p^t-1}{\lambda }_m\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\omega }^{mk}\\ & =& \sum _{m=0}^{p^t-1}{\lambda }_m({\omega }^m-1{)}^n\end{array}$$
となるので
$$\begin{array}{rlrl}{\lambda }_m& =\frac{1}{p^t}\sum _{n=0}^{p^t-1}g(n){\omega }^{-mn}& & \in \frac{1}{p^t}\mathbb{Z}[\omega ]\\ \frac{{\omega }^m-1}{\omega -1}& =\sum _{k=0}^{m-1}{\omega }^k& & \in \mathbb{Z}[\omega ]\\ p& ={\mathrm{\Phi }}_{p^t}(1)\\ & =(\omega -1{)}^{\phi (p^t)}\prod _{\begin{array}{c}k=1\\ p\nmid k\end{array}}^{p^t-1}\frac{{\omega }^k-1}{\omega -1}& & \in (\omega -1{)}^{p^{t-1}(p-1)}\mathbb{Z}[\omega {]}^{\times }\end{array}$$
(最後の式については この記事 の補題4辺りを参照)つまり
$$|{\lambda }_m{|}_p\le p^t,{\left|\frac{{\omega }^m-1}{\omega -1}\right|}_p\le 1,|\omega -1{|}_p=p^{-\frac{1}{p^{t-1}(p-1)}}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rl}|b_n{|}_p& ={|\sum _{m=0}^{p^t-1}{\lambda }_m({\omega }^m-1{)}^n|}_p\\ & \le \underset{0\le m\le p^t-1}{max}{|{\lambda }_m\cdot {\left(\frac{{\omega }^m-1}{\omega -1}\right)}^n\cdot (\omega -1{)}^n|}_p\\ & \le p^t|\omega -1{|}_p^n=p^{t-\frac{n}{p^{t-1}(p-1)}}\end{array}$$
がわかる。特に十分大きい任意の$n$に対し$|b_n|\le p^{-s}$が成り立つ(具体的には$n\ge (s+t)p^{t-1}(p-1)$であればよい)。

結論

　最後に$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\in \mathbb{Z}$つまり${\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\right|}_p\le 1$に注意すると
$$\begin{array}{rcl}|a_n-b_n{|}_p& =& {|\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(f(k)-g(k))|}_p\\ & \le & \underset{0\le k\le n}{max}\{{\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\right|}_p\cdot |f(k)-g(k){|}_p\}\le p^{-s}\end{array}$$
が成り立つので十分大きい任意の$n$に対して
$$\begin{array}{rcl}|a_n|& =& |(a_n-b_n)+b_n{|}_p\\ & \le & max\{|a_n-b_n{|}_p,|b_n{|}_p\}\le p^{-s}\end{array}$$
と評価でき、$s$は任意であったことから
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$
を得る。