指数級数の部分和\sum1/(3k)!の計算とその一般化

次の級数を計算することを考えます．
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k)!} = \text{?} $$
指数関数のベキ級数展開
$$ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $$
から，
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e, \quad \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!} = \frac{e+e^{-1}}{2} = \cosh1 $$
が成り立つことは直ちにわかりますが，今回の級数はこれらほど簡単に求められそうにないです．

微分方程式による解法

関数
$$S(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k}}{(3k)!}$$
を考えます．$S(x)$の形がわかれば，$x=1$とすることで知りたい級数の値が求まります．$S(x)$を微分してみると
$$ S'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{3k-1}}{(3k-1)!}, \quad S''(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{3k-2}}{(3k-2)!} $$
となります．なお，項別微分は，微分する前の級数が収束半径$\infty$（各点$x\in\mathbb{R}$で絶対収束する級数$\sum_{k=0}^{\infty} x^k/k!$の部分和であることから明らか）なため，正当化されます．そこで，辺々足してみると
\begin{align} S(x) + S'(x) + S''(x) &= 1 + \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{x^{3k-2}}{(3k-2)!} + \frac{x^{3k-1}}{(3k-1)!} + \frac{x^{3k}}{(3k)!}) \\ &= e^x \end{align}
となりますが，これは解き方がよく知られた常微分方程式の形をしていますね．斉次化した方程式
$$S(x) + S'(x) + S''(x) = 0$$
の一般解が，特性方程式$1+t+t^2=0$の根$t=\omega, \bar{\omega}$を用いて
$$S(x) = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{\bar{\omega}x}$$
と書けるので，もとの方程式の一般解は，特殊解$S(x) = e^x/3$との和
$$S(x) = \frac{1}{3}e^x + C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{\bar{\omega}x}$$
で書けます．次に，初期条件$S(0)=1, S'(0)=0$から連立方程式
$$ \frac{1}{3} + C_1 + C_2 = 1, \quad \frac{1}{3} + C_1\omega + C_2\bar{\omega} = 0 $$
を作ると，明らかに$C_1=C_2=1/3$が解になっています（解と係数の関係$\omega + \bar{\omega} = -1$に注意）．以上から
\begin{align} S(x) &= \frac{1}{3}(e^x + e^{\omega x} + e^{\bar{\omega}x}) = \frac{1}{3}(e^x + e^{(-1/2+i\sqrt3/2) x} + e^{(-1/2+i\sqrt3/2)x}) \\ &= \frac{1}{3}(e^x + 2e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt3 x}{2}) \end{align}
なので，とくに$x=1$として
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k)!} = \frac{1}{3}(e + \frac{2}{\sqrt e}\cos\frac{\sqrt3}{2}) $$
がわかります．

留数定理による解法

別解として，留数定理を使ってやってみます．複素関数
$$f(z) = \frac{e^{1/z}}{z(1-z^3)}$$
を考え，各特異点における留数を計算してみましょう．
・$z=0$：真性特異点
$$ f(z) = \frac{1}{z}(\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!}\frac{1}{z^j})(\sum_{k=0}^{\infty} (z^3)^k) = \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{j!}z^{3k-j-1} $$
と級数に展開すれば，$z^{-1}$の係数は$j=3k$の部分であり，
$$ \mathrm{Res}[f;0] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k)!} $$
を得ます．知りたい級数がそのまま出てきましたね．
・$z^3 = 1 \leftrightarrow z = e^{i2\pi k/3} \eqqcolon \omega_k \, (k=0,\pm1)$：1位の極
分数関数の1位の極における留数の計算法を使って
$$ \mathrm{Res}[f;\omega_k] = \lim_{z \to \omega_k} \frac{e^{1/z}}{(z-z^4)'} = \frac{e^{1/\omega_k}}{1-4\omega_k^3} = -\frac{1}{3} e^{\omega_{-k}} $$
（最後の等号は$\omega_k^3=1$と$1/\omega_k=\omega_{-k}$を使った）
となります．
さて，留数定理によると，以上の留数の和は，4つの特異点をすべて囲むような円周$C:|z|=2$（反時計回りが正）に沿った$f$の線積分（を$2\pi i$で割ったもの）に等しいです．
線積分の計算は，変数変換により簡単になります．$w=1/z$とおくことで，積分路は$C':|w|=1/2$（時計回りが正）になり，
\begin{align} &\int_{C} f(z)dz = \int_{C'} f(1/w)\frac{dz}{dw}dw = \int_{C'} \frac{we^w}{1-(1/w)^3}(-\frac{1}{w^2})dw \\ &= \int_{C'} \frac{-w^2e^w}{w^3-1}dw = 0 \end{align}
（最後の等号は，被積分関数が$C'$の内側で正則であることから）
と計算できます．
以上から，
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k)!} = -\sum_{k=0,\pm 1} \mathrm{Res}[f;\omega_k] = \frac{1}{3}\sum_{k=0,\pm 1}e^{\omega_{-k}} = \frac{1}{3}(e + \frac{2}{\sqrt e}\cos\frac{\sqrt3}{2}) $$
となり，微分方程式による解法と同様の結果を得ました．

一般化

一般化として，$p$を3以上の整数，$x$を実数として
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{pk}}{(pk)!}$$
を計算します．上の2つの方法はどちらも一般化できそうですが，$p=3$のときとほぼ同じ労力で計算できる，留数定理による方法を使うことにします．（微分方程式による方法だと，任意定数を決めるところで$p-1$次方程式を解くことになって大変そうなので，避けました．気の利いた方法を思いついた方は教えてださい！）
$x\neq0$を固定し，複素関数
$$f(z) = \frac{e^{x/z}}{z(1-z^p)}$$
を考えます．各特異点における留数は次のようになります．
・$z=0$：真性特異点
$$ f(z) = \frac{1}{z}(\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!}(x/z)^j)(\sum_{k=0}^{\infty} (z^p)^k) = \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^j}{j!}z^{pk-j-1} $$
より，$j=pk$の部分を取り出して
$$ \mathrm{Res}[f;0] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{pk}}{(pk)!} $$
・$z^p = 1 \leftrightarrow z = e^{i2\pi k/p} \eqqcolon \alpha_k \, (k=0,\cdots,p-1)$：1位の極
$$ \mathrm{Res}[f;\alpha_k] = \lim_{z \to \alpha_k} \frac{e^{x/z}}{(z-z^{p+1})'} = \frac{e^{x/\alpha_k}}{1-(p+1)\alpha_k^p} = -\frac{1}{p} e^{x/\alpha_k} $$
また，円周$C:|z|=2$（反時計回りが正）に沿った線積分は，$w=1/z$と変数変換して$C':|w|=1/2$（時計回りが正）に沿った線積分にすることで
\begin{align} &\int_{C} f(z)dz = \int_{C'} f(1/w)\frac{dz}{dw}dw = \int_{C'} \frac{we^{xw}}{1-(1/w)^p}(-\frac{1}{w^2})dw \\ &= \int_{C'} \frac{-w^{p-1}e^{xw}}{w^p-1}dw = 0 \end{align}
となります．よって，留数定理から
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{pk}}{(pk)!} = -\sum_{k=0}^{p-1} \mathrm{Res}[f;\alpha_k] = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}e^{x/\alpha_k} = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}e^{x\cos\frac{2\pi k}{p}} \cos(x\sin\frac{2\pi k}{p})) $$
（最後の等号は，オイラーの公式を使って虚部を捨てれば得られます．級数自体が明らかに実数なので，このようなことができます．なお，このことは みかん さんの返信で気づくことができました．）
以下，$p$の値で場合分けしてもう少し計算することにします．
・$p=2q-1 \, (q\geq2)$のとき．1の$2q-1$乗根は$1, e^{\pm i2\pi k/(2q-1)} \, (k=1,\cdots,q-1)$なので
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{(2q-1)k}}{((2q-1)k)!} &= \frac{1}{2q-1}(e^x + \sum_{k=1}^{q-1}(e^{xe^{-i2\pi k/(2q-1)}} + e^{xe^{i2\pi k/(2q-1)}})) \\ &= \frac{1}{2q-1}(e^x + 2\sum_{k=1}^{q-1} e^{x\cos\frac{2\pi k}{2q-1}} \cos(x\sin\frac{2\pi k}{2q-1})) \end{align}
・$p=2q \, (q\geq2)$のとき．1の$2q$乗根は$\pm 1, e^{\pm i\pi k/q} \, (k=1,\cdots,q-1)$なので
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2qk}}{(2qk)!} &= \frac{1}{2q}(e^{-x} + e^x + \sum_{k=1}^{q-1}(e^{xe^{-i\pi k/q}} + e^{xe^{i\pi k/q}})) \\ &= \frac{1}{q}(\cosh x + \sum_{k=1}^{q-1} e^{x\cos\frac{\pi k}{q}} \cos(x\sin\frac{\pi k}{q})) \end{align}
$p\geq6$が偶数のときは，さらに2パターンに分かれそうです．
・$p=4r+2 \, (r\geq1)$のとき．1の$4r+2$乗根は$\pm 1, \pm e^{\pm i\pi k/(2r+1)} \, (k=1,\cdots,r)$なので
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{(4r+2)k}}{((4r+2)k)!} &= \frac{1}{4r+2}(e^{-x} + e^x + \sum_{k=1}^{r}(e^{xe^{-i\pi k/(2r+1)}} + e^{xe^{i\pi k/(2r+1)}} + e^{-xe^{-i\pi k/(2r+1)}} + e^{-xe^{i\pi k/(2r+1)}})) \\ &= \frac{1}{2r+1}(\cosh x + 2\sum_{k=1}^{r} \cosh(x\cos\frac{\pi k}{2r+1}) \cos(x\sin\frac{\pi k}{2r+1}) ) \end{align}

・$p=4r \, (r\geq2)$のとき．1の$4r$乗根は$\pm 1, \pm i, \pm e^{\pm i\pi k/(2r)} \, (k=1,\cdots,r-1)$なので
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4rk}}{(4rk)!} &= \frac{1}{4r}(e^{-x} + e^x + e^{-ix} + e^{ix} + \sum_{k=1}^{r-1}(e^{xe^{-i\pi k/(2r)}} + e^{xe^{i\pi k/(2r)}} + e^{-xe^{-i\pi k/(2r)}} + e^{-xe^{i\pi k/(2r)}})) \\ &= \frac{1}{2r}(\cosh x + \cos x + 2\sum_{k=1}^{r-1} \cosh(x\cos\frac{\pi k}{2r}) \cos(x\sin\frac{\pi k}{2r}) ) \end{align}

具体例

$x=1$とし，具体的な$p$で計算したものを書いておきます．
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!} = \cosh1 $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k)!} = \frac{1}{3}(e + \frac{2}{\sqrt e}\cos\frac{\sqrt3}{2}) $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k)!} = \frac{1}{2}(\cosh 1 + \cos1) $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(5k)!} = \frac{1}{5}(e + 2e^{\frac{-1-\sqrt5}{4}} \cos\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} + 2e^{\frac{-1+\sqrt5}{4}} \cos\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}) $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(6k)!} = \frac{1}{3}(\cosh 1 + 2\cosh\frac{1}{2} \cos\frac{\sqrt3}{2}) $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(8k)!} = \frac{1}{4}(\cosh 1 + \cos1 + 2\cosh\frac{1}{\sqrt2} \cos\frac{1}{\sqrt2}) $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(10k)!} = \frac{1}{5}(\cosh 1 + 2\cosh\frac{1+\sqrt5}{4} \cos\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} + 2\cosh\frac{-1+\sqrt5}{4} \cos\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}) $$