指数級数の部分和\sum1/(3k)!の計算とその一般化

次の級数を計算することを考えます．
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k)!}=\text{?}$$
指数関数のベキ級数展開
$$e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$$
から，
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e,\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k)!}=\frac{e+e^{-1}}{2}=\cosh 1$$
が成り立つことは直ちにわかりますが，今回の級数はこれらほど簡単に求められそうにないです．

微分方程式による解法

関数
$$S(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{3k}}{(3k)!}$$
を考えます．$S(x)$の形がわかれば，$x=1$とすることで知りたい級数の値が求まります．$S(x)$を微分してみると
$$S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{3k-1}}{(3k-1)!},S^{″}(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{3k-2}}{(3k-2)!}$$
となります．なお，項別微分は，微分する前の級数が収束半径$\mathrm{\infty }$（各点$x\in \mathbb{R}$で絶対収束する級数$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k/k!$の部分和であることから明らか）なため，正当化されます．そこで，辺々足してみると
$$\begin{array}{rl}S(x)+S^{\prime }(x)+S^{″}(x)& =1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{x^{3k-2}}{(3k-2)!}+\frac{x^{3k-1}}{(3k-1)!}+\frac{x^{3k}}{(3k)!})\\ & =e^x\end{array}$$
となりますが，これは解き方がよく知られた常微分方程式の形をしていますね．斉次化した方程式
$$S(x)+S^{\prime }(x)+S^{″}(x)=0$$
の一般解が，特性方程式$1+t+t^2=0$の根$t=\omega ,\overline{\omega }$を用いて
$$S(x)=C_1{e}^{\omega x}+C_2{e}^{\overline{\omega }x}$$
と書けるので，もとの方程式の一般解は，特殊解$S(x)=e^x/3$との和
$$S(x)=\frac{1}{3}{e}^x+C_1{e}^{\omega x}+C_2{e}^{\overline{\omega }x}$$
で書けます．次に，初期条件$S(0)=1,S^{\prime }(0)=0$から連立方程式
$$\frac{1}{3}+C_1+C_2=1,\frac{1}{3}+C_1\omega +C_2\overline{\omega }=0$$
を作ると，明らかに$C_1=C_2=1/3$が解になっています（解と係数の関係$\omega +\overline{\omega }=-1$に注意）．以上から
$$\begin{array}{rl}S(x)& =\frac{1}{3}(e^x+e^{\omega x}+e^{\overline{\omega }x})=\frac{1}{3}(e^x+e^{(-1/2+i\sqrt{3}/2)x}+e^{(-1/2+i\sqrt{3}/2)x})\\ & =\frac{1}{3}(e^x+2e^{-x/2}\cos \frac{\sqrt{3}x}{2})\end{array}$$
なので，とくに$x=1$として
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k)!}=\frac{1}{3}(e+\frac{2}{\sqrt{e}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2})$$
がわかります．

留数定理による解法

別解として，留数定理を使ってやってみます．複素関数
$$f(z)=\frac{e^{1/z}}{z(1-z^3)}$$
を考え，各特異点における留数を計算してみましょう．
・$z=0$：真性特異点
$$f(z)=\frac{1}{z}(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}\frac{1}{z^j})(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(z^3{)}^k)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}{z}^{3k-j-1}$$
と級数に展開すれば，$z^{-1}$の係数は$j=3k$の部分であり，
$$\mathrm{Res}[f;0]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k)!}$$
を得ます．知りたい級数がそのまま出てきましたね．
・$z^3=1\leftrightarrow z=e^{i2\pi k/3}=:{\omega }_k(k=0,\pm 1)$：1位の極
分数関数の1位の極における留数の計算法を使って
$$\mathrm{Res}[f;{\omega }_k]=\underset{z\to {\omega }_k}{lim}\frac{e^{1/z}}{(z-z^4{)}^{\prime }}=\frac{e^{1/{\omega }_k}}{1-4{\omega }_k^3}=-\frac{1}{3}{e}^{{\omega }_{-k}}$$
（最後の等号は${\omega }_k^3=1$と$1/{\omega }_k={\omega }_{-k}$を使った）
となります．
さて，留数定理によると，以上の留数の和は，4つの特異点をすべて囲むような円周$C:|z|=2$（反時計回りが正）に沿った$f$の線積分（を$2\pi i$で割ったもの）に等しいです．
線積分の計算は，変数変換により簡単になります．$w=1/z$とおくことで，積分路は$C^{\prime }:|w|=1/2$（時計回りが正）になり，
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C^{\prime }}f(1/w)\frac{dz}{dw}dw={\int }_{C^{\prime }}\frac{w{e}^w}{1-(1/w{)}^3}(-\frac{1}{w^2})dw\\ & ={\int }_{C^{\prime }}\frac{-w^2{e}^w}{w^3-1}dw=0\end{array}$$
（最後の等号は，被積分関数が$C^{\prime }$の内側で正則であることから）
と計算できます．
以上から，
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k)!}=-\sum _{k=0,\pm 1}\mathrm{Res}[f;{\omega }_k]=\frac{1}{3}\sum _{k=0,\pm 1}{e}^{{\omega }_{-k}}=\frac{1}{3}(e+\frac{2}{\sqrt{e}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2})$$
となり，微分方程式による解法と同様の結果を得ました．

一般化

一般化として，$p$を3以上の整数，$x$を実数として
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{pk}}{(pk)!}$$
を計算します．上の2つの方法はどちらも一般化できそうですが，$p=3$のときとほぼ同じ労力で計算できる，留数定理による方法を使うことにします．（微分方程式による方法だと，任意定数を決めるところで$p-1$次方程式を解くことになって大変そうなので，避けました．気の利いた方法を思いついた方は教えてださい！）
$x\ne 0$を固定し，複素関数
$$f(z)=\frac{e^{x/z}}{z(1-z^p)}$$
を考えます．各特異点における留数は次のようになります．
・$z=0$：真性特異点
$$f(z)=\frac{1}{z}(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}(x/z{)}^j)(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(z^p{)}^k)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^j}{j!}{z}^{pk-j-1}$$
より，$j=pk$の部分を取り出して
$$\mathrm{Res}[f;0]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{pk}}{(pk)!}$$
・$z^p=1\leftrightarrow z=e^{i2\pi k/p}=:{\alpha }_k(k=0,\cdots ,p-1)$：1位の極
$$\mathrm{Res}[f;{\alpha }_k]=\underset{z\to {\alpha }_k}{lim}\frac{e^{x/z}}{(z-z^{p+1}{)}^{\prime }}=\frac{e^{x/{\alpha }_k}}{1-(p+1){\alpha }_k^p}=-\frac{1}{p}{e}^{x/{\alpha }_k}$$
また，円周$C:|z|=2$（反時計回りが正）に沿った線積分は，$w=1/z$と変数変換して$C^{\prime }:|w|=1/2$（時計回りが正）に沿った線積分にすることで
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C^{\prime }}f(1/w)\frac{dz}{dw}dw={\int }_{C^{\prime }}\frac{w{e}^{xw}}{1-(1/w{)}^p}(-\frac{1}{w^2})dw\\ & ={\int }_{C^{\prime }}\frac{-w^{p-1}{e}^{xw}}{w^p-1}dw=0\end{array}$$
となります．よって，留数定理から
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{pk}}{(pk)!}=-\sum _{k=0}^{p-1}\mathrm{Res}[f;{\alpha }_k]=\frac{1}{p}\sum _{k=0}^{p-1}{e}^{x/{\alpha }_k}=\frac{1}{p}\sum _{k=0}^{p-1}{e}^{x\cos \frac{2\pi k}{p}}\cos (x\sin \frac{2\pi k}{p}))$$
（最後の等号は，オイラーの公式を使って虚部を捨てれば得られます．級数自体が明らかに実数なので，このようなことができます．なお，このことは みかん さんの返信で気づくことができました．）
以下，$p$の値で場合分けしてもう少し計算することにします．
・$p=2q-1(q\ge 2)$のとき．1の$2q-1$乗根は$1,e^{\pm i2\pi k/(2q-1)}(k=1,\cdots ,q-1)$なので
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{(2q-1)k}}{((2q-1)k)!}& =\frac{1}{2q-1}(e^x+\sum _{k=1}^{q-1}(e^{x{e}^{-i2\pi k/(2q-1)}}+e^{x{e}^{i2\pi k/(2q-1)}}))\\ & =\frac{1}{2q-1}(e^x+2\sum _{k=1}^{q-1}{e}^{x\cos \frac{2\pi k}{2q-1}}\cos (x\sin \frac{2\pi k}{2q-1}))\end{array}$$
・$p=2q(q\ge 2)$のとき．1の$2q$乗根は$\pm 1,e^{\pm i\pi k/q}(k=1,\cdots ,q-1)$なので
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2qk}}{(2qk)!}& =\frac{1}{2q}(e^{-x}+e^x+\sum _{k=1}^{q-1}(e^{x{e}^{-i\pi k/q}}+e^{x{e}^{i\pi k/q}}))\\ & =\frac{1}{q}(\cosh x+\sum _{k=1}^{q-1}{e}^{x\cos \frac{\pi k}{q}}\cos (x\sin \frac{\pi k}{q}))\end{array}$$
$p\ge 6$が偶数のときは，さらに2パターンに分かれそうです．
・$p=4r+2(r\ge 1)$のとき．1の$4r+2$乗根は$\pm 1,\pm e^{\pm i\pi k/(2r+1)}(k=1,\cdots ,r)$なので
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{(4r+2)k}}{((4r+2)k)!}& =\frac{1}{4r+2}(e^{-x}+e^x+\sum _{k=1}^r(e^{x{e}^{-i\pi k/(2r+1)}}+e^{x{e}^{i\pi k/(2r+1)}}+e^{-x{e}^{-i\pi k/(2r+1)}}+e^{-x{e}^{i\pi k/(2r+1)}}))\\ & =\frac{1}{2r+1}(\cosh x+2\sum _{k=1}^r\cosh (x\cos \frac{\pi k}{2r+1})\cos (x\sin \frac{\pi k}{2r+1}))\end{array}$$

・$p=4r(r\ge 2)$のとき．1の$4r$乗根は$\pm 1,\pm i,\pm e^{\pm i\pi k/(2r)}(k=1,\cdots ,r-1)$なので
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{4rk}}{(4rk)!}& =\frac{1}{4r}(e^{-x}+e^x+e^{-ix}+e^{ix}+\sum _{k=1}^{r-1}(e^{x{e}^{-i\pi k/(2r)}}+e^{x{e}^{i\pi k/(2r)}}+e^{-x{e}^{-i\pi k/(2r)}}+e^{-x{e}^{i\pi k/(2r)}}))\\ & =\frac{1}{2r}(\cosh x+\cos x+2\sum _{k=1}^{r-1}\cosh (x\cos \frac{\pi k}{2r})\cos (x\sin \frac{\pi k}{2r}))\end{array}$$

具体例

$x=1$とし，具体的な$p$で計算したものを書いておきます．
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k)!}=\cosh 1$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k)!}=\frac{1}{3}(e+\frac{2}{\sqrt{e}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2})$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4k)!}=\frac{1}{2}(\cosh 1+\cos 1)$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(5k)!}=\frac{1}{5}(e+2e^{\frac{-1-\sqrt{5}}{4}}\cos \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+2e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}\cos \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(6k)!}=\frac{1}{3}(\cosh 1+2\cosh \frac{1}{2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2})$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(8k)!}=\frac{1}{4}(\cosh 1+\cos 1+2\cosh \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}})$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(10k)!}=\frac{1}{5}(\cosh 1+2\cosh \frac{1+\sqrt{5}}{4}\cos \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+2\cosh \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\cos \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})$$