行列のテンソル積と基底の順序

行列,テンソル積,基底

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概要

$r$ 次行列 $A$ と $s$ 次行列 $B$ の行列のテンソル積 $A \otimes B$ について、このテンソル積を表現行列としてもつ順序基底はなんなのかよくわからなかったので計算した。

前提

線形空間や線形写像のテンソル積や元のテンソル積の計算を実行できる

テンソル積と順序基底

行列のテンソル積

$r$ 次行列 $A = (a_{i j})$ と $s$ 次行列 $B = (b_{i^{'} j^{'}})$ に対して、 $r s$ 次行列 $A \otimes B$ を次のように定める：

$\begin{array}{r} (\begin{array}{ccc} a_{11} B & a_{21} B & \dots & a_{1 r} B \\ a_{21} B & a_{22} B & \dots & a_{2 r} B \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{r 1} B & a_{r 2} B & \dots & a_{r r} B \end{array}) = (\begin{array}{ccc} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \dots & a_{11} b_{1 s} & a_{12} b_{11} & \dots & a_{1 r} b_{1 s} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \dots & a_{11} b_{1 s} & a_{12} b_{21} & \dots & a_{1 r} b_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{11} b_{s 1} & a_{11} b_{s 2} & \dots & a_{11} b_{s s} & a_{12} b_{s 1} & \dots & a_{1 r} b_{2 s} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & \dots & a_{21} b_{1 s} & a_{22} b_{11} & \dots & a_{2 r} b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{r 1} b_{s 1} & a_{r 1} b_{s 2} & \dots & a_{r 1} b_{s s} & a_{r 2} b_{s 1} & \dots & a_{r r} b_{s s} \end{array}) \end{array}$
これを $A$ と $B$ の（行列の）テンソル積という。

2次行列と3次行列とかで実際に書いてみるのをおすすめします。

一般の行列の場合

$s_{1} \times s_{2}$ 型行列と $r_{1} \times r_{2}$ 型行列の行列のテンソル積も定義できるはずだけど省略。

$A \otimes B$ を表現行列とする順序基底

$V, V^{'}$ を線形空間、 $(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r}) 、 (e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{s}^{'})$ をそれぞれの順序基底とする。ある $V$ 上の線形変換 $f$ を一つ考える。その線形写像についてこの順序基底による表現行列を $A$ とする。同じように、 $V^{'}$ 上の線形変換 $g$ から表現行列 $B$ を得る。

それぞれの基底のそれぞれの元同士のテンソル積がなす集合 ${e_{1} \otimes e_{1}^{'}, e_{2} \otimes e_{1}^{'}, \dots e_{r} \otimes e_{1}^{'}, e_{1} \otimes e_{2}^{'} \dots e_{r} \otimes e_{s}} \subset V \otimes V^{'}$ はテンソル積 $V \otimes V^{'}$ の基底をなす。また、 $V \otimes V^{'}$ 上の線形変換 $f \otimes g$ を考える。このとき、行列のテンソル積 $A \otimes B$ を表現行列に持つような基底の順番は何だろうか。

順序基底 $(e_{1} \otimes e_{1}^{'}, e_{1} \otimes e_{2}^{'}, \dots e_{1} \otimes e_{s}^{'}, e_{2} \otimes e_{1}^{'} \dots e_{r} \otimes e_{s})$ による表現行列は $A \otimes B$ である

計算すればよい。

としたいが、この計算を今後しなくてよいように簡単にメモをしておこう。今それぞれの順序基底と行列は次のような関係になっている。
$\begin{array}{rclrclr} f (e_{λ}) & = & A e_{λ} & = & a_{1 λ} e_{1} + a_{2 λ} e_{2} + \dots + a_{r λ} e_{r} & = & \sum_{i} a_{i λ} e_{i} \\ g (e_{λ^{'}}^{'}) & = & B e_{λ^{'}} & = & b_{1 λ^{'}} e_{1}^{'} + b_{2 λ^{'}} e_{2}^{'} + \dots + b_{s λ^{'}} e_{s}^{'} & = & \sum_{i^{'}} b_{i^{'} λ^{'}} e_{i^{'}}^{'} \end{array}$
これを使って $f \otimes g (e_{1} \otimes e_{2}^{'})$ を計算してみよう

$\begin{array}{rcl} f \otimes g (e_{1} \otimes e_{2}^{'}) & = & f (e_{1}) \otimes g (e_{2}^{'}) $ \\ = & (\sum_{i} a_{i 1} e_{i}) \otimes (\sum_{i^{'}} b_{i^{'} 2} e_{i^{'}}^{'}) \\ = & \sum_{i} \sum_{i^{'}} a_{i 1} b_{i^{'} 2} (e_{i} \otimes e_{i^{'}}^{'}) \\ = & \sum_{i^{'}} \sum_{i} a_{i 1} b_{i^{'} 2} (e_{i} \otimes e_{i^{'}}^{'}) \end{array}$

落ち着いて展開していく、以後 $e_{i} \otimes e_{i^{'}}^{'}$ を省略して $(e_{i} e_{i^{'}}^{'})$ と書く。

$\begin{array}{rclrclrclrc} \sum_{i} \sum_{i^{'}} a_{i 1} b_{i^{'} 2} (e_{i} e_{i^{'}}^{'}) & = & a_{11} b_{12} (e_{1} e_{1}^{'}) & + & a_{11} b_{22} (e_{1} e_{2}^{'}) & + & \dots & + & a_{11} b_{s 2} (e_{1} e_{s}^{'}) & (i = 1) \\ + & a_{21} b_{12} (e_{2} e_{1}^{'}) & + & a_{21} b_{12} (e_{2} e_{2}^{'}) & + & \dots & + & a_{21} b_{s 2} (e_{2} e_{s}^{'}) & (i = 2) \\ ⋮ \\ + & a_{r 1} b_{12} (e_{r} e_{1}^{'}) & + & a_{s 1} b_{22} (e_{r} e_{2}^{'}) & + & \dots & + & a_{r 1} b_{s 2} (e_{r} e_{s}^{'}) & (i = r) \\ (i^{'} = 1) & (i^{'} = 2) & \dots & (i^{'} = s) \end{array}$
順序基底 $((e_{1} e_{1}^{'}), (e_{1} e_{2}^{'}), \dots, (e_{r} e_{s}))$ において $(e_{1} e_{2}^{'})$ は2番目のため、 $f \otimes g (e_{1}, e_{2}^{'})$ の係数がなすたてベクトルは表現行列で2列目になる。表現行列の2列目の成分を以下に書きだす。

$(1, 2)$ 成分は $a_{11} b_{12}$
$(2, 2)$ 成分は $a_{11} b_{22}$
$(3, 2)$ 成分は $a_{11} b_{32}$
$⋮$
$(s, 2)$ 成分は $a_{11} b_{s 2}$
$(s + 1, 2)$ 成分は $a_{21} b_{12}$
$(s + 2, 2)$ 成分は $a_{21} b_{22}$
$⋮$
$(r s, 2)$ 成分は $a_{r 1} b_{s 2}$

行列のテンソル積 $A \otimes B = (c_{λ λ^{'}})$ と見比べると、
$c_{12} = a_{11} b_{12}$ となり一致する。

トライ

順序基底 $((e_{1} e_{1}^{'}), (e_{2}, e_{1}^{'}), \dots, (e_{r}, e_{s}^{'}))$ を考えて
$\begin{array}{r} \sum_{i^{'}} \sum_{i} a_{i 1} b_{i^{'} 2} (e_{i} e_{i^{'}}^{'}) \end{array}$
も書きくだして表現行列がどうなるかを見るのもよいと思う。

最後に

順序がない基底を考えて、その $(λ, λ^{'})$ 成分をとるのは写像のように考えればいいじゃないかと思ったのですがそれをやると行列による表示を一つ定めたときとの整合性がよくわからなくなました。その結果、多様体上のベクトル束のテンソル積の共変微分を計算する手が止まりました。というのがこれを書いた背景です。