1より大きいとある実数xの逆数がxの小数部分と一致するようなもののうち最小のxは何か.

今回も短め.

こんにちは〜
私が論理国語の授業を受けている際にふと思いついたもので,かなり面白いと思ったので記事にします.

「$1$より大きいとある実数の逆数が元の実数の小数部分と一致するようなもの」

です.考えたことをここに記します.

(僕の当時の頭の中のことをまんま書くので厳密性は許してください.)

式にすると$[x]$を$x$の整数部分として,
$$ x-[x]=\dfrac{1}{x}$$
と表せます.これを整理して,
$$ x^2-[x]x-1=0$$
となり,$[x]=n$として,解の公式を使えば$(x>1)$より,
$$ x=\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$$
ここで,$n^2\leqq n^2+4\leqq(n+1)^2$なので$[x]=n$を満たしている.
題意を満たす$x$は無数にあり,最小値は$n=1$とすれば
$$ x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$

まさかの黄金比.授業中に叫びそうになりました.以上です！