東大数理院試過去問解答例(2022B11)

充分性から示す。まず実数$ϵ>0$を任意にとる。$S$の元は$\epsilon \in S$によって一様に抑えられているから、ある自然数$N:=N_{ϵ}$が存在して、任意の数列$x\in S$について
$$\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p\le \frac{{ϵ}^p}{2}$$
を満たしていることが従う。ここで$R:=\parallel \epsilon {\parallel }_p$及び$r:=\frac{ϵ}{\sqrt[p]{2(N-1)}}$とおく。ここで有限集合$A\subseteq \mathbb{R}$を
$$[-R,R]\subseteq \bigcup _{a\in A}(a-r,a+r)$$
を満たすようにとる。ここで有限集合$T\subseteq {\ell }^p$を
$$T:=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_{N-1},0,0,\cdots )|\mathrm{\forall }i=1,\cdots ,N-1a_i\in A\}$$
と定める。いま任意の$x\in S$及び$i$について$x_i\in [-R,R]$であるから、各$i$について$x_i\in (b_i-r,b_i+r)$なる$b_i\in A$が取れる。ここで$y=(b_1,\cdots ,b_{N-1},0,0,\cdots )$と置いたとき、
$$\begin{array}{rl}\parallel x-y{\parallel }_p^p& =\sum _{i=1}^{N-1}|x_i-b_i{|}^p+\sum _{i=N}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p\\ & \le (N-1)r^p+\frac{{ϵ}^p}{2}\\ & ={ϵ}^p\end{array}$$
つまり$x\in B(y,ϵ)$がわかる(ここで$B(y,ϵ)$は$y$を中心とした半径$ϵ$の閉球)。以上から任意の$ϵ>0$について有限集合$T\subseteq {\ell }^p$をうまくとることで$S\subseteq \bigcup _{y\in T}B(y,ϵ)$と表せるから、$S$の全有界性が従う。次に$S$に於けるCauchy列$x^1,x^2,\cdots$をとり、その極限を$x$とする。以下$x^j$及び$x$の第$i$項を$x_i^j$及び$x_i$とおく。このとき
$$|x_i-x_i^j|\le \parallel x-x^j{\parallel }_p\stackrel{j\to \mathrm{\infty }}{\to }0$$
である。よって$x_i^j\stackrel{j\to \mathrm{\infty }}{\to }{x}_i$であるから、$|x_i|\le {\epsilon }_i$が従う。よって$x\in S$である。以上より$S$の全有界性及び完備性が言えたから、$S$はコンパクトである。

次に必要性を示す。$\epsilon \notin {\ell }^p$に対して、$S$に属する実数列の数列$x^1,x^2,\cdots$を
$$x^i:=({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_i,0,0,\cdots )$$
とおく。このとき$\parallel x^i{\parallel }_p$は無限大に発散するから、$S$は有界ではない。特に$S$はコンパクトではない。