【演習】閉包・内部作用素による連続写像・閉写像・開写像の特徴づけ
位相空間と写像の性質の練習問題としてちょうどいいと思いました。位相空間論を勉強した方はやってみてください。
$X,\,Y$を位相空間とし、$\Cl_X,\,\Cl_Y$を$X,\,Y$上の閉包作用素とする。このとき、
- $f:X\to Y$が連続$\Leftrightarrow$任意の$A\subset X$について$\Cl_Yf(A)\supset f(\Cl_XA)$
- $f:X\to Y$が閉写像$\Leftrightarrow$任意の$A\subset X$について$\Cl_Yf(A)\subset f(\Cl_XA)$
1. $\Rightarrow$
$f^{-1}(\Cl_Yf(A))\supset f^{-1}(f(A))\supset A$であり、$f$の連続性から$f^{-1}(\Cl_Yf(A))$が閉集合であることと、$\Cl_XA$が$A$を含む最小の閉集合であることより、
\begin{align}
{}&f^{-1}(\Cl_Yf(A))\supset\Cl_XA\\
\therefore{}&\Cl_Yf(A)\supset f(f^{-1}(\Cl_Yf(A)))\supset f(\Cl_XA)
\end{align}
1. $\Leftarrow$
$B$を$Y$の閉集合とすると、
\begin{equation}
f^{-1}(B)= f^{-1}(\Cl_YB)\supset f^{-1}(\Cl_Yf(f^{-1}(B)))\supset f^{-1}(f(\Cl_X(f^{-1}(B)))\supset\Cl_Xf^{-1}(B)
\end{equation}
より、$f^{-1}(B)$は閉集合となり、$f$は連続である。
2. $\Rightarrow$
$f(\Cl_XA)\supset f(A)$である。これと、$f$が閉写像であることより$f(\Cl_XA)$が閉集合となること、そして$\Cl_Yf(A)$が$f(A)$を含む最小の閉集合であることより、$f(\Cl_XA)\supset \Cl_Yf(A)$
2. $\Leftarrow$
$A$を$X$の閉集合とすると、$f(A)=f(\Cl_XA)\subset\Cl_Yf(A)$より$f(A)$は閉集合で$f$は閉写像。
参考文献
大田春外『深めよう位相空間: カントール集合から位相次元まで』
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