自作問題あなぐら１４（カージオイドころりん）

問題

　$xy$平面上に長方形$R = \left\{(x,\ y) \mid -\dfrac{1}{8} \leqq x \leqq \dfrac{1}{8} \ \text{かつ} \ 2 \leqq y \leqq \dfrac{17}{8}\right\}$と
\begin{equation} \begin{cases} x(\theta) = (1 + \cos{\theta}) \sin{\theta}, \\ y(\theta) = - (1 + \cos{\theta}) \cos{\theta} + 2 \end{cases} \qquad (-\pi \leqq \theta \leqq \pi) \end{equation}
で定義された点$(x(\theta),\ y(\theta))$が描く曲線$C$がある．
　図形$R$と，曲線$C$で囲まれる領域（境界を含む）の和集合で表される図形を$A$とする．

1. 図形$A$を$xy$平面上に図示せよ．
2. 点$(x(\theta),\ y(\theta))$における$C$の接線を$\ell_\theta$とする．$\ell_\theta$の傾きを$m(\theta)$とするとき，$m (\theta) = \tan{\dfrac{3 \theta}{2}}$を示せ．ただし，$\theta \neq \pm \dfrac{\pi}{3},\ \pm \pi$とする．
3. $\ell_\theta$と点$(0,\ 2)$の距離を$d(\theta)$とするとき，$d(\theta) = 2 \cos^3{\dfrac{\theta}{2}}$であることを示せ．
4. 図形$A$が$x$軸に接しながら滑ることなく転がっていくとき，$A$が通過する領域に含まれる点の$y$座標の最大値を求めよ．

余話

　 自作問題あなぐら１３（より良い変数変換を探せ） と同様に，僕の好きな楽曲『Catch up, latency』の歌詞（とそのMV）に着想を得た問題を作ろうとコネコネしていたら出来た問題です．思いのほか面白い問題が出来た気がします．

解説

　解答鋭意作成中