積分におけるテクニック【備忘録】
ページの存在意義
積分をやるうえで使えるテクニックをすぐに見れるようにする。
必要に応じてどんどん追加していく
1.関数の定義
\begin{align} \sin{3x} &= 3\sin{x} - 4\sin^3{x} \\ \cos{3x} &= 4\cos^3{x} - 3\cos{x} \\ \sin{4x} &= 4\sin{x}\cos{x} -8\sin^3{x}\cos{x} \\ \cos{4x} &= 8\cos^4{x} - 8\cos^2{x} + 1 \\ \sin{5x} &= 16\sin^5{x} -20\sin^3{x} + 5\sin{x} \\ \cos{5x} &= 16\cos^5{x} -20\cos^3{x} + 5\cos{x} \end{align}
$\displaystyle \sin{x}$について、この逆関数を $\displaystyle \arcsin{x} ~ (-1 \le x \le 1)$
$\displaystyle \cos{x}$について、この逆関数を $\displaystyle \arccos{x} ~ (-1 \le x \le 1)$
$\displaystyle \tan{x}$について、この逆関数を $\displaystyle \arctan{x} ~ (-\infty \le x \le \infty)$ と定義する
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~dx = \arcsin{x} + C$
$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1} ~dx = \arctan{x} + C$
\begin{align} \arcsin{(-x)} &= -\arcsin{x} \\ \arccos{(-x)} &= \pi - \arccos{x} \\ \arctan{(-x)} &= -\arctan{x} \\ \arccot{(-x)} &= \pi - \arccot{x} \\ \arcsec{(-x)} &= \pi - \arcsec{x} \\ \arccsc{(-x)} &= -\arccsc{x} \\ \end{align}
$\displaystyle \sinh{x} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\displaystyle \cosh{x} = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
$\displaystyle \tanh{x} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ と定義する
$\displaystyle \mathrm{arsinh}{x} = \log{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}$
$\displaystyle \mathrm{arcosh}{x} = \log{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}$
$\displaystyle \mathrm{artanh}{x} = \frac{1}{2}\log{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}$
※逆双曲線関数は双曲線関数をxについて解くと得られる
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} ~dx = \mathrm{arcosh}{x} + C$
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} ~dx = \mathrm{arsinh}{x} + C$
$x>0$を満たす実数$x$に対し、
$\displaystyle \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} ~dt$
と定義する
$x>0$を満たす実数$x$に対し、
$\displaystyle \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$
$\displaystyle \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin{\pi x}}$
$x$が自然数$n$であるなら、
$\Gamma(n) = (n-1)!$
また、$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
$x>0 ~,~ y>0$なる実数$x,y$に対して、
$\displaystyle B(x,y) = \int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{y-1} ~dt$
と定義する
$\displaystyle B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$
$x,y$が1以上の自然数であるとき、つまり、1以上の自然数$m,n$を用いて$x=m,y=n$と表せるとき、
$\displaystyle \int_{0}^{1} t^m(1-t)^n ~dt = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}$
また、$x$軸方向に平行移動すれば
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (t-\alpha)^m(\beta-t)^n ~dt = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} ~dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} ~dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n{x} ~dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n{x} ~dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \quad \quad \quad \rm{(nが奇数)}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \quad ~~\rm{(nが偶数)} \end{cases} $
任意の滑らかな関数$f(x)$について、
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) ~dx = f(0)$
を満たす関数$\delta(x)$をディラックのデルタ関数という
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-c) ~dx = f(c)$
$f(x)$の解を$x_i ~~ ( i \in I)$とするとき、
$\displaystyle \delta(f(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}$
$\displaystyle \lim_{A \to \infty }f_A(x)$が$x=0$で$A$をとり、それ以外で$0$を取るとき、全区間で積分した値を$I$とすると、
$f_A(x)$は分布の意味で次の関係が成り立つ
$\displaystyle \lim_{A \to \infty }f_A(x) = I \delta(x)$
すべての実数$x$について、
$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
$\displaystyle \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$
$\displaystyle \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$
$|x| < 1$となる実数$x$について
$\displaystyle \log{(1-x)} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
$\displaystyle \log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$
$\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$
$\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}$
$\displaystyle \arctan{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$
※よく使いそうなもの、使ったものをピックアップしている
実関数$f(x)$と$g(x)$に関するリーマン・スティルチェス積分とは
$\displaystyle I = \int_{a}^{b} f(x) ~dg(x)$
の形で表される積分である。
$g(x)$が滑らかな関数である時、$dg(x) = g'(x) ~dx$ と書き換えられるから、
$\displaystyle I = \int_{a}^{b} f(x)g'(x) ~dx$
と表せる。
$g(x)$が滑らかな関数でないとき、
$g(x)$が$x=c$で$J=g(c+)-g(c-)$のジャンプを持つとき、
その点での積分の値は$f(c) \cdot J$であるから、
積分区間$(a,b)$でのジャンプの総和を加えて
$\displaystyle I = \int_{a}^{b} f(x)g'(x) ~dx + \sum_{i} f(c_i) \cdot J_i$
と表せる。
$s>1$となる実数$s$について、リーマンゼータ関数を次のように定義する。
$\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$
$\displaystyle \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} ~~,~~ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} ~~,~~ \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945} ~~,~~ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450} $
※正の偶数についての特殊値の漸化式はあるが、これ以降はあまり使わなそうなため省略
$s>1$となる実数$s$について、ディリクレイータ関数を次のように定義する。
$\displaystyle \eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots$
ディリクレイータ関数はゼータ関数を用いて次のように表せる。
$\displaystyle \eta(s) = (1-2^{1-s})\zeta(s)$
ガンマ関数$\displaystyle \Gamma(x)$に対し、その対数微分
$\displaystyle \psi(x) = \frac{d}{dx}\log{\Gamma(x)} = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$
をディガンマ関数と定義する。
$\displaystyle \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}$
$\displaystyle \psi(x) = -\gamma - \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{x+n} - \frac{1}{n+1} \right)$
$\displaystyle \psi(1) = -\gamma ~~,~~ \psi\left( \frac{1}{2} \right) = -\gamma -2\log{2}$
$\displaystyle \psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$
自然数$s$と実数$x$について、
$\displaystyle \mathrm{Li}_{s}{(x)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s}$
と定義する。
$\displaystyle \mathrm{Li}_{s}{(1)} = \zeta(s) ~~,~~ \mathrm{Li}_{s}{(-1)} = -\eta(s)$
$\displaystyle \mathrm{Li}_{2}{\left( \frac{1}{2} \right)} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{(\log{2})^2}{2}$
2.テクニック
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) ~dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) ~dx$
左辺について、$y=a+b-x$と置くと、$x=a+b-y$
$ dx = -dy \quad x:a \to b \quad y:b \to a$ となり、
\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x) ~dx &= \int_{b}^{a} f(a+b-y) (-1)~dy \\
&=\int_{a}^{b} f(a+b-y) ~dy
\end{align}
定積分は変数によらず等しいので、
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) ~dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) ~dx$
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) ~dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) ~dx = bf(b) - af(a)$
2項目の積分について、$y=f^{-1}(x)$と置くと、$x=f(y)$
$dx = f'(y) ~dy \quad x:f(a) \to f(b) \quad y:a \to b$
\begin{align}
\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) ~dx &= \int_{a}^{b} yf'(y) ~dy \\
&=\left[ ~ yf(y) ~ \right]_a^b - \int_{a}^{b} f(y) ~dy \\
&=bf(b) - af(a) - \int_{a}^{b} f(y) ~dy \\
\end{align}
したがって、
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) ~dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) ~dx = bf(b) - af(a)$
$ x \notin \mathbb{Z}$を満たす$x$について、
$\displaystyle \lfloor x \rfloor - \lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = -1$
まず$x$は、ある整数$n$を用いて、$n < x < n+1$と表せる。
このとき、$\lfloor x \rfloor = n \quad \lceil x \rceil = n+1$
不等式をひっくり返すと、$-(n+1) < -x < -n$
このとき、$\lfloor -x \rfloor = -(n+1)$
したがって、これらを足すと、
$\lfloor x \rfloor - \lceil x \rceil = n - (n+1) = -1$
$\lfloor x \rfloor - \lfloor -x \rfloor = n + (-(n+1)) = -1$
よって示された
$\displaystyle \int e^{ax}\cos{bx} ~dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos{bx} + b\sin{bx}) + C$
$\displaystyle \int e^{ax}\sin{bx} ~dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin{bx} - b\cos{bx}) + C$
\begin{align} I &= \int e^{ax}\cos{bx} ~dx \\ &= \frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx} + \frac{b}{a} \int e^{ax}\sin{bx} ~dx \\ &=\frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx} + \frac{b}{a^2}e^{ax}\sin{bx} -\frac{b^2}{a^2} \int e^{ax}\cos{bx} ~dx \\ a^2I &=ae^{ax}\cos{bx} + be^{ax}\sin{bx} -b^2\int e^{ax}\cos{bx} ~dx \\ (a^2+b^2)I &= e^{ax}(a\cos{bx} + b\sin{bx}) + C \\ I &= \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos{bx} + b\sin{bx}) + C \end{align}
\begin{align} J &= \int e^{ax}\sin{bx} ~dx \\ &= \frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} - \frac{b}{a} \int e^{ax}\cos{bx} ~dx \\ &=\frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos{bx} -\frac{b^2}{a^2} \int e^{ax}\sin{bx} ~dx \\ a^2J &=ae^{ax}\sin{bx} - be^{ax}\cos{bx} -b^2\int e^{ax}\sin{bx} ~dx \\ (a^2+b^2)J &= e^{ax}(a\sin{bx} - b\cos{bx}) + C \\ J &= \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin{bx} - b\cos{bx}) + C \end{align}
任意の実数$k$について、
$\displaystyle \int_{k}^{k+1} \{ x \} ~dx = \frac{1}{2}$
まず、$\{x\}$はグラフで見ると$n \leq x < n+1 ~~(n \in \mathbb{N})$の区間では
$y=x-n$ という関数と同じグラフを描く。
$k=n$のとき、
\begin{align}
I &= \int_{n}^{n+1} x - n ~dx \\
&= \left[ \frac{1}{2}x^2 - nx \right]_{n}^{n+1} \\
&= \left( \frac{n^2+2n+1}{2} -n(n+1) \right) - \left( \frac{n^2}{2} -n^2 \right) \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$k=n+s \quad ( 0 < s < 1 ~,~ s \in \mathbb{R} )$のとき、
\begin{align}
I &= \int_{n+s}^{n+1} x - n ~dx + \int_{n+1}^{n+s+1} x - (n+1) ~dx\\
&= \left[ \frac{1}{2}x^2 - nx \right]_{n+s}^{n+1} + \left[ \frac{1}{2}x^2 - (n+1)x \right]_{n+1}^{n+s+1}\\
&= \left( \frac{n^2+2n+1}{2} -n(n+1) \right) - \left( \frac{n^2+2sn+s^2}{2} -n(n+s) \right) + \left( \frac{n^2+s^2+1+2ns+2n+2s}{2} -(n+1)(n+s+1) \right) - \left( \frac{n^2+2n+1}{2} -(n+1)(n+1) \right)\\
&= \rm{〜〜式を整理する〜〜} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
定積分を解くときに、パラメータを追加して次の手順で解くと上手く解ける場合がある。
①：パラメータ($t$)を被積分関数に追加する。
②：パラメータ($t$)で被積分関数を偏微分する。
③：その状態で定積分を行う。
④：③の結果を積分する。
⑤：④の積分定数を定める。
⑥：もとの積分になるようにパラメータ($t$)に値を代入する。
\begin{align}
I &=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} ~dx \\
I(t) &=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x}\cdot e^{-tx} ~dx \quad \rm{【①】}
\end{align}
ここで、$I(0) = I ~,~ I(\infty) = 0$である。
\begin{align}
I'(t) &=\int_{0}^{\infty} \frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{\sin{x}}{x}\cdot e^{-tx} \right)~dx \quad \rm{【②】} \\
&=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x}\cdot \left( -xe^{-tx} \right) ~dx \\
&=-\int_{0}^{\infty} e^{-tx}\sin{x} ~dx \\
&=-\left[ \frac{e^{-tx}}{t^2+1}(-\sin{x}-\cos{x}) \right]_{0}^{\infty} \quad \rm{【③】} \\
&=\frac{1}{t^2+1}\left[ e^{-tx}(\sin{x}+\cos{x}) \right]_{0}^{\infty} \\
&=\frac{1}{t^2+1}(0-1) \\
&=-\frac{1}{t^2+1} \\
I(t) &= -\int \frac{1}{t^2+1} ~dt \quad \rm{【④】} \\
&= -\arctan{t} + C
\end{align}
$\displaystyle I(\infty) = -\frac{\pi}{2} + C = 0$であるから、$\displaystyle C = \frac{\pi}{2} \quad \rm{【⑤】}$
\begin{align}
I(t) &= -\arctan{t} + \frac{\pi}{2} \\
I(0) &= -\arctan{0} + \frac{\pi}{2} \quad \rm{【⑥】} \\
&= \frac{\pi}{2} \\
I &= \frac{\pi}{2}
\end{align}
$\displaystyle t = \tan{\frac{x}{2}}$ と置くと
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2} \quad \sin{x} = \frac{2t}{1+t^2} \quad \cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\displaystyle t=\tan{\frac{x}{2}}$と置くと
$\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2} \left(1+\tan^2{\frac{x}{2}} \right) = \frac{1+t^2}{2} \quad \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$
$\displaystyle \sin{x} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}} = \frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{\tan^2{\frac{x}{2}}+1} = \frac{2t}{1+t^2}$
$\displaystyle \cos{x} = \frac{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1-\tan^2{\frac{x}{2}}}{\tan^2{\frac{x}{2}}+1} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\displaystyle t = \tan{x}$ と置くと
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2} \quad \sin^2{x} = \frac{t^2}{1+t^2} \quad \cos^2{x} = \frac{1}{1+t^2}$
$\displaystyle t=\tan{x}$と置くと
$\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2{x}} = 1+\tan^2{x} = 1+t^2 \quad \frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}$
$\displaystyle \cos^2{x} = \frac{1}{1+\tan^2{x}} = \frac{1}{1+t^2}$
$\displaystyle \sin^2{x} = 1- \cos^2{x} = 1 - \frac{1}{1+t^2} = \frac{t^2}{1+t^2}$
$\displaystyle t = \tanh{\frac{x}{2}}$ と置くと
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1-t^2} \quad \sinh{x} = \frac{2t}{1-t^2} \quad \cosh{x} = \frac{1+t^2}{1-t^2}$
$\displaystyle t=\tanh{\frac{x}{2}}$と置くと
$\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cosh^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2} \left(1-\tanh^2{\frac{x}{2}} \right) = \frac{1-t^2}{2} \quad \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1-t^2}$
$\displaystyle \sinh{x} = \frac{2\sinh{\frac{x}{2}}\cosh{\frac{x}{2}}}{\cosh^2{\frac{x}{2}}-\sinh^2{\frac{x}{2}}} = \frac{2\tanh{\frac{x}{2}}}{1-\tanh^2{\frac{x}{2}}} = \frac{2t}{1-t^2}$
$\displaystyle \cosh{x} = \frac{\cosh^2{\frac{x}{2}}+\sinh^2{\frac{x}{2}}}{\cosh^2{\frac{x}{2}}-\sinh^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1+\tanh^2{\frac{x}{2}}}{1-\tanh^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1+t^2}{1-t^2}$
$\displaystyle t = \tanh{x}$ と置くと
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{1-t^2} \quad \sinh^2{x} = \frac{t^2}{1-t^2} \quad \cosh^2{x} = \frac{1}{1-t^2}$
$\displaystyle t=\tanh{x}$と置くと
$\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cosh^2{x}} = 1-\tanh^2{x} = 1-t^2 \quad \frac{dx}{dt} = \frac{1}{1-t^2}$
$\displaystyle \cosh^2{x} = \frac{1}{1-\tanh^2{x}} = \frac{1}{1-t^2}$
$\displaystyle \sinh^2{x} = \cosh^2{x}-1 = \frac{1}{1-t^2} -1= \frac{t^2}{1-t^2}$
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