東大数理院試過去問解答例(2015B07)

ここでは東大数理の修士課程の院試の2015B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2015B07

定数 $a \in (0, 1)$ をとる。ここで $2$ 次元トーラス $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ 上のベクトル場 $F$ 及び関数 $L$ を
$F (x, y) = (F_{1} (x, y), F_{2} (x, y))$
$F_{1} (x, y) := \cos (2 π x - π) (a \sin (2 π x - π) - \sin (2 π y - π))$
$F_{2} (x, y) := \cos (2 π y - π) (\sin (2 π x - π) + a \sin (2 π y - π))$
$L (x, y) = \cos (2 π x - π) \cos (2 π y - π)$
によって定める。

$F (s, t) = (0, 0)$ なる $(s, t) \in T^{2}$ を全て求めなさい。
上で求めた $(s, t)$ のうち、 $F : T^{2} \to R^{2}$ の $(s, t)$ に於ける微分 $D F_{(s, t)}$ が実数でない固有値を持つようなものを全て求めなさい。
ベクトル場 $F (x, y)$ の生成するフロー $φ_{t} (x, y)$ について、
${\frac{d}{d t} (L \circ φ_{t} (x, y)) |}_{t = 0}$
を計算しなさい。
フロー $φ_{t} (x, y)$ は不動点以外の周期軌道を持たないことを示しなさい。

$(s, t) = (0, 0), (\frac{1}{2}, 0), (0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{4})$ である。
まず
$D F_{(s, t)} = (\begin{matrix} 2 π a \sin (4 π s - 2 π) + 2 π \sin (2 π s - π) \sin (2 π t - π) & - 2 π \cos (2 π s - π) \cos (2 π t - π) \\ 2 π \cos (2 π s - π) \cos (2 π t - π) & - 2 π \sin (2 π t - π) \sin (2 π s - π) + 2 π a \sin (4 π t - 2 π) \end{matrix})$
である。この行列は $(s, t) = (0, 0), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ のとき
$(\begin{matrix} 0 & - 2 π \\ 2 π & 0 \end{matrix})$
であり、 $(s, t) = (0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, 0)$ のとき
$(\begin{matrix} 0 & 2 π \\ - 2 π & 0 \end{matrix})$
であり、それ以外のときは対角行列である。以上から $D F_{(s, t)}$ が虚数を固有値にもつのは $(s, t) = (0, 0), (0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, 0), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ のときである。
求める値は
$\begin{aligned} (d L)_{(x, y)} F (x, y) = & F_{1} (x, y) \frac{\partial L}{\partial x} + F_{2} (x, y) \frac{\partial L}{\partial x} \\ = & - 2 π \cos (2 π x - π) (a \sin (2 π x - π) - \sin (2 π y - π)) (\sin (2 π x - π) \cos (2 π - π)) \\ - 2 π \cos (2 π y - π) (\sin (2 π x - π) + a \sin (2 π y - π)) (\cos (2 π x - π) \sin (2 π y - π)) \\ = & - 2 π \cos (2 π x - π) \sin (2 π x - π) \cos (2 π y - π) (a \sin (2 π x - π) - \sin (2 π y - π)) \\ - 2 π \cos (2 π y - π) \cos (2 π x - π) \sin (2 π y - π) (\sin (2 π x - π) + a \sin (2 π y - π)) \\ = & - 2 a π \cos (2 π x - π) \sin (2 π x - π) \cos (2 π y - π) \sin (2 π x - π) \\ - 2 a π \cos (2 π y - π) \cos (2 π x - π) \sin (2 π y - π) \sin (2 π y - π) \\ = & - 2 a π \cos (2 π x - π) \cos (2 π y - π) (\sin^{2} (2 π x - π) + \sin^{2} (2 π y - π)) \\ = & - 2 a π \cos (2 π x - π) \cos (2 π y - π) (2 - \cos^{2} (2 π x - π) - \cos^{2} (2 π y - π)) \end{aligned}$
であるから、求める値は
$- 2 a π \cos (2 π x - π) \cos (2 π y - π) (2 - \cos^{2} (2 π x - π) - \cos^{2} (2 π y - π))$
である。
$p : R^{2} \to T^{2}$ を自然な射影とする。まず $T^{2}$ を $4$ つの部分
$A = p ([\frac{1}{4}, \frac{3}{4}] \times [\frac{1}{4}, \frac{3}{4}])$
$B = p ([\frac{1}{4}, \frac{3}{4}] \times [\frac{3}{4}, \frac{5}{4}])$
$C = p ([\frac{3}{4}, \frac{5}{4}] \times [\frac{1}{4}, \frac{3}{4}])$
$D = p ([\frac{3}{4}, \frac{5}{4}] \times [\frac{3}{4}, \frac{5}{4}])$
に分ける。まずフローの像は $A, B, C, D$ のいずれかに含まれている。ここでこれらの集合の境界上では不動点以外の周期軌道を持たないから、以下 $A, B, C, D$ の内部 $A^{\circ}, B^{\circ}, C^{\circ}, D^{\circ}$ に不動点以外の周期軌道が存在しないことを示せば良い。まず $A^{\circ}, D^{\circ}$ に於いては全ての点で ${\frac{d}{d t} (L \circ φ_{t} (x, y)) |}_{t = 0}$ は非正であり、 $B^{\circ}, C^{\circ}$ に於いては非負である。一方 $L$ は $A^{\circ}, D^{\circ}$ に於いては非負、 $B^{\circ}, C^{\circ}$ に於いては非正であり、これが $0$ になるのは $(x, y) = (\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ のときに限る。以上から $A, B, C, D$ のいずれかの内部に存在する全ての点 $(x, y) \neq (\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ について $| L \circ φ_{t} (x, y) |$ は $t$ について狭義単調減少である。よって $A^{\circ}, B^{\circ}, C^{\circ}, D^{\circ}$ が $x = (\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ 以外の周期軌道を持たない。以上からフロー $φ_{t}$ は不動点以外の周期軌道を持たない。

投稿日：2024年3月8日

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