多重ゼータ値のインデックスに対応する微分と微分関係式

$s\to \mathrm{\infty }$ で両辺は等しい。あとは両辺の差分作用素が等しいことを証明すればよい。

左辺の差分は

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{\Delta }}_s(\zeta (\mathbf{k})-{\zeta }_{\le s}(\mathbf{k}))& =& -\sum _{m_r=1}^s\sum _{m_{r-1}=m_r+1}^s\cdots \sum _{m_2=m_3+1}^s(\sum _{m_1=m_2+1}^{s+1}-\sum _{m_1=m_2+1}^s)\frac{1}{{m_1}^{k_1}\cdots {m_r}^{k_r}}\\ & =& -\frac{{\zeta }_{\le s}({\mathbf{k}}^{[1]})}{(s+1{)}^{k_1}}.\end{array}$$

右辺は${\zeta }_{\le s}(\mathbf{k})$の差分を使って計算を進めると、

$$\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{\Delta }}_s\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^r\frac{A_{i,j}{\zeta }_{\le s}({\mathbf{k}}^{[i]})}{j+k_1-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}\right)\\ & =& -\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\zeta }_{\le s}({\mathbf{k}}^{[1]})(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(\{1{\}}^{k_1-2})\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1+1)}\\ & & -\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=2}^r(A_{i,j}-\frac{A_{i-1,j}}{(j+k_1-1)(s+1{)}^{k_i-1}}){\zeta }_{\le s}({\mathbf{k}}^{[i]})\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1+1)}\\ & =& -\frac{{\zeta }_{\le s}({\mathbf{k}}^{[1]})}{(s+1{)}^{k_1}}-\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=2}^r(A_{i,j}-\frac{A_{i-1,j}}{(j+k_1-1)(s+1{)}^{k_i-1}}){\zeta }_{\le s}({\mathbf{k}}^{[i]})\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1+1)}.\end{array}$$

ここで$A_{i,j}$の漸化式の仮定より、$x=s$とすれば第2項は$0$になる。$◻$

両辺に差分作用素を適用する。左辺は
$$\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{\Delta }}_s\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_{i+1,j}}{j+k_1-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}\right)\\ & =& -\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{i+1,j}\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1+1)}\\ & =& -\frac{1}{(s+1{)}^{k_{i+1}}}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_{i,j}}{(j+k_1-1)}\frac{\mathrm{\Gamma }(s+2)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1+1)}\end{array}$$であり、右辺は
$$\begin{array}{rclrc}& & {\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{>s}({\mathbf{k}}_{[i+1]}))& =& -\frac{1}{(s+1{)}^{k_{i+1}}}{\zeta }_{>s+1}({\mathbf{k}}_{[i]}).\end{array}$$
よく見ると同じ漸化式を満たしていることがわかる。

$i=1$のときは簡単に確認できて、$s\to \mathrm{\infty }$ で両辺は$0$に収束するから証明は終了する。$◻$

$i=1$のとき成立することは $(k_1{)}^{†}=(2,\{1{\}}^{k_1-2})$ であることから従う。

示したい等号の右辺を

$$B_{i,j}:=\frac{(j+k_1-2)!}{(j+k_1-1{)}^{\Vert (({\mathbf{k}}_{[i]}{)}^{†}){\Vert }_1-2}}{\zeta }_{\le j+k_1-2}((({\mathbf{k}}_{[i]}{)}^{†}{)}^{[1]})$$

と書き、$1\le i\le m-1$に対して

$$L_i(x)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_{i+1,j}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+j+k_1+1)},$$

$$R_i(x)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{i,j}}{(j+k_1-1)(x+1{)}^{k_{i+1}-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+j+k_1+1)}$$

と定める。

$A_{i,j}$の定義より、すべての$1\le i\le m-1$で$L_i(x)=R_i(x)$を示すのが目標である。

このとき $B_{i,j}=(j+k_1-1)!{\zeta }_{=j+k_1-1}({}_{\downarrow }(({\mathbf{k}}_{[i]}{)}^{†}))$ と書ける。
ここで${}_{\downarrow }(k_1,\cdots ,k_r):=(k_1-1,k_2,\cdots ,k_r)$とした。

実際

$$\begin{array}{rcl}{\zeta }_{=N}(\mathbf{k})& =& {\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{\le s}(\mathbf{k})){|}_{s=N-1}\\ & =& \frac{{\zeta }_{\le N-1}({\mathbf{k}}^{[1]})}{N^{k_1}}\end{array}$$

であるから$B_{i,j}=(j+k_1-1)!{\zeta }_{=j+k_1-1}({}_{\downarrow }(({\mathbf{k}}_{[i]}{)}^{†}))$がわかる。

$\mathbf{l}:=({\mathbf{k}}_{[i]}{)}^{†}=(l_1,\cdots ,l_q)$ として$R_i(x)$を計算し

$$\begin{array}{rcl}{R}_i(x)& =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{0<n_q<\cdots <n_1=j+k_1-1}\frac{(j+k_1-1)!}{{n_1}^{l_1-1}{n_2}^{l_2}\cdots {n_q}^{l_q}}\right)\frac{1}{(j+k_1-1)(x+1{)}^{k_{i+1}-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+j+k_1+1)}\\ & =& \sum _{0<n_q<\cdots <n_1}\frac{n_1!}{{n_1}^{l_1}{n_2}^{l_2}\cdots {n_q}^{l_q}}\frac{1}{(x+1{)}^{k_{i+1}-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+n_1+2)}.\end{array}$$

2行目の等号で$j+k_1-1=n_1$を使いシグマを交換した。

一方で双対インデックスの定義より、

$$\begin{array}{r}({\mathbf{k}}_{[i+1]}{)}^{†}=\{\begin{array}{ll}(1+l_1,l_2,\cdots ,l_q)& \text{if}{k}_{i+1}=1\\ (2,\{1{\}}^{k_{i+1}-2},l_1,\cdots ,l_q)& \text{if}{k}_{i+1}\ge 2\end{array}\end{array}$$

なので場合分けして考える。

$k_{i+1}=1$のときは再びシグマを交換し、

$$\begin{array}{rcl}{L}_i(x)& =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{0<n_q<\cdots <n_1=j+k_1-1}\frac{(j+k_1-1)!}{{n_1}^{1+l_1-1}{n_2}^{l_2}\cdots {n_q}^{l_q}}\right)\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+j+k_1+1)}\\ & =& \sum _{0<n_q<\cdots <n_1}\frac{n_1!}{{n_1}^{l_1}{n_2}^{l_2}\cdots {n_q}^{l_q}}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+n_1+2)}\end{array}$$

より $L_i(x)=R_i(x)$が言える。

$k_{i+1}\ge 2$のときは$l:=k_{i+1}-1$とおくと、

$$\begin{array}{rcl}{L}_i(x)& =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{0<n_q<\cdots <n_1<m_l<\cdots <m_1=j+k_1-1}\frac{(j+k_1-1)!}{{m_1}^{2-1}{m}_2\cdots m_l}\frac{1}{{n_1}^{1+l_1-1}{n_2}^{l_2}\cdots {n_q}^{l_q}}\right)\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+j+k_1+1)}\\ & =& \sum _{0<n_q<\cdots <n_1<m_l<\cdots <m_1}\frac{m_1!}{m_1\cdots m_l}\frac{1}{{n_1}^{l_1}\cdots {n_q}^{l_q}}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+m_1+2)}.\end{array}$$

$R_i(x)$の式と見比べると、正整数$l,n_1$に対して

$$\begin{array}{r}\sum _{n_1<m_l<\cdots <m_1}\frac{m_1!}{m_1\cdots m_l}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+m_1+2)}=\frac{n_1!}{(x+1{)}^l}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+n_1+2)}\end{array}$$

を示せば証明は完了する。

ここで、固定された$m_0$に対して

$$\begin{array}{rcl}\sum _{m_0<m}\frac{m!}{m}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x+m+2)}& =& \sum _{m_0<m}\frac{1}{x+1}(\frac{(m-1)!}{\mathrm{\Gamma }(x+m+1)}-\frac{m!}{\mathrm{\Gamma }(x+m+2)})\\ & =& \frac{1}{x+1}\frac{m_0!}{\mathrm{\Gamma }(x+m_0+2)}\end{array}$$

である。これを$l$回適用し

$$\begin{array}{rcl}\sum _{n_1<m_l<\cdots <m_2<m_1}\frac{m_1!}{m_1\cdots m_l}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+m_1+2)}& =& \sum _{n_1<m_l<\cdots <m_2}\frac{1}{x+1}\frac{m_2!}{m_2\cdots m_l}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+m_2+1)}\\ & =& \cdots \\ & =& \frac{n_1!}{(x+1{)}^l}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+n_1+2)}.◻\end{array}$$

定理5は次のように書き換えられる：

$${\zeta }_{>s}(\mathbf{k})=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(j+k_1-1)!{\mathrm{\Delta }}_N({\zeta }_{\le N}({\mathbf{k}}^{†})){|}_{N=j+k_1-2}\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}.$$

両辺$s=0$とすれば差分作用素の性質より$\zeta (\mathbf{k})=\zeta ({\mathbf{k}}^{†})$が得られる。$◻$

$$\begin{array}{rcl}-{\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\zeta }_{>s}(\mathbf{k})|}_{s=0}& =& -\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}|}_{s=0}\\ & =& -\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}{\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}({\zeta }_{\le s}(1)-{\zeta }_{\le s+j+k_1-1}(1))|}_{s=0}\\ & =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}){\zeta }_{\le j+k_1-1}(1)}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+k_1)}\\ & =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+k_1)}({\zeta }_{\le j+k_1-2}(1)+\frac{1}{j+k_1-1})\\ & =& \zeta ((\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}\ast (1){)}^{†})+\zeta ((\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1+1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}{)}^{†}).\end{array}$$

ここで、$({\mathbf{k}}^{†}{)}^{†}=\mathbf{k}$および多重調和和は調和積に関して準同型であることを使った。

調和積の性質より$(\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}\ast (1))+(\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1+1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})=(1)\ast {\mathbf{k}}^{†}-(1,{\mathbf{k}}^{†})$ が導かれる。$◻$

差分作用素と微分作用素が可換であることを使う。

具体的には、

$$\frac{\text{d}}{\text{d}s}\circ {\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{>s}(\mathbf{k}))={\mathrm{\Delta }}_s\circ \frac{\text{d}}{\text{d}s}({\zeta }_{>s}(\mathbf{k})).$$

ここで次の式を示したい：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\zeta }_{>s}(\mathbf{k})=-{\zeta }_{>s}(\text{d}\mathbf{k}).$$

$\mathbf{k}=(k_1,\cdots ,k_r)$として$r$に関する帰納法で示す。

(i) $r=1$のとき

左辺は

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{d}}{\text{d}s}({\zeta }_{>s}(k_1))& =& -k_1{\zeta }_{>s}(k_1+1).\end{array}$$

右辺は

$$\begin{array}{r}-{\zeta }_{>s}(\text{d}\mathbf{k})=-k_1{\zeta }_{>s}(k_1+1).\end{array}$$

よって主張は正しい。

(ii) $r=n$のとき成立 $⟹$ $r=n+1$のとき成立 $(1\le n)$

$s\to \mathrm{\infty }$ で両辺は等しい。よって次の式を示せばよい：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}s}\circ {\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{>s}(\mathbf{k}))=-{\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{>s}(\text{d}\mathbf{k})).$$

仮定より、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{d}}{\text{d}s}\circ {\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{>s}(k_1,\cdots ,k_{n+1}))& =& -\frac{\text{d}}{\text{d}s}\frac{{\zeta }_{>s+1}(k_1,\cdots ,k_n)}{(s+1{)}^{k_{n+1}}}\\ & =& \frac{k_{n+1}}{(s+1{)}^{k_{n+1}}}{\zeta }_{>s+1}(k_1,\cdots ,k_n)-\frac{1}{(s+1{)}^{k_{n+1}}}\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\zeta }_{>s+1}(k_1,\cdots ,k_n)\\ & =& \frac{k_{n+1}}{(s+1{)}^{k_{n+1}}}{\zeta }_{>s+1}(k_1,\cdots ,k_n)+\frac{1}{(s+1{)}^{k_{n+1}}}{\zeta }_{>s+1}(\text{d}(k_1,\cdots ,k_n))\\ & =& -{\mathrm{\Delta }}_s({\zeta }_{>s}(\text{d}(k_1,\cdots ,k_{n+1}))).\end{array}$$

以上より主張は正しい。

いま、

$$-\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\zeta }_{>s}(\mathbf{k})={\zeta }_{>s}(\text{d}\mathbf{k})$$

より両辺 $s=0$ とすれば所望の式を得る。$◻$

定理6と定理7から得られる。$◻$

$$\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\zeta }_{>s}(\mathbf{k})=-{\zeta }_{>s}(\text{d}\mathbf{k})$$

より、

$$\begin{array}{rcl}{\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{s}^n}{\zeta }_{>s}(\mathbf{k})|}_{s=0}& =& {\frac{{\text{d}}^{n-1}}{\text{d}{s}^{n-1}}(-{\zeta }_{>s}(\text{d}\mathbf{k}))|}_{s=0}\\ & =& \cdots \\ & =& (-1{)}^n{\zeta }_{>s}({\text{d}}^n\mathbf{k}){|}_{s=0}\\ & =& (-1{)}^n\zeta ({\text{d}}^n\mathbf{k}).◻\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{s}^2}{\zeta }_{>s}(\mathbf{k})|}_{s=0}& =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{s}^2}{\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}|}_{s=0}\\ & =& {\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{\mathrm{\Gamma }(s+j+k_1)}(({\zeta }_{\le s+j+k_1-1}(1)-{\zeta }_{\le s}(1){)}^2+({\zeta }_{\le s+j+k_1-1}(2)-{\zeta }_{\le s}(2)))|}_{s=0}\\ & =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}({\zeta }_{\le j+k_1-1}(1{)}^2+{\zeta }_{\le j+k_1-1}(2))\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+k_1)}\\ & =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}({({\zeta }_{\le j+k_1-2}(1)+\frac{1}{j+k_1-1})}^2+{\zeta }_{\le j+k_1-2}(2)+\frac{1}{(j+k_1-1{)}^2})\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+k_1)}\\ & =& \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+k_1-2)!{\zeta }_{\le j+k_1-2}(({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]})}{(j+k_1-1{)}^{\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1-1}}({\zeta }_{\le j+k_1-2}(1{)}^2+\frac{2{\zeta }_{\le j+k_1-2}(1)}{j+k_1-1}+{\zeta }_{\le j+k_1-2}(2)+\frac{2}{(j+k_1-1{)}^2})\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+k_1)}\\ & =& \zeta ((\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}\ast (1)\ast (1){)}^{†})+\zeta ((\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}\ast (2){)}^{†})+2\zeta ((\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1+1,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}\ast (1){)}^{†})+2\zeta ((\Vert {\mathbf{k}}^{†}{\Vert }_1+2,({\mathbf{k}}^{†}{)}^{[1]}{)}^{†}).◻\end{array}$$