単調族定理について

順序数$\alpha$に対し集合族${\mathcal{A}}_{\alpha }$と${\mathcal{B}}_{\alpha }$を次のように帰納的に定める. まず${\mathcal{A}}_0={\mathcal{B}}_0=\mathcal{A}$とおく. 一般の$\alpha >0$については$\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal{B}}_{\beta }$の元の可算上昇列$(B_n)$の合併$\bigcup _n{B}_n$として書ける元の全体を${\mathcal{A}}_{\alpha }$とおき, ${\mathcal{A}}_{\alpha }$の元の可算下降列$(A_n)$の共通部分$\bigcap A_n$として書ける元の全体を${\mathcal{B}}_{\alpha }$とおく.
まず, 任意の$\alpha$について${\mathcal{A}}_{\alpha },{\mathcal{B}}_{\alpha }$が$\mathcal{M}(\mathcal{A})$に含まれることを帰納的に示す. $\alpha =0$の場合は明らか. 一般の$\alpha$について, ${\mathcal{A}}_{\alpha }$の元$A$を取る. 定義より$\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal{B}}_{\beta }$の元の可算上昇列$(B_n)$によって$A=\bigcup B_n$と書ける. 帰納法の仮定により$B_n\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$なので, 単調族の定義より$A=\bigcup B_n\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$. したがって${\mathcal{A}}_{\alpha }\subset \mathcal{M}(\mathcal{A})$. また${\mathcal{B}}_{\alpha }$の元$B$を取ると, 定義によりこれは${\mathcal{A}}_{\alpha }$の元の可算下降列$(A_n)$の交わりとして書ける. よって$B$は特に$\mathcal{M}(\mathcal{A})$の元の可算降下列の交わりなので$\mathcal{M}(\mathcal{A})$に属す. したがって${\mathcal{B}}_{\alpha }\subset \mathcal{M}(\mathcal{A})$.
次に, $\bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }=\mathcal{M}(\mathcal{A})$を示す. ここで, 十分大きい順序数$\alpha では{\mathcal{A}}_{\alpha }$が一定になっていることに注意すれば, この合併が定義できることがわかる. さて, $\bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }$が単調族であることを示せば良い. そこでまず$(A_n)$を$\bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }$の可算上昇列とする. すると各$n$に対し順序数${\alpha }_n$が存在して$A_n\in {\mathcal{A}}_{{\alpha }_n}$となっている. すべての${\alpha }_n$より大きな$\alpha$を取れば$A_n\in {\mathcal{A}}_{\alpha }$である. よって$A_n\in {\mathcal{B}}_{\alpha }$なので$\bigcup A_n\in {\mathcal{A}}_{\alpha +1}\subset \bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }$である. 次に$(A_n)$を$\bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }$の可算下降列とする. すると先程と同様にある順序数$\alpha$が存在して$A_n\in {\mathcal{A}}_{\alpha }$とできる. したがって$\bigcap A_n\in {\mathcal{B}}_{\alpha }\subset {\mathcal{A}}_{\alpha +1}\subset \bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }$である. よって$\bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }$は単調族であり, $\bigcup _{\alpha }{\mathcal{A}}_{\alpha }=\mathcal{M}(\mathcal{A})$である.
これで$\mathcal{M}(\mathcal{A})$の具体的な構成を与えることができた. これを用いて定理を示す. まず$\varnothing \in \mathcal{A}$より$\varnothing \in \mathcal{M}(\mathcal{A})$である. 次に$A,B\in {\mathcal{A}}_{\alpha }$に対し$A\cup B\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$であることを$\alpha$についての帰納法で示す. $\mathcal{A}$は有限加法族なので$\alpha =0$の場合は良い. 一般の$\alpha >0$について考える. すると$\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal{B}}_{\beta }$の可算上昇列$(A_n)$, $(B_n)$が存在して$A=\bigcup A_n$, $B=\bigcup B_n$と書ける. 帰納包の仮定により$A_n\cup B_n\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$なので, $A\cup B=\bigcup A_n\cup B_n\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$. これで$\mathcal{M}(\mathcal{A})$が有限合併に閉じることがわかった.
最後に$A\in {\mathcal{A}}_{\alpha }$に対し$X-A\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$であることを帰納法で示す. $\alpha =0$の場合は良い. 一般の$\alpha >0$の場合を考える. $\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal{B}}_{\beta }$の元の可算上昇列$(A_n)$が存在して$A=\bigcup A_n$と書ける. 各$n$に対し順序数${\alpha }_n$が存在して$A_n\in {\mathcal{B}}_{{\alpha }_n}$とできる. したがって各$n$に対して${\mathcal{A}}_{{\alpha }_n}$の元の可算降下列$(A_{n,m})$があって$A_n=\bigcap A_{n,m}$とできる. すると帰納法の仮定により$X-A_{n,m}\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$なので$X-A=\bigcap _n\bigcup _m(X-A_{n,m})\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$.