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大学数学基礎解説
位数5の群の分類 および、位数pの群の分類
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位数5の群の分類
この記事では位数5の群について分類する。
そのあと素数pに対して、位数pの群の分類を行う。
位数5の群$G$は、ただ一通りで、巡回群に限られる。
命題1
$1\neq x \in G$ となる$x$をとると、$x$が生成する巡回部分群$H=\langle x \rangle =\{x^n|n\in \mathbb{N}\}$が存在する。
ラグランジュの定理より
$H$の位数は$G$の位数5を割り切る。
よって、$|H|=1,5$であるが、$x\neq1$なので、$|H|=5$
ゆえに、$H=G$となるほかない。
ここで、${\mathbb{Z}}/{5\mathbb{Z}}$という群について紹介しよう。
${\mathbb{Z}}/{5\mathbb{Z}}=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}$であり、
$[a]=\{a+5k|k\in\mathbb{Z}\}$
つまり、整数全体を5で割ったときのあまりによって分類されたものをいう。
演算は和を取った後、5で割った余りを対応させる。
$[2]+[4]=[6]=[1]$
$[1]+[4]=[5]=[0]$
この演算で群をなす。
位数5をより一般に位数pでも同じことがいえるので次が成り立つ。
$p$を素数とする。
位数$p$の群$G$は巡回群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型である。
群$A$と$B$が同型であるとは
全単射写像$f : A\to B$ が存在して、
$\forall x,y \in A ,f(xy)=f(x)f(y)$
であることをいう。
投稿日：14日前
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かくる
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