アティマク第5章演習問題35番

$\Longrightarrow$
第5章演習問題3番より$f \otimes 1:C\rightarrow B\otimes_A C$は整.
第5章演習問題1番より$(f \otimes 1)^{\ast}:Spec(B\otimes_A C)\rightarrow Spec(C)$は閉写像.
$\Longleftarrow$
$K$を$B$の商体とする.
$f:A\rightarrow B$が整
$\Longleftrightarrow B$が$f(A)$上整
$\Longleftrightarrow B\subset \overline{ f(A) } :K$における$f(A)$の整閉包
$\Longleftrightarrow f(A)\subset\forall A^{\prime}:K$の付値環に対して$B\subset A^{\prime}$(系5.22より)
を示す.
まず$(f\otimes id_{A^{\prime}})^{\ast}:Spec(B\otimes_A A^{\prime})\rightarrow Spec(A^{\prime})$は仮定より閉写像.
$g:B\otimes_A A^{\prime}\rightarrow K;b\otimes_A a^{\prime}\mapsto ba^{\prime}$とすると,
$g\circ (f\otimes id_{A^{\prime}})$は$A^{\prime}$から$K$への埋め込みなので,第5章演習問題34番より$g(B\otimes_A A^{\prime})=A^{\prime}$なので,$B\rightarrow B\otimes_A A^{\prime}\rightarrow A^{\prime}$は包含写像.
\begin{xy} \xymatrix { A \ar[d]^f \ar[r] &A^{\prime} \ar[d]_{f\otimes id_A^{\prime}} \ar[r]^{inclusion} &K & \\ B \ar[r] &B\otimes_A A^{\prime} \ar[ru]_g } \end{xy}

$\Longrightarrow$
上と同じ
$\Longleftarrow$
$p_i(1\leq i\leq n)$を$B$の極小素イデアルすべてとする.
$A\stackrel{f}{\rightarrow}B\stackrel{\pi}{\rightarrow}B/p_i$が整であることを示す.
任意の$A$-代数$C$に対して$((\pi\circ f) \otimes 1)^{\ast}:Spec(B/p_i\otimes_A C)\rightarrow Spec(C)$が閉写像であること示せば良い.
$g:A\rightarrow C$を$A$-代数の射とする.
pushoutの普遍性より,
$\exists!\pi\otimes 1:B\otimes_A C\rightarrow B/p_i\otimes_A C　s.t.　(\pi\otimes 1)\circ (f\otimes 1)=(\pi\circ f)\otimes 1$
\begin{xy} \xymatrix { A \ar[r]^f \ar[d]^g &B \ar[r]^{\pi} \ar[d]^{1\otimes g} &B/p_i \ar[dd]^{1\otimes g} \\ C \ar[r]^{f\otimes 1} \ar@/_/[drr]_{(\pi\circ f)\otimes 1} &B\otimes_A C \ar@{.>}[dr]^{\exists!\pi\otimes 1} \\ && B/p_i\otimes_A C } \end{xy}
$\pi:B\rightarrow B/p_i$は整なので,$(\pi\otimes 1)^{\ast}$は閉写像.仮定より$(f\otimes 1)^{\ast}$は閉写像なので$((\pi\circ f)\otimes 1)$は閉写像.
よって$A\stackrel{f}{\rightarrow}B\stackrel{\pi}{\rightarrow}B/p_i$は整である.
第5章演習問題6より$A\stackrel{f}{\rightarrow}B\stackrel{\pi}{\rightarrow}\prod_{i=1}^{n}B/p_i$は整である.
命題1.10より単射$B/nil(B)\rightarrow \prod_{i=1}^{n}B/p_i$が生える.
\begin{xy} \xymatrix{ A \ar[r]^{\overline{f}} \ar[d]_f &\prod_{i=1}^{n}B/p_i \\ B \ar[ru]^h \ar[d]_{\pi}\\ B/nil(B) \ar[ruu]_{\overline{h}} }\end{xy}
$\forall b\in B$に対して$\overline{h}\circ\pi(b)$は$\overline{h}\circ\pi\circ f(A)$上整より,
$\exists a_i\in A$
$s.t.\space\overline{h}\circ\pi(b)^n+\overline{h}\circ\pi\circ f(a_1)\overline{h}\circ\pi(b)^{n-1}+\dots +\overline{h}\circ\pi\circ f(a_n)=0$
これについて、
$0=\overline{h}\circ\pi(b)^n+\overline{h}\circ\pi\circ f(a_1)\overline{h}\circ\pi(b)^{n-1}+\dots +\pi\circ f(a_n)=\overline{h}(\pi(b)^n+\pi\circ f(a_1)\pi(b)^{n-1}+\dots +\pi\circ f(a_n))$
であって,$\overline{h}$は単射なので,
$\pi(b)^n+\pi\circ f(a_1)\pi(b)^{n-1}+\dots +\pi\circ f(a_n)=0$
さらに,
$0=\pi(b^n+f(a_1)b^{n-1}+\dots +f(a_n))$
であるので,
$b^n+f(a_1)b^{n-1}+\dots +f(a_n)\in nil(B)$
より,
$\exists k\in\mathbb{N} s.t. (b^n+f(a_1)b^{n-1}+\dots +f(a_n))^k=0$
で,これを展開すればこれが$b\in B$の$f(A)$上の整従属の式となる.
従って,$f:A\rightarrow B$は整.