素数計数関数とチェビシェフ関数の関係まとめ
はじめに
この記事では素数計数関数
$$\pi(x)=\sum_{p\leq x}1,\quad\Pi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac1n\pi(x^{\frac1n})$$
とチェビシェフ関数
$$\vt(x)=\sum_{p\leq x}\log p,\quad\psi(x)=\sum^\infty_{n=1}\vt(x^\frac1n)$$
の相互関係についてまとめていきます。
$\pi(x)$と$\Pi(x)$、$\vt(x)$と$\psi(x)$の関係
反転公式
$$\pi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^\frac1n),\quad \vt(x)=\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\psi(x^\frac1n)$$
メビウス関数の性質
$$\sum_{d|n}\mu(d)=\l\{\begin{array}{ll}1&n=1\\0&n\neq1\end{array}\r.$$
から
\begin{eqnarray}
\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^\frac1n)
&=&\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{n}\sum^\infty_{m=1}\frac1m\pi(x^\frac1{mn})
\\&=&\sum^\infty_{l=1}\frac1l\l(\sum_{n|l}\mu(n)\r)\pi(x^\frac1l)
\\&=&\frac11\pi(x^\frac11)=\pi(x)
\\\\\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\psi(x^\frac1n)
&=&\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\sum^\infty_{m=1}\vt(x^\frac1{mn})
\\&=&\sum^\infty_{l=1}\l(\sum_{n|l}\mu(n)\r)\vt(x^\frac1l)
\\&=&\vt(x^\frac11)=\vt(x)
\end{eqnarray}
とわかる。
近似関係
$$\Pi(x)=\pi(x)+O(\pi(x^\frac12)),\quad\psi(x)=\vt(x)+O(\vt(x^\frac12))$$
特に
$$\Pi(x)=\pi(x)+O\l(\frac {\sqrt x}{\log x}\r),\quad\psi(x)=\vt(x)+O(\sqrt x)$$
が成り立つ。
$x^{\frac1n}<2$つまり$\log_2 x< n$において
$$\pi(x^\frac1n)=\vt(x^\frac1n)=0$$
となることに注意すると
\begin{eqnarray}
\Pi(x)&=&\pi(x)+\frac12\pi(x^\frac12)+\sum^{\lfloor\log_2x\rfloor}_{n=3}\frac1n\pi(x^\frac1n)
\\&\leq&\pi(x)+\frac12\pi(x^\frac12)+\lfloor\log_2x\rfloor\pi(x^\frac13)
\\&=&\pi(x)+\frac12\pi(x^\frac12)+O(x^\frac13\log x)
\\&=&\pi(x)+O(\pi(x^\frac12))
\\\\
\psi(x)&=&\vt(x)+\vt(x^\frac12)+\sum^{\lfloor\log_2x\rfloor}_{n=3}\vt(x^\frac1n)
\\&\leq&\vt(x)+\vt(x^\frac12)+\lfloor\log_2x\rfloor\vt(x^\frac13)
\\&=&\vt(x)+\vt(x^\frac12)+O(x^\frac13\log^2x)
\\&=&\vt(x)+O(\vt(x^\frac12))
\end{eqnarray}
がわかる。
また素数定理
$$\pi(x)\sim\frac{x}{\log x},\quad\vt(x)\sim x$$
に注意すると主張を得る。
ちなみに素数定理を用いなくても
$$\pi(x)=O(x),\quad\vt(x)=O(x\log x)$$
くらいの評価はできるので
$$\Pi(x)=\pi(x)+O\l(\sqrt x\r),\quad\psi(x)=\vt(x)+O(\sqrt x\log x)$$
といった式は得られます。
$\pi(x)$と$\vt(x)$、$\Pi(x)$と$\psi(x)$の関係
素数計数関数とチェビシェフ関数はアーベルの総和公式を用いることで非常に綺麗な関係を持つことが確かめられます。
数列$\{a_n\}$と$C^1$級関数$f$について$A(x)=\sum_{N\leq n\leq x}a_n$とおいたとき
$$\sum_{N\leq n\leq x}a_nf(n)=A(x)f(x)-\int^x_{N}A(t)f'(t)dt$$
が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\sum_{N\leq n\leq x}a_nf(n)
&=&\sum_{N\leq n\leq x}a_n\l(f(x)-\int^x_nf'(t)dt\r)\\
&=&A(x)f(x)-\int^x_N\l(\sum_{N\leq n\leq t}a_n\r)f'(t)dt\\
&=&A(x)f(x)-\int^x_{N}A(t)f'(t)dt
\end{eqnarray}
とわかる。
相互関係その一
$$\pi(x)=\frac{\vt(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\vt(t)}{t\log^2t}dt,\quad
\Pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\psi(t)}{t\log^2t}dt$$
$$\vt(x)=\pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\pi(t)}{t}dt,\quad
\psi(x)=\Pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\Pi(t)}{t}dt$$
$$q_n=\l\{\begin{array}{cl}1&n=p\\0&\mathrm{otherwise}\end{array}\r.\ ,\quad
r_n=\l\{\begin{array}{cl}\frac1k&n=p^k\\0&\mathrm{otherwise}\end{array}\r.$$
とおいたとき
\begin{align}
\pi(x)&=\sum_{2\leq n\leq x}q_n&\Pi(x)&=\sum_{2\leq n\leq x}r_n\\
\vt(x)&=\sum_{2\leq n\leq x}q_n\log n&\psi(x)&=\sum_{2\leq n\leq x}r_n\log n
\end{align}
が成り立つことに注意するとアーベルの総和公式からわかる。
ちなみに
$$\La(n)=r_n\log n=\l\{\begin{array}{cl}\log p&n=p^k\\0&\mathrm{otherwise}\end{array}\r.$$
のことをフォン・マンゴルト関数と言います。
相互関係その二
上で示した相互関係は、面白いことに、素数定理$\pi(x)\sim\Li(x),\vt(x)\sim x$と非常に相性の良い関係式となっています。そのことは以下の式を見てみるとすぐにわかると思います。
$$\pi(x)-\Li(x)=\frac{\vt(x)-x}{\log x}+\int^x_0\frac{\vt(t)-t}{t\log^2 t}dt$$
$$\vt(x)-x=(\pi(x)-\Li(x))\log x-\int^x_0\frac{\pi(x)-\Li(t)}{t}dt$$
これは$\Pi(x)-\Li(x)$や$\psi(x)-x$についても同様の式が言えます。
\begin{eqnarray}
\Li(x)&=&\int^x_0\frac{(t)'}{\log t}dt
\\&=&\frac x{\log x}+\int^x_0\frac{dt}{\log^2t}
\end{eqnarray}
や
\begin{eqnarray}
x&=&\int^x_0\frac{\log u}{\log u}du
\\&=&\log x\int^x_0\frac{du}{\log u}-\int^x_0\frac{\log x-\log u}{\log u}du
\\&=&\Li(x)\log x-\int^x_0\frac1{\log u}\int^x_u\frac1tdtdu
\\&=&\Li(x)\log x-\int^x_0\frac1t\int^t_0\frac1{\log u}dudt
\\&=&\Li(x)\log x-\int^x_0\frac{\Li(t)}{t}dt
\end{eqnarray}
と変形できることからわかる。
なお
$$\int^x_0\frac{dt}{\log^2t}$$
は$t=1$付近の積分で発散するので上の式は厳密には正しくなく、実際には
$$\Li(x)=\frac x{\log x}-\farc2{\log 2}+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}+\Li(2)$$
と変形して
$$\pi(x)-\Li(x)=\frac{\vt(x)-x}{\log x}+\int^x_2\frac{\vt(t)-t}{t\log^2 t}dt+\frac2{\log2}-\Li(2)$$
とするべきだと思います($x<2$において$\vt(x)=0$であることに注意する)。
漸近挙動の相互関係
素数計数関数は
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\Li(x)}=1$$
を満たすことが知られています。これを素数定理と言います。
またリーマンゼータ関数の非自明な零点の実部が常に$\T$以下であれば
$$\pi(x)=\Li(x)+O(x^\T\log x)$$
が成り立つことが知られています(そのことについては
この記事
にて解説しています)。特に$\T$の最小値として$\T=\frac12$が取れる、ということをリーマン予想と言うのでした。
これらの漸近挙動は$\Pi(x),\vt(x),\psi(x)$にも同様の結果が成り立ち、またそれらはそれぞれ同値であることが示せます。
素数定理
$$\pi(x)\sim\Li(x)\iff\Pi(x)\sim\Li(x)\iff\vt(x)\sim x\iff\psi(x)\sim x$$
$\pi(x)$と$\Pi(x)$、$\vt(x)$と$\psi(x)$の関係については
$$\Pi(x)-\pi(x)=O(\sqrt x),\quad\psi(x)-\vt(x)=O(\sqrt x\log x)$$
からわかる。
また$\pi(x)$と$\vt(x)$の関係については$\vt(x)\sim x$ならば
\begin{eqnarray}
\pi(x)&=&\frac{\vt(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\vt(t)}{t\log^2t}dt
\\&\sim&\frac{x}{\log x}+O\l(\int^x_2\frac{t}{t\log^2t}dt\r)
\\&=&\Li(x)+O\l(\frac{x}{\log^2 x}\r)
\end{eqnarray}
が成り立ち、また$\pi(x)\sim\Li(x)\sim\frac{x}{\log x}$ならば
\begin{eqnarray}
\vt(x)&=&\pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\pi(t)}{t}dt
\\&\sim&x+O\l(\int^x_2\frac{\frac{t}{\log t}}{t}dt\r)
\\&=&x+O\l(\farc x{\log x}\r)
\end{eqnarray}
が成り立つことからわかる。
リーマン予想
\begin{align} &\pi(x)=\Li(x)+O(x^\T\log x)\\ \iff{}&\Pi(x)=\Li(x)+O(x^\T\log x)\\ \iff{}&\vt(x)=x+O(x^\T\log^2x)\\ \iff{}&\psi(x)=x+O(x^\T\log^2x) \end{align}
$\pi(x)$と$\Pi(x)$、$\vt(x)$と$\psi(x)$の関係についてはやはり
$$\Pi(x)-\pi(x)=O(\sqrt x),\quad\psi(x)-\vt(x)=O(\sqrt x\log x)$$
からわかる。
また$\pi(x)$と$\vt(x)$の関係については
\begin{eqnarray}
\pi(x)-\Li(x)&=&\frac{\vt(x)-x}{\log x}+\int^x_0\frac{\vt(t)-t}{t\log^2t}dt
\\&=&\frac{O(x^\T\log^2x)}{\log x}+O\l(\int^x_0\frac{t^\T\log^2t}{t\log^2t}dt\r)
\\&=&O(x^\T\log x)+O(x^\T)
\\&=&O(x^\T\log x)
\end{eqnarray}
および
\begin{eqnarray}
\vt(x)-x&=&(\pi(x)-\Li(x))\log x-\int^x_0\frac{\pi(x)-\Li(t)}{t}dt
\\&=&O(x^\T\log x)\log x+O\l(\int^x_2\frac{t^\T\log t}{t}dt\r)
\\&=&O(x^\T\log^2x)+O\l(\log x\int^x_2t^{\T-1}dt\r)
\\&=&O(x^\T\log^2x)+O(x^\T\log x)
\\&=&O(x^\T\log^2x)
\end{eqnarray}
のようにしてわかる。
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