素数計数関数とチェビシェフ関数の関係まとめ

　メビウス関数の性質
$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$$
から
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\mathrm{\Pi }(x^{\frac{1}{n}})& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m}\pi (x^{\frac{1}{mn}})\\ & =& \sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l}(\sum _{n|l}\mu (n))\pi (x^{\frac{1}{l}})\\ & =& \frac{1}{1}\pi (x^{\frac{1}{1}})=\pi (x)\\ \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\psi (x^{\frac{1}{n}})& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta (x^{\frac{1}{mn}})\\ & =& \sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{n|l}\mu (n))\vartheta (x^{\frac{1}{l}})\\ & =& \vartheta (x^{\frac{1}{1}})=\vartheta (x)\end{array}$$
とわかる。

　$x^{\frac{1}{n}}<2$つまり${\log }_{2}x<n$において
$$\pi (x^{\frac{1}{n}})=\vartheta (x^{\frac{1}{n}})=0$$
となることに注意すると
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Pi }(x)& =& \pi (x)+\frac{1}{2}\pi (x^{\frac{1}{2}})+\sum _{n=3}^{\lfloor {\log }_{2}x\rfloor }\frac{1}{n}\pi (x^{\frac{1}{n}})\\ & \le & \pi (x)+\frac{1}{2}\pi (x^{\frac{1}{2}})+\lfloor {\log }_{2}x\rfloor \pi (x^{\frac{1}{3}})\\ & =& \pi (x)+\frac{1}{2}\pi (x^{\frac{1}{2}})+O(x^{\frac{1}{3}}\log x)\\ & =& \pi (x)+O(\pi (x^{\frac{1}{2}}))\\ \\ \psi (x)& =& \vartheta (x)+\vartheta (x^{\frac{1}{2}})+\sum _{n=3}^{\lfloor {\log }_{2}x\rfloor }\vartheta (x^{\frac{1}{n}})\\ & \le & \vartheta (x)+\vartheta (x^{\frac{1}{2}})+\lfloor {\log }_{2}x\rfloor \vartheta (x^{\frac{1}{3}})\\ & =& \vartheta (x)+\vartheta (x^{\frac{1}{2}})+O(x^{\frac{1}{3}}{\log }^{2}x)\\ & =& \vartheta (x)+O(\vartheta (x^{\frac{1}{2}}))\end{array}$$
がわかる。
　また素数定理
$$\pi (x)\sim \frac{x}{\log x},\vartheta (x)\sim x$$
に注意すると主張を得る。

$$\begin{array}{rcl}\sum _{N\le n\le x}{a}_{n}f(n)& =& \sum _{N\le n\le x}{a}_n(f(x)-{\int }_n^x{f}^{\prime }(t)dt)\\ & =& A(x)f(x)-{\int }_N^x\left(\sum _{N\le n\le t}{a}_n\right)f^{\prime }(t)dt\\ & =& A(x)f(x)-{\int }_N^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt\end{array}$$
とわかる。

$$q_n=\{\begin{array}{cl}1& n=p\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array},r_n=\{\begin{array}{cl}\frac{1}{k}& n=p^k\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}$$
とおいたとき
$$\begin{array}{rlrl}\pi (x)& =\sum _{2\le n\le x}{q}_n& \mathrm{\Pi }(x)& =\sum _{2\le n\le x}{r}_n\\ \vartheta (x)& =\sum _{2\le n\le x}{q}_n\log n& \psi (x)& =\sum _{2\le n\le x}{r}_n\log n\end{array}$$
が成り立つことに注意するとアーベルの総和公式からわかる。

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Li}(x)& =& {\int }_0^x\frac{(t{)}^{\prime }}{\log t}dt\\ & =& \frac{x}{\log x}+{\int }_0^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}\end{array}$$
や
$$\begin{array}{rcl}x& =& {\int }_0^x\frac{\log u}{\log u}du\\ & =& \log x{\int }_0^x\frac{du}{\log u}-{\int }_0^x\frac{\log x-\log u}{\log u}du\\ & =& \mathrm{Li}(x)\log x-{\int }_0^x\frac{1}{\log u}{\int }_u^x\frac{1}{t}dtdu\\ & =& \mathrm{Li}(x)\log x-{\int }_0^x\frac{1}{t}{\int }_0^t\frac{1}{\log u}dudt\\ & =& \mathrm{Li}(x)\log x-{\int }_0^x\frac{\mathrm{Li}(t)}{t}dt\end{array}$$
と変形できることからわかる。

　$\pi (x)$と$\mathrm{\Pi }(x)$、$\vartheta (x)$と$\psi (x)$の関係については
$$\mathrm{\Pi }(x)-\pi (x)=O(\sqrt{x}),\psi (x)-\vartheta (x)=O(\sqrt{x}\log x)$$
からわかる。
　また$\pi (x)$と$\vartheta (x)$の関係については$\vartheta (x)\sim x$ならば
$$\begin{array}{rcl}\pi (x)& =& \frac{\vartheta (x)}{\log x}+{\int }_2^x\frac{\vartheta (t)}{t{\log }^{2}t}dt\\ & \sim & \frac{x}{\log x}+O\left({\int }_2^x\frac{t}{t{\log }^{2}t}dt\right)\\ & =& \mathrm{Li}(x)+O\left(\frac{x}{{\log }^{2}x}\right)\end{array}$$
が成り立ち、また$\pi (x)\sim \mathrm{Li}(x)\sim \frac{x}{\log x}$ならば
$$\begin{array}{rcl}\vartheta (x)& =& \pi (x)\log x-{\int }_2^x\frac{\pi (t)}{t}dt\\ & \sim & x+O\left({\int }_2^x\frac{\frac{t}{\log t}}{t}dt\right)\\ & =& x+O\left(\frac{x}{\log x}\right)\end{array}$$
が成り立つことからわかる。

　$\pi (x)$と$\mathrm{\Pi }(x)$、$\vartheta (x)$と$\psi (x)$の関係についてはやはり
$$\mathrm{\Pi }(x)-\pi (x)=O(\sqrt{x}),\psi (x)-\vartheta (x)=O(\sqrt{x}\log x)$$
からわかる。
　また$\pi (x)$と$\vartheta (x)$の関係については
$$\begin{array}{rcl}\pi (x)-\mathrm{Li}(x)& =& \frac{\vartheta (x)-x}{\log x}+{\int }_0^x\frac{\vartheta (t)-t}{t{\log }^{2}t}dt\\ & =& \frac{O(x^{\mathrm{\Theta }}{\log }^{2}x)}{\log x}+O\left({\int }_0^x\frac{t^{\mathrm{\Theta }}{\log }^{2}t}{t{\log }^{2}t}dt\right)\\ & =& O(x^{\mathrm{\Theta }}\log x)+O(x^{\mathrm{\Theta }})\\ & =& O(x^{\mathrm{\Theta }}\log x)\end{array}$$
および
$$\begin{array}{rcl}\vartheta (x)-x& =& (\pi (x)-\mathrm{Li}(x))\log x-{\int }_0^x\frac{\pi (x)-\mathrm{Li}(t)}{t}dt\\ & =& O(x^{\mathrm{\Theta }}\log x)\log x+O\left({\int }_2^x\frac{t^{\mathrm{\Theta }}\log t}{t}dt\right)\\ & =& O(x^{\mathrm{\Theta }}{\log }^{2}x)+O(\log x{\int }_2^x{t}^{\mathrm{\Theta }-1}dt)\\ & =& O(x^{\mathrm{\Theta }}{\log }^{2}x)+O(x^{\mathrm{\Theta }}\log x)\\ & =& O(x^{\mathrm{\Theta }}{\log }^{2}x)\end{array}$$
のようにしてわかる。