リーマン予想って結局何が嬉しいの？

はじめに

　この記事では最も有名な数学の未解決問題の一つ、だけどみなさん知ってるようで知らない「結局、リーマン予想って何なの？」という話について紹介していきます。
　なおこの記事は前半部分では「リーマン予想から何がわかるのか」という話を、具体的にどういう操作によって色々な事実が取り出されるのかに重点を置いて多少端折りながら紹介し、後半部分では前半で端折った部分の補足や余談など詳細な解説をする感じの構成になっています。

リーマン予想とは

　まずリーマン予想とは次のような主張のことを言うのでした。

　これがどういうことなのか、ということについては先人たちが良い解説動画や記事を数多く残しているので皆さんも大方理解していることでしょうし、ここでは大分端折りながら説明します。

リーマンゼータ関数

　リーマンゼータ関数$\z(s)$は$\Re(s)>1$なる複素数$s$に対して
$\dis\z(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}$
と定義されます。しかしこの級数による表示では$\Re(s)>1$でしか意味を持たない(収束しない)ので、「($s=1$を除く)複素数平面全域で定義される良い関数(正則関数)$f(s)$で、$\Re(s)>1$においては$\dis f(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}$が成り立つようなものを持ってきて、この$f(s)$を改めて$\z(s)$とみなす。」という操作(解析接続)をします。例えば
\begin{eqnarray} \z(s)&=&\frac{\pi^{\frac s2}}{\G(\frac s2)}\l(\int^\infty_1(t^{\frac s2-1}+t^{\frac{1-s}{2}-1})\Psi(t)dt-\farc1{s(1-s)}\r) \\&=&\frac1{1-2^{1-s}}\sum^\infty_{n=0}\frac1{2^{n+1}}\sum^n_{m=0}(-1)^m\binom{n}{m}(m+1)^{-s} \end{eqnarray}
のような表示があります。(正則という条件によりこの右辺はそれぞれ同じ関数を定めることになります。)
ただし$\G(s),\Psi(t)$はそれぞれ
$\dis\G(s)=\int^\infty_0t^{s-1}e^{-t}dt,\quad\Psi(t)=\sum^\infty_{n=1}e^{-\pi n^2t}\quad(\Re(s)>0,t>0)$
としました。

自明な零点　非自明な零点

　ゼータ関数は素因数分解によるオイラー積表示
$$\z(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}=\prod_{p:\p}\sum^\infty_{k=0}\frac1{p^{ks}}=\prod_p\frac1{1-p^{-s}}$$
によって$\Re(s)>1$においては$0$にならないことがわかり、また解析接続の際に得られる関数等式
$$\z(s)=\frac{\pi^{-\frac{1-s}2}\G(\frac{1-s}2)\z(1-s)}{\pi^{-\frac s2}\G(\frac s2)} =2^s\pi^{s-1}\sin\l(\frac\pi2s\r)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$
によって$\Re(s)<0$においては$\sin(\frac\pi2s)$が$0$となる点、つまり$s=-2n\;(n=1,2,3,\ldots)$においてのみ$\z(s)$も$0$になることになります($s=2n\quad(n=0,1,2,\ldots)$においては$\z(1)$や$\G(n)\quad(n=1,2,3,\ldots)$が発散する都合で$\z(s)$は$0$にはなりません)。
こうして得られる零点$s=-2n\;(n=1,2,3,\ldots)$のことをゼータ関数の自明な零点といい、また$\Re(s)>1$における挙動と関数等式からは観測できない$0\leq\Re(s)\leq1$の領域に存在する零点のことを非自明な零点といいます。

　リーマン予想はこの全ての非自明な零点の実部が$\dis\frac12$であることを主張しています。
ちなみにこの非自明な領域$0\leq\Re(s)\leq1$のことをクリティカルストリップ(臨界帯)、その中心線$\Re(s)=\frac12$のことをクリティカルライン(臨界線)といいます。($\Re(s)=0,1$には非自明な零点が存在しないことが知られていることから$0<\Re(s)<1$をクリティカルストリップとすることも少なくないです。)

ゼータ関数と素数を繋ぐ式

　リーマン予想の主張を見ただけでは「で、この妙な関数の零点が一直線に並んでるとして、何なの？」と思うことかと思います。それでもってまた「リーマン予想は素数の分布を明らかにする」だとか「素数の法則を示す」だとかいった話も耳にしたことがあると思います。そうして出てくる「一体何がどうなってあの妙な関数の零点が素数なんてものに繋がるんだ？！」という疑問の真相を以下で解き明かしていこうと思います。

オイラー積表示

　ゼータ関数と素数の関係を語るうえでまず次の式は紹介しなくてはなりません。
$$\z(s)=\prod_{p}\frac1{1-p^{-s}}\quad(\Re(s)>1)$$
この式はゼータ関数のオイラー積表示と言って、ゼータ関数が素数の関数の積に分解されているのが見て取れます。この式は上でも見たように素因数分解のアイデアから容易に導かれるシンプルな式ではあるのですが、実はこの式がゼータ関数と素数の関係の全てを物語っています。しかしこのままではその関係がはっきりとは見えないので少し変形していきましょう。

　まず積のままでは扱いにくいので対数を取って和の形に分解して色々変形していきます。
\begin{eqnarray} \log\z(s)&=&\sum_p-\log(1-p^{-s}) \\&=&\sum_p\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{np^{ns}} \\&=&\sum^\infty_{n=1}\farc1n\sum_p\int^\infty_{p^n}\frac s{x^{s+1}}dx \\&=&s\sum^\infty_{n=1}\frac 1n\int^\infty_0\l(\sum_{p^n\leq x}1\r)x^{-s-1}dx \\&=&s\int^\infty_0\sum^\infty_{n=1}\frac1n\bigg(\sum_{p\leq x^{\frac1n}}1\bigg)x^{-s-1}dx \end{eqnarray}
まあまあややこしい見た目になりましたが、
$\dis\pi(x)=\sum_{p\leq x}1,\quad\Pi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac1n\pi(x^{\frac1n})＝\sum^\infty_{n=1}\frac1n\bigg(\sum_{p\leq x^{\frac1n}}1\bigg)$
とおくことで
$$\frac{\log\z(s)}{s}=\int^\infty_0\Pi(x)x^{-s-1}dx$$
と書き換えることができます。これはゼータ関数から素数の情報を抜き出すために非常に重要な式となっています。と言われても、この式を見ただけじゃゼータ関数が依然として素数の関数を使って表されているのはわかっても、全然素数の情報を抜き出せる気がしません。一体どういうことなのでしょうか。

メリン逆変換

　とりあえず先の式の積分を少し変形してみましょう。$s$を実部$\s$と虚部$t$に分けて$s=\s+it$として$x=e^{2\pi y}$と変数変換します。
\begin{eqnarray} \int^\infty_0\Pi(x)x^{-s-1}dx&=&\int^\infty_{-\infty}\Pi(e^{2\pi y})e^{-2\pi\s y-2\pi ity-2\pi y}(2\pi e^{2\pi y})dy \\&=&\int^\infty_{-\infty}(2\pi\Pi(e^{2\pi y})e^{2\pi\s y})e^{-2\pi ity}dy \end{eqnarray}
ちょっとややこしいですが、この右辺は
$$\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi itx}dx\quad(f(x)=2\pi\Pi(e^{2\pi x})e^{2\pi\s x})$$
という形になっています。見たことある人はあると思いますが、これはフーリエ変換と言って$f(x)$の情報を保存する積分となっています。$f(x)$の情報を保存するとはどういうことかというと、次のような対応によってこの積分から$f(x)$を取り出すことができるというわけなのです。
$$\hat{f}(t)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi itx}dx\iff f(x)=\int^\infty_{-\infty}\hat{f}(t)e^{2\pi itx}dt$$
となるとさっきの積分からは$2\pi\Pi(e^{2\pi x})e^{2\pi\s x}$を取り出すことができて、それをまたゴニョゴニョすることで$\Pi(x)$を次のように表すことができます。
$$\Pi(x)=\frac1{2\pi i}\int^{\s+i\infty}_{\s-i\infty}\frac{\log\z(s)}{s}x^sds\quad(\s>1は任意)$$
大分らしくなってきましたね。こうしてゼータ関数から素数の情報を引き出す式が作れましたが、この式ではゼータ関数の$\Re(s)>1$の情報しか使っていないのでまだ$0\leq\Re(s)\leq1$にある零点と関係があるとは思えません。ではこの式に零点がどう関係してくるのでしょうか。

ゼータ関数の因数分解

　多項式$f(x)$について方程式$f(x)=0$を考えたとき、$f(x)$はその方程式の解$x=\a,\b,\g,\ldots$を用いて$f(x)=(x-\a)(x-\b)(x-\g)\cdots$のように因数分解できました。これと似たようなことは(ある程度性質の良い)一般の関数にも適用できて、ゼータ関数もその例外ではありません。ただ零点が無限にあるとなると収束性とかの問題を適当に解消する必要があるので、そこら辺を考慮した結果ゼータ関数は次のように因数分解されることになります。
$$\z(s)=\frac1{s-1}\exp\l(\frac{\log\pi+\g}{2}s-\log2\r)\prod_{\rho}\l(1-\frac s\rho\r)\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac s{2n}\r)e^{-\frac s{2n}}$$
(ただし$\g$はオイラー定数$\g=\lim_{n\to\infty}(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n)$で、$\rho$はゼータ関数の非自明な零点全体を(虚部の絶対値が小さい順に)渡るものとした。)
　ちょっとごちゃごちゃしていますが
$$\z(s)=\farc{\pi^{\frac s2}}{s(s-1)\G(\frac s2)}\prod_{\rho}\l(1-\frac s\rho\r)$$
と表すと少しすっきりするでしょうか。何はともあれこの式によって零点の情報からゼータ関数の情報を引き出せることがわかりました。そしてこの式と先の$\Pi(x)$の式を組み合わせることでいよいよゼータ関数の零点と素数の関数が直接結びつくことになります。

リーマンの素数公式

　さて上で示した$\Pi(x)$の式ではゼータ関数に$\log$がかかっていたのでゼータ関数の因数はそれぞれ
$$\frac1{2\pi i}\int^{\s+i\infty}_{\s-i\infty}\frac{\log(\cdots)}{s}x^sds$$
の形に分解されることになります。そしてそのそれぞれの因数はこの積分によって次のように変換されます。
\begin{eqnarray} \frac1{s-1}&\to&\li(x) \\\exp\l(\frac{\log\pi+\g}{2}s-\log2\r)&\to&-\log2 \\\prod_{\rho}\l(1-\frac s\rho\r)&\to&-\sum_{\rho}\li(x^\rho) \\\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac s{2n}\r)e^{-\frac s{2n}}&\to&\sum^\infty_{n=1}\int^\infty_x\frac{t^{-2n-1}}{\log t}dt=\int^\infty_x\farc{dt}{t(t^2-1)\log t} \end{eqnarray}
ただし
$$\li(x)=\int^x_0\farc{dt}{\log t}=\lim_{\e\to0^+}(\int^{1-\e}_0\frac{dt}{\log t}+\int^x_{1+\e}\farc{dt}{\log t})$$
とした。つまるところ
$$\Pi(x)=\li(x)-\sum_\rho\li(x^\rho)+\int^\infty_x\farc{dt}{t(t^2-1)\log t}-\log2$$
が成り立つというわけです。これがかのリーマンの素数公式というやつです。こうしてようやく素数とゼータ関数の零点が結びつきました！この式からリーマン予想が成り立つとなると、・・・？どうなるんでしょう。結局よくわかりませんね。この式とリーマン予想から一体何がわかるのか、もう少し議論が必要みたいです。とうことで以下でリーマン予想と$\Pi(x)$の関係について見ていくことにしましょう。
(一般的にゼータ関数周りの話をするときは$\pi(x)$や$\psi(x)$を引き合いに出すことが普通ですが、話を円滑にするためにその辺はあとで総括するとして、以下では$\Pi(x)$を中心に話を進めていきます。)

リーマン予想と$\Pi(x)$

　リーマンの素数公式から、ゼータ関数の非自明な零点の挙動がわかればその分$\Pi(x)$の挙動も把握することができる、ということが考えられますが、その把握できる$\Pi(x)$の挙動というのはもっぱら近似という形で観測(考察)されることが多いです。そしてリーマン予想から導かれる$\Pi(x)$の近似は次のように表されます。
$$\Pi(x)=\li(x)+O(\sqrt x\log x)$$
これを言い換えると、ある定数$C>0$があって十分大きい任意の$x$に
$$|\Pi(x)-\li(x)|< C\sqrt x\log x$$
が成り立つ。ということになります。つまるところ$\Pi(x)$と$\li(x)$との誤差の増大する速さが$\sqrt x\log x$と同じかそれより遅い、ということです。

　人によっては「なんだ、それだけ？」と思う方もいるかもしれませんが、素数という非常に非自明な対象がこのような初等的で簡潔な法則を持つというのはかなり強く、また美しい主張なのではないかと思います。そしてこの近似式の興味深いところはそれだけではなく、この近似が成り立てばリーマン予想も成り立つという結果が知られていることにもあります。より正確に言うと、非自明な零点の実部が常に$\Theta$以下であることと$\Pi(x)=\li(x)+O(x^\Theta\log x)$であることは同値となります。それは一体どういうことなのか、以下で見ていくことにしましょう。

リーマン予想からの帰結

　リーマンの素数公式において最後の二項は
\begin{eqnarray} \int^\infty_x\frac{dt}{t(t^2-1)\log t}&\leq&\int^\infty_2\frac{dt}{t(t^2-1)\log t}=0.322385\ldots \\\log2&=&0.693147\ldots \end{eqnarray}
と非常に小さいので第一項$\li(x)$と第二項$\sum_{\rho}\li(x^\rho)$が支配的になります。

　ここで$\li(x)$は部分積分によって
\begin{eqnarray} \li(x)&=&\int^x_2\frac{dt}{\log t}+\int^2_0\frac{dt}{\log t} =\int^x_2\farc{(t)'}{\log t}dt+1.04516\ldots \\&=&\l[\frac{t}{\log t}\r]^x_2-\int^x_2t\l(-\frac{1}{t\log^2t}\r)dt+1.04516\ldots \\&=&\frac x{\log x}+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}-1.84023\ldots \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \l|\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}\r| &\leq&\l|\int^{\sqrt x}_2\frac{dt}{\log^2t}\r|+\l|\int^x_{\sqrt x}\frac{dt}{\log^2t}\r| \\&\leq&\frac{|x-2|}{\log^22}+\frac{|x-\sqrt x|}{\log^2\sqrt{|x|}}=O\l(\frac{|x|}{\log^2|x|}\r) \end{eqnarray}
つまり$\li(x)\sim\frac{x}{\log x}$と近似できるので第二項は
$$\l|\sum_{\rho}\li(x^\rho)\r| \sim\l|\sum_\rho\frac{x^\rho}{\log x^\rho}\r| \leq\frac1{\log x}\l(\sum_{|\Im(\rho)|\leq x^2}\frac{x^{\Re(\rho)}}{|\rho|}+\l|\sum_{|\Im(\rho)|>x^2}\frac{x^\rho}{\rho}\r|\r)$$
と評価できます。このとき複雑な議論によって
$$\sum_{|\Im(\rho)|\leq x^2}\frac1{|\rho|}=O(\log^2x),\quad \l|\sum_{|\Im(\rho)|>x^2}\frac{x^\rho}{\rho}\r|=O(\log^2x)$$
が成り立つことがわかるので結局
$$\sum_{\rho}\li(x^\rho) \sim\frac1{\log x}(x^\Theta O(\log^2x)+O(\log^2x))=O(x^\Theta\log x)$$
ということになります。特にリーマン予想が成り立つときは$\Theta$が取り得る値の最小値として$\frac12$が取れるので
$$\Pi(x)=\li(x)+\sum_{\rho}\li(x^\rho)+O(1)=\li(x)+O(x^\frac12\log x)$$
が成り立つというわけです。

近似式からの帰結

　少し話は遡りますが、$\Pi(x)$の情報からゼータ関数の情報を取り出すには
$$\log\z(s)=s\int^\infty_0\Pi(x)x^{-s-1}dx\quad(\Re(s)>1)$$
という式があったのでした。そしてまた
$$\frac1{2\pi i}\int^{\s+i\infty}_{\s-i\infty}\frac{\log(\frac1{s-1})}{s}x^sds=\li(x)$$
という関係をひっくりかえすことで
$$\log\l(\frac1{s-1}\r)=s\int^\infty_0\li(x)x^{-s-1}dx$$
がわかります(実際にはこの等号は成り立たない(そもそも$\li(1)$は発散する)ので以下の議論はあくまでヒューリスティックなものとなります)。これをさっきの式から引くと
$$\log((s-1)\z(s))=s\int^\infty_0(\Pi(x)-\li(x))x^{-s-1}ds$$
という式が得られます。$\z(s)$の$s=1$における極(発散する点)を$s-1$をかけることで削除しているので、この式の両辺は共に良い性質(正則性)を持つことになり、その結果ある$\s_0\leq1$があって右辺が$\Re(s)>\s_0$で収束すればこの等式も$\Re(s)>\s_0$で成立することになります。

　ここで$\Pi(x)=\li(x)+O(x^\Theta\log x)$の仮定より任意に$\e>0$を取って
$$|\Pi(x)-\li(x)|< C\sqrt x\log x< Cx^{\Theta+\e}\quad(x>a)$$
となるような$a,C$を取ると上式の右辺は
\begin{eqnarray} &&\l|\int^\infty_a(\Pi(x)-\li(x))x^{-s-1}ds\r| \\&\leq&\int^\infty_a|\Pi(x)-\li(x)|x^{-\Re(s)-1}dx \\&\leq&\int^\infty_ax^{\Theta+\e-\Re(s)-1}dx \\&=&\l[\frac{x^{\Theta+\e-\Re(s)}}{\Theta+\e-\Re(s)}\r]^\infty_a \\&=&\frac{a^{\Theta+\e-\Re(s)}}{\Theta+\e-\Re(s)} \end{eqnarray}
と$\Re(s)>\Theta+\e$で収束し、$\e>0$は任意だったので結局$\Re(s)>\Theta$で収束することになります。

　以上により$\log((s-1)\z(s))$は$\Re(s)>\Theta$で良い関数(正則関数)を定めることになりますが、もし$\Theta<\Re(s)\leq1$においてある非自明な零点$\rho$があるとすると$s\to\rho$において$\log((s-1)\z(s))\to\log0$は発散することになり矛盾します。すなわち非自明な零点の実部は常に$\Theta$以下であることになります。
　また「$\rho$が非自明な零点ならば$1-\rho$も非自明な零点」という性質により$0\leq\Re(s)<1-\Theta$にも非自明な零点が存在しないことになるので、特に$\Theta=\frac12$であるとき非自明な零点の実部は常に$\frac12$となる、つまりリーマン予想が成り立つことになります。

おわりに

　さてリーマン予想がどのようにして素数と関わっているのか、そしてリーマン予想は素数分布の挙動の解明に大きな役割を果たしているのだということは実感していただけたでしょうか。とはいっても上で見てもらった通りリーマン予想から素数についてわかることは(素数の持つ深さに比べて)とても多いというわけではないので、それによって素数の全てが解明されてRSA暗号が危うくなる！なんてことはないことも理解していただけたと思います。
　とりあえず「リーマン予想から何がわかるのか」を紹介するというこの記事の目的は達成したので話は一旦終わりになりますが、余談として以下にもう少しお話が続きます。

リーマンの夢

　上での議論により$\Pi(x)=\li(x)+O(\sqrt x\log x)$であることとリーマン予想が成り立つことは同値であることがわかりましたが、このことが示されたのは1901年に出版されたコッホの論文でのことで、これはリーマンの生きた時代(1826-1866)よりも先の時代の話になります。となるとその事実なしにリーマンはゼータ関数の非自明な零点が一直線に並ぶことに関心を寄せていたわけになる(と思う)のですが、一体それは何を見据えてのことだったのでしょうか。よく知られている説によるとその関心は素数定理を示すことにあったと言われています。ここで素数定理とは
$\dis\Pi(x)\sim\li(x)\sim\frac{x}{\log x}$
つまり
$\dis\lim_{x\to\infty}\farc{\Pi(x)}{\li(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\Pi(x)}{\frac{x}{\log x}}=1$
が成り立つことを言うのでした。ただ、素数定理の証明にはリーマン予想のような強い仮定は必要なく$\Re(s)=1$上に非自明な零点が存在しないことがわかっていれば十分であって、リーマンが素数定理を証明できなかったのはリーマン予想の解決に固執していてそのことに気付かなかったためだったと言われています。一応以下でリーマン予想を用いない素数定理の証明について見てみましょう。

　とはいっても話は単純で$\Re(\rho)\neq1$つまり$\Re(\rho)<1$という仮定により
$\dis\lim_{x\to\infty}\l|\frac{\li(x^\rho)}{\li(x)}\r| \lim_{x\to\infty}\l|\frac{\farc{x^\rho}{\log x^\rho}}{\frac x{\log x}}\r| =\lim_{x\to\infty}\frac1{|\rho|x^{1-\Re(\rho)}}=0$
なので
\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\farc{\Pi(x)}{\li(x)} &=&\lim_{x\to\infty}\farc1{\li(x)}\l(\li(x)+\sum_\rho\li(x^\rho)+O(1)\r) \\&=&1+\sum_\rho\lim_{x\to\infty}\farc{\li(x^\rho)}{\li(x)}+0 =1 \end{eqnarray}
となる。といった感じです。ただ厳密には級数と極限の交換はできないので本当は少し工夫する必要があります。

素数定理の誤差

　リーマン予想からは$\Pi(x)=\li(x)+O(\sqrt x\log x)$がわかると言いましたが、この誤差項$O(\sqrt x\log x)$については$\sqrt x\log x$より遅いオーダーで増大すること以外詳しいことは教えてくれないのでした。このまま「よくわからん」で終わらせるのはちょっと寂しいので誤差項の挙動をイメージする手助けとしてリトルウッドの証明した次の定理を紹介しておきましょう。

この定理からわかるのは誤差項$\Pi(x)-\li(x)$は無限回符号を変え(つまり振動する)、その振幅は$\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x$よりも速いオーダーで増大する、ということになります。それだけでも十分面白いのですが、特に興味深いのが$\sqrt x$という因子になります。リーマン予想からわかる近似式では任意の実数$\e>0$に対して
$\Pi(x)=\li(x)+O(x^{\frac12+\e})$
が成り立つことになりますが、リトルウッドの定理からはいかなる実数$\e>0$に対しても
$\Pi(x)=\li(x)+O(x^{\frac12-\e})$
は成り立たないということになります。このことからリーマン予想から得られる近似式はそれなりに精度が高い(気がする)こともわかるので中々に面白いですね。

　またリーマン予想からわかる近似式
$$|\Pi(x)-\li(x)|< C\sqrt x\log x\quad(\exists C>0,\;x\gg0)$$
における$C$の値は割と小さくできて、具体的には
$$|\Pi(x)-\li(x)|<\frac1{8\pi}\sqrt x\log x\quad(x\gg0)$$
が成り立つことが知られています。つまるところ誤差項の大きさ、というより振幅は$\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x$以上$\frac1{8\pi}\sqrt x\log x$以下であるということになります。ここまでわかっていると誤差項の輪郭が大分はっきりしてきますね。(あくまで上からの評価はリーマン予想が成り立つことを仮定したうえでの話ではありますが。)

もう一つの素数公式

　上では基本的に$\Pi(x)$を中心に話を進めていましたが、普通はチェビシェフ関数$\psi(x)$に焦点を当てることが多いです。というわけで$\psi(x)$を中心とした話をここにまとめてみましょう。
　まずチェビシェフ関数とは以下のように定義される関数のことを言います。
$$\vartheta(x)=\sum_{p\leq x}\log p,\quad \psi(x)=\sum^\infty_{n=1}\vartheta(x^{\frac1n})=\sum^\infty_{n=1}\sum_{p^n\leq x}\log p=\sum_{p\leq x}\lfloor\log_px\rfloor\log p$$
ちなみに 日本語版Wilipedia によると$\vartheta(x)$を第一チェビシェフ関数、$\psi(x)$を第二チェビシェフ関数というらしいです。

素数公式

　$\Pi(x)$の素数公式を導出したのと同様に$\psi(x)$の素数公式も導出してみましょう。まずオイラー積表示から得られる等式
$$\log\z(s)=\sum_p\sum^\infty_{n=1}\frac1{np^{ns}}$$
の両辺を微分すると$\Pi(x)$のときと同様にして
$$\frac{\z'(s)}{\z(s)}=\sum_p\sum^\infty_{n=1}-\frac{\log p}{p^{ns}}=-s\int^\infty_1\psi(x)x^{-s-1}dx$$
が得られます。これをひっくり返すことで
$$\psi(x)=-\frac1{2\pi i}\int^{\s+i\infty}_{\s-i\infty}\frac{\z'(s)}{\z(s)}\frac{x^s}{s}ds$$
がわかり、また
\begin{eqnarray} \frac{\z'(s)}{\z(s)} &=&\farc{d}{ds}\log\z(s) \\&=&\farc{d}{ds}\log\l(\frac1{s-1}\exp\l(\frac{\log\pi+\g}{2}s-\log2\r)\prod_{\rho}\l(1-\frac s\rho\r)\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac s{2n}\r)e^{-\frac s{2n}}\r) \\&=&-\frac1{s-1}+\frac{\log\pi+\g}{2}+\sum\frac1{s-\rho}+\sum^\infty_{n=1}\l(\farc1{s+2n}-\farc1{2n}\r) \\&=&-\l(\frac1{s-1}+1\r)+(1+\frac{\log\pi+\g}{2}+\sum_\rho\frac1\rho)+\sum_\rho\l(\frac1{s-\rho}-\farc1\rho\r)+\sum^\infty_{n=1}\l(\farc1{s+2n}-\farc1{2n}\r) \\&=&-\frac s{s-1}+\frac{\z'(0)}{\z(0)}+\sum_\rho\frac s{\rho(s-\rho)}-\sum^\infty_{n=1}\frac s{2n(s+2n)} \end{eqnarray}
つまり
$$-\frac{\z'(s)}{\z(s)}\frac1s =\frac1{s-1}-\frac{\z'(0)}{\z(0)}\frac1s-\sum\frac1{\rho(s-\rho)}+\sum^\infty_{n=1}\frac1{2n(s+2n)}$$
と分解することで
$$\farc1{2\pi i}\int^{\s+i\infty}_{\s-i\infty}\frac{x^s}{s-a}ds=x^a\qquad\l(\because\int^\infty_1x^{a}x^{-s-1}dx=\l[\frac{x^{a-s}}{a-s}\r]^\infty_1=\frac1{s-a}\r)$$
に注意すると
\begin{eqnarray} \psi(x)&=&x-\frac{\z'(0)}{\z(0)}-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho}+\sum^\infty_{n=1}\frac{x^{-2n}}{2n} \\&=&x-\frac{\z'(0)}{\z(0)}-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho}-\farc12\log(1-x^{-2}) \end{eqnarray}
がわかります。ここで別途$\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\log2\pi=1.83787\ldots$であることがわかるので結局
$$\psi(x)=x-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho-\frac12\log(1-x^{-2})-\log2\pi$$
が$\psi(x)$の素数公式となります。
${}$
${}$

リーマン予想と$\psi(x)$

　リーマン予想と同値な近似式
$\Pi(x)=\li(x)+O(\sqrt x\log x)$
は$\psi(x)$についての式に書き換えると
$\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$
となります。この近似式もやはりリーマン予想と同値になります。

　同値性については$\Pi(x)$のときと全く同様で、リーマン予想が成り立てば
\begin{eqnarray} |\psi(x)-x|&\leq&\sum_{|\Im(\rho)|\leq x^2}\frac{x^\Theta}{|\rho|}+\l|\sum_{|\Im(\rho)>x^2|}\frac{x^\rho}{\rho}\r|+\frac12|\log(1-2^{-2})|+|\log2\pi| \\&=&x^\Theta O(\log^2x)+O(\log^2x)+0.143841\ldots+1.83787\ldots=O(x^\Theta\log^2x) \end{eqnarray}
において$\Theta=\frac12$とできるので
$\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$
が成り立ち、逆にこれが成り立てば
$$\frac{d}{ds}\log((s-1)\z(s))=-1-s\int^\infty_1(\psi(x)-x)x^{-s-1}dx$$
の右辺は$\Re(s)>\frac12$で収束することになり、非自明な零点は$\Re(s)=\frac12$の外には存在しないことがわかります。

　ちなみに$\Pi(x)$の場合では
$\dis\log\l(\frac1{s-1}\r)=s\int^\infty_0\li(x)x^{-s-1}dx$
が数学的には成り立っていなかったのに対し、$\psi(x)$の場合では
$\dis\frac{d}{ds}\log(s-1)=-1+s\int^\infty_1x\cdot x^{-s-1}dx$
が確かに成り立つのでこれは厳密な証明となっています。

$\Pi,\pi,\psi,\vartheta$の相互関係

　最後にいままで出てきた関数$\Pi,\pi,\psi,\vartheta$の相互的な関係を紹介し、またそれぞれの持つ近似式が同値であることを示していきます。

$\Pi\leftrightarrow\pi$と$\psi\leftrightarrow\vartheta$

相互関係

　$\Pi\leftrightarrow\pi$と$\psi\leftrightarrow\vartheta$の間にはそれぞれメビウス関数$\mu(n)$というものを用いて
$$\pi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^\frac1n),\quad \vartheta(x)=\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\psi(x^\frac1n)$$
という関係が成り立っています。これはメビウス関数の性質
$$\sum_{d|n}\mu(d)=\l\{\begin{array}{ll}1&n=1\\0&n\neq1\end{array}\r.$$
と$\Pi,\psi$の定義
$$\Pi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac1n\pi(x^\frac1n),\quad \psi(x)=\sum^\infty_{n=1}\vartheta(x^\frac1n)$$
から
\begin{eqnarray} \sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^\frac1n) &=&\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{n}\sum^\infty_{m=1}\frac1m\pi(x^\frac1{mn}) \\&=&\sum^\infty_{l=1}\frac1l\l(\sum_{n|l}\mu(n)\r)\pi(x^\frac1l) \\&=&\frac11\pi(x^\frac11)=\pi(x) \\\\\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\psi(x^\frac1n) &=&\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\sum^\infty_{m=1}\vartheta(x^\frac1{mn}) \\&=&\sum^\infty_{l=1}\l(\sum_{n|l}\mu(n)\r)\vartheta(x^\frac1l) \\&=&\vartheta(x^\frac11)=\vartheta(x) \end{eqnarray}
とわかります。(ただしどちらの場合も$l=mn$と変数変換した。)

近似関係その一

　またそれぞれの間には
$\Pi(x)=\pi(x)+O(\sqrt x),\quad\psi(x)=\vartheta(x)+O(\sqrt x\log x)$
という近似関係があります。それは
\begin{eqnarray} \Pi(x)&=&\pi(x)+\frac12\pi(x^\frac12)+\sum^{\lfloor\log_2x\rfloor}_{n=3}\frac1n\pi(x^\frac1n) \\&\leq&\pi(x)+\frac12x^\frac12+\lfloor\log_2x\rfloor\pi(x^\frac13) \\&=&\pi(x)+O(\sqrt x)+O(x^\frac13\log x) \\&=&\pi(x)+O(\sqrt x) \\\\ \psi(x)&=&\vartheta(x)+\vartheta(x^\frac12)+\sum^{\lfloor\log_2x\rfloor}_{n=3}\vartheta(x^\frac1n) \\&\leq&\vartheta(x)+x^\frac12\log x^\frac12+\lfloor\log_2x\rfloor\vartheta(x^\frac13) \\&=&\vartheta(x)+O(\sqrt x\log x)+O(x^\frac13\log^2x) \\&=&\vartheta(x)+O(\sqrt x\log x) \end{eqnarray}
とわかります。

近似関係その二

　上の近似公式は
$\Pi(x)=\pi(x)+O(\pi(x^\frac12)),\quad\psi(x)=\vartheta(x)+O(\vartheta(x^\frac12))$
であることと
$\pi(x)=O(x),\quad\vartheta(x)=O(x\log x)$
を組み合わせて得られたものでしたが、この二つ目の近似式を素数公式
$\dis\pi(x)\sim\frac{x}{\log x},\quad\vartheta(x)\sim x$
に置き換えることでより精度の高い近似関係
$\dis\Pi(x)=\pi(x)+O\l(\frac {\sqrt x}{\log x}\r),\quad\psi(x)=\vartheta(x)+O(\sqrt x)$
がわかります。

$\Pi\leftrightarrow\psi$と$\pi\leftrightarrow\vartheta$

相互関係その一

　$\Pi\leftrightarrow\psi$と$\pi\leftrightarrow\vartheta$の間にはそれぞれ次のような関係が成り立っています。
$$\Pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\psi(t)}{t\log^2t}dt,\quad \pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\vartheta(t)}{t\log^2t}dt$$
$$\psi(x)=\Pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\Pi(t)}{t}dt,\quad \vartheta(x)=\pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\pi(t)}{t}dt$$
$\pi\leftrightarrow\vartheta$間の関係式については
\begin{eqnarray} \pi(x)&=&\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{\log p} \\&=&\farc1{\log x}\sum_{p\leq x}\log p+\sum_{p\leq x}\log p\l(\farc1{\log p}-\frac1{\log x}\r) \\&=&\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\sum_{p\leq x}\log p\int^x_p\frac{dt}{t\log^2t} \\&=&\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\vartheta(t)}{t\log^2t}dt \\\\ \vartheta(x)&=&\log x\sum_{p\leq x}1+\sum_{p\leq x}(\log p-\log x) \\&=&\pi(x)\log x-\sum_{p\leq x}\int^x_p\frac{dt}t \\&=&\pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\pi(t)}{t}dt \end{eqnarray}
とわかり、$\Pi\leftrightarrow\psi$間についても同様に
$$\Pi(x)=\sum^\infty_{n=1}\sum_{p^n\leq x}\frac{\log p}{\log p^n},\quad \psi(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac1n\sum_{p^n\leq x}\log p^n$$
から$\dis\int^x_{p^n}\cdots dt$型の積分を作ることでわかる。

相互関係その二

　上で示した相互関係は、面白いことに、素数定理$\pi(x)\sim\li(x),\psi(x)\sim x$と非常に相性の良い関係式となっています。そのことは以下の式を見てみるとすぐにわかると思います。
$$\pi(x)-\li(x)=\frac{\vartheta(x)-x}{\log x}+\int^x_0\frac{\vartheta(t)-t}{t\log^2 t}dt$$
$$\psi(x)-x=(\Pi(x)-\li(x))\log x-\int^x_0\frac{\Pi(x)-\li(t)}{t}dt$$
これは$\Pi(x)-\li(x)$や$\vartheta(x)-x$についても同様の式が得られます。それらの式は
\begin{eqnarray} \li(x)&=&\int^x_0\frac{dt}{\log t} \\&=&\frac x{\log x}+\int^x_0\frac{dt}{\log^2t} \\\\ x&=&\int^x_0\frac{\log u}{\log u}du \\&=&\log x\int^x_0\frac{du}{\log u}-\int^x_0\frac{\log x-\log u}{\log u}du \\&=&\li(x)\log x-\int^x_0\frac1{\log u}\int^x_u\frac1tdtdu \\&=&\li(x)\log x-\int^x_0\frac1t\int^t_0\frac1{\log u}dudt \\&=&\li(x)\log x-\int^x_0\frac{\li(t)}{t}dt \end{eqnarray}
であることと$0\leq x<2$において$\Pi(x)=\pi(x)=\psi(x)=\vartheta(x)=0$であることに注意すればわかります。

(追記)
$\dis\int^x_0\frac{dt}{\log^2t}$
は$t=1$付近の積分で発散するので厳密には
$\dis\li(x)=\frac x{\log x}-\farc2{\log 2}+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}+\li(2)$
を使って
$$\pi(x)-\li(x)=\frac{\vartheta(x)-x}{\log x}+\int^x_2\frac{\vartheta(t)-t}{t\log^2 t}dt+\frac2{\log2}-\li(2)$$
とするべきですかね。ちなみに$2/\log2-\li(2)=1.84023\cdots$です。

アーベルの総和公式

　この相互関係(その一)はそう簡単に思いつくようには見えませんが、実はその背景にアーベルの総和公式というものがあります。

$q_n=\l\{\begin{array}{cl}1&n=p\\0&\mathrm{otherwise}\end{array}\r.,\quad r_n=\l\{\begin{array}{cl}\frac1k&n=p^k\\0&\mathrm{otherwise}\end{array}\r.,\quad \Lambda(n)=\l\{\begin{array}{cl}\log p&n=p^k\\0&\mathrm{otherwise}\end{array}\r.$
とおいたとき、$N=2$の下

• $a_n=q_n\log n,f(x)=1/\log x$とすると$\pi(x)$を$\vartheta(x)$で表す式が得られ、
• $a_n=q_n,f(x)=\log x$とすると$\vartheta(x)$を$\pi(x)$で表す式が得られ、
• $a_n=\Lambda(n),f(x)=1/\log x$とすると$\Pi(x)$を$\psi(x)$で表す式が得られ、
• $a_n=r_n,f(x)=\log x$とすると$\psi(x)$を$\Pi(x)$で表す式が得られる。

ということになります。(ちなみに$\Lambda(n)$のことをフォン・マンゴルト関数と言います。)この公式の存在をすっかり忘れていたので追記という形で紹介させてもらいました。

近似式の同値性

素数定理

　素数定理は$\Pi(x)\sim\li(x),\pi(x)\sim\li(x),\psi\sim x,\vartheta(x)\sim x$の四通りの表現がありますが、これらがすべて同値であることを示しましょう。
$\Pi(x)\sim\li(x)\iff\pi(x)\sim\li(x)$と$\psi\sim x\iff\vartheta(x)\sim x$については
$$\Pi(x)=\pi(x)+O(\sqrt x),\quad\psi(x)=\vartheta(x)+O(\sqrt x\log x)$$
からわかり、$\pi(x)\sim\li(x)\iff\vartheta(x)\sim x$については$\vartheta(x)\sim x$ならば
\begin{eqnarray} \pi(x)&=&\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int^x_2\frac{\vartheta(t)}{t\log^2t}dt \\&\sim&\frac{x}{\log x}+O\l(\int^x_2\frac{t}{t\log^2t}dt\r) \\&\sim&\li(x)+O\l(\frac{x}{\log^2 x}\r) \end{eqnarray}
であり、また$\pi(x)\sim\li(x)\sim\frac{x}{\log x}$ならば
\begin{eqnarray} \vartheta(x)&=&\pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\pi(t)}{t}dt \\&\sim&x+O\l(\int^x_2\frac{\frac{t}{\log t}}{t}dt\r) \\&=&x+O\l(\farc x{\log x}\r) \end{eqnarray}
であることからわかる。

リーマン予想

　リーマン予想と同値な近似式も
$\Pi(x)=\li(x)+O(\sqrt x\log x) \\\pi(x)=\li(x)+O(\sqrt x\log x) \\\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x) \\\vartheta(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$
の四通りの表現があるのでこれらの同値性を示しましょう。
$\Pi\leftrightarrow\pi$と$\psi\leftrightarrow\vartheta$間の同値性についてはやはり
$$\Pi(x)=\pi(x)+O(\sqrt x),\quad\psi(x)=\vartheta(x)+O(\sqrt x\log x)$$
からわかり、$\pi\leftrightarrow\vartheta$については
\begin{eqnarray} \pi(x)-\li(x)&=&\frac{\vartheta(x)-x}{\log x}+\int^x_0\frac{\vartheta(t)-t}{t\log^2t}dt \\&=&\frac{O(\sqrt x\log^2x)}{\log x}+O\l(\int^x_0\frac{\sqrt t\log^2t}{t\log^2t}dt\r) \\&=&O(\sqrt x\log x)+O(\sqrt x)=O(\sqrt x\log x) \end{eqnarray}
または
\begin{eqnarray} \vartheta(x)-x&=&(\pi(x)-\li(x))\log x-\int^x_0\frac{\pi(x)-\li(t)}{t}dt \\&=&O(\sqrt x\log x)\log x+O\l(\int^x_2\frac{\sqrt t\log t}{t}dt\r) \\&=&O(\sqrt x\log^2x)+O\l(\int^x_2\frac{\log x}{\sqrt t}dt\r) \\&=&O(\sqrt x\log^2x)+O(\sqrt x\log x)=O(\sqrt x\log^2x) \end{eqnarray}
のようにしてわかる。またそれぞれの近似式において$\sqrt x$を$x^\Theta$に置き換えてもそれぞれ同値であることが言えます。

はしがき

　この記事では単に「リーマン予想からなにがわかるのか」を示すだけではなくて、「どうして」「どのようにして」その点と点が繋がっていくのかまで紹介することに重点を置いていた(つもりな)のですが、かといって内容が難しすぎても仕方がないので複素解析周りの議論は極力はぐらかしつつ、かといって謎を謎のまま放り投げるのも後味が悪いからあれも書こうこれも書こうと色々詰め込んだ結果、初心者向きというにはやや小難しくてまたなんだか長い記事になってしまいました。でも書きたいことは書けたので、まあいっかなと思います。自己満足のついでに誰かの役に立ってたら嬉しいなという感じで。
　あと途中で「複雑な議論によって」とはぐらかしたところについては後日詳細な解説記事を書く予定です。リーマンの素数公式やゼータ関数の因数分解の導出について詳しく知りたい人は私の過去の記事などをご覧ください。

• リーマンの素数公式
• ゼータ関数の因数分解公式

では