exp(x) のフーリエ変換を意味付けしてみる

距離の決め方から明らか。

$\EStau$ については割愛し $\HStau$ について示す。 $\psi_j\in\HStau$ で $(\psi_j)$ が半ノルム $ q_{m,n}$ についてコーシー列をなす、つまり $j,k\to\infty$ のとき $ q_{m,n}(\psi_j-\psi_k)\to 0$ であるとする。 $(z^m \psi_j)$ は閉領域 $|\varIm z|\leq (1-2^{-n})\tau$ の上の関数として一様コーシー列をなすから、この閉領域で定義されたある関数 $\psi_{m,n}^*$ に一様収束する。しかも各 $z^m \psi_j$ は有界な正則関数であるから極限 $\psi_{m,n}^*$ も有界かつ正則である。 $\psi_{m,n}^*$ の決め方から、領域 $|\varIm z|<\tau$ 上で定義された共通の $\psi^*$ が存在して $\psi_{m,n}^*=z^m \psi^*$ となり、 $\psi^*\in\HStau$ が成り立つ。

$\EStau$ 上では $ p_{m,n}(\phi')= p_{m+1,n}(\phi)$ より明らか。 $\HStau$ 上では $|\varIm z|\leq(1-2^{-n})\tau$ のときコーシーの積分表示より $$ |z^m \psi'(z)| =\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{|w-z|=2^{-n-1}} \frac{w^m \psi(w)}{(w-z)^2}\diff w\right| \leq 2^{n+1} q_{m,n+1}(\psi) $$ より $ q_{m,n}(\psi')\leq 2^{n+1} q_{m,n+1}(\psi)$ であるから $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ は$\HStau$ の位相で連続である。

$\phi\in\EStau$ とする。 $|\eta|<\tau$ のとき $$ \hat{\phi}(\xi+i\eta)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi ix(\xi+i\eta)} \phi(x)\diff x $$ は収束して正則関数となる。さらに $|\eta|\leq(1-2^{-n})\tau$ のときは $\delta:=2^{-n-1}\tau$ とおくと $$ \begin{aligned} (\xi+i\eta)^m \hat{\phi}(\xi+i\eta) =& \frac{1}{(2\pi i)^m} \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi ix(\xi+i\eta)} \phi^{(m)}(x)\diff x \\ =& \frac{1}{(2\pi i)^m} \int_{-\infty}^0 e^{-2\pi ix\xi+2\pi x\delta} e^{2\pi x(\eta-\delta)} \phi^{(m)}(x) \diff x \\ &+ \frac{1}{(2\pi i)^m} \int_0^\infty e^{-2\pi ix\xi-2\pi x\delta} e^{2\pi x(\eta+\delta)} \phi^{(m)}(x) \diff x \end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} \left|(\xi+i\eta)^m \hat{\phi}(\xi+i\eta)\right| \leq& \frac{ p_{m,n+1}(\phi)}{(2\pi)^m} \int_{-\infty}^0 e^{2\pi x\delta} \diff x + \frac{ p_{m,n+1}(\phi)}{(2\pi)^m} \int_0^\infty e^{-2\pi x\delta} \diff x \\ =& \frac{2 p_{m,n+1}(\phi)}{(2\pi)^{m+1}\delta} = \frac{2^{n+2} p_{m,n+1}(\phi)}{(2\pi)^{m+1}\tau} \end{aligned}$$ $$ q_{m,n}(\hat{\phi}) \leq c_{m,n} p_{m,n+1}(\phi) $$ よって $\hat{\phi}\in\HStau$ であり、かつ写像 $\phi\mapsto\hat{\phi}$ は連続である。

次に $\psi\in\HStau$ とする。 $|y|\leq(1-2^{-n})\tau$ のとき $$ \hat{\psi}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iz\xi}\psi(z)\diff z $$ $$ \begin{aligned} e^{2\pi y\xi}\hat{\psi}^{(m)}(\xi) =& \int_{-\infty}^\infty (-2\pi iz)^m e^{-2\pi i(z+iy)\xi}\psi(z)\diff z \\ =& \int_{-\infty-iy}^{\infty-iy} (-2\pi iz)^m e^{-2\pi i(z+iy)\xi}\psi(z)\diff z \\ =& (-2\pi i)^m \int_{-\infty-iy}^{\infty-iy} e^{-2\pi i(z+iy)\xi} \frac{\tau^2 z^m+z^{m+2}}{\tau^2+z^2} \psi(z)\diff z \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \left|e^{2\pi y\xi}\hat{\psi}^{(m)}(\xi)\right| \leq& (2\pi)^m \int_{-\infty-iy}^{\infty-iy} \frac{\tau^2 |z|^m+|z|^{m+2}}{|\tau^2+z^2|} |\psi(z)|\diff z \\ \leq& (2\pi)^m \left(\tau^2 q_{m,n}+ q_{m+2,n}\right) \int_{-\infty}^\infty \frac{\diff x}{|\tau^2+(x-iy)^2|} \\ \leq& (2\pi)^m \left(\tau^2 q_{m,n}+ q_{m+2,n}\right) \int_{-\infty}^\infty \frac{\diff x}{\tau^2+(1-2^{-n})^2\tau^2+x^2} \\ \leq& \frac{(2\pi)^m \pi}{\tau\sqrt{1-(1-2^{-n})^2}} \left(\tau^2 q_{m,n}+ q_{m+2,n}\right) \end{aligned} $$ $$ q_{m,n}(\hat{\psi}) \leq c'_{m,n}\left(\tau q_{m,n}(\psi)+\tau^{-1} q_{m+2,n}(\psi)\right) $$ よって $\hat{\psi}\in\EStau$ であり、かつ写像 $\psi\mapsto\hat{\psi}$ は連続である。

フーリエ逆変換についても同様であるから以上の逆も成り立ち、 $\phi\mapsto\hat{\phi}$, $\psi\mapsto\hat{\psi}$ は同相写像となる。

簡単のため $\alpha$ は純虚数であるとして $\alpha=-ia$ とおく。
まず $a>0$ の場合を考える。$(1-2^{-n})\tau\geq a$ なる $n$ をとると、$$ \begin{aligned} |\lrangle{e^{2\pi ax}}{\phi}| \leq& \int_{-\infty}^0 e^{2\pi ax}|\phi(x)|\diff x + \int_0^\infty e^{2\pi (1-2^{-n})\tau x}|\phi(x)|\diff x \\ \leq& p_{0,0}(\phi) \int_{-\infty}^0 e^{2\pi ax}\diff x + p_{0,n+1}(\phi) \int_0^\infty e^{-2\pi\cdot2^{-n-1} \tau x}\diff x \\ =& \frac{ p_{0,0}(\phi)}{2\pi a}+\frac{2^{n+1} p_{0,n+1}(\phi)}{2\pi\tau} \end{aligned} $$ よって $\lrangle{e^{2\pi ax}}{\phi}$ は well-defined で、 $\EStau$ の位相で連続である。 $a=0$, $a<0$ の場合も同様である。

$(1-2^{-n})\tau\geq|\varIm\alpha|$ なる $n$ をとると $|\lrangle{\delta_\alpha}{\psi}|\leq q_{0,n}(\psi)$ であるからこれは $\HStau$ の位相で連続である。

被積分関数は $|\varIm z|<\tau$ の範囲で正則で $\varRe z\to\pm\infty$ の極限で十分速く0に収束するから、積分路を $i \varIm\alpha$ だけ平行移動することができる。すると $$ \begin{aligned} \lrangle{f_{\alpha,\sigma^2}}{\psi} =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty+i \varIm\alpha}^{\infty+i\varIm\alpha} e^{(z-\alpha)^2/(2\sigma^2)} \psi(z) \diff z \\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\psi(\alpha+\sigma x)\diff x \end{aligned} $$ $(1-2^{-n})\tau\geq|\varIm\alpha|$ なる $n$ をとると $|\lrangle{f_{\alpha,\sigma^2}}{\psi}|\leq q_{0,n}(\psi)$ だから $f_{\alpha,\sigma^2}\in\HStau'$ である。$\sigma\to 0$ の極限をとるとルベーグの収束定理より $\lrangle{f_{\alpha,\sigma^2}}{\psi}\to\psi(\alpha)$ だから $f_{\alpha,\sigma^2}$ は $\delta_\alpha$ に弱収束する。さらにこの収束が強収束であることを示す。 $\sigma^{1/2}<2^{-n-2}\tau$ として積分区間を $[-\sigma^{-1/2},\,\sigma^{-1/2}]$ とそれ以外に分割すると、計算は割愛するが $$ |\lrangle{f_{\alpha,\sigma^2}-\delta_\alpha}{\psi}| \leq \left\{ 2\erfc((2\sigma)^{-1/2})+2^{n+2}\sigma^{1/2}\right\}q_{0,n+1}(\psi) $$ が示される。 $\HStau$ 上の任意の 有界集合 $B\subseteq\HStau$ を1つ固定する。 $\sup_{\psi\in B} q_{0,n+1}(\psi)<\infty$ であるから、$\sigma\to 0$ の極限をとると、 $\psi\in B$ の範囲内で $\lrangle{f_{\alpha,\sigma^2}-\delta_\alpha}{\psi}$ は 0 に一様収束する。 $B$ は任意であったから、これは $f_{\alpha,\sigma^2}$ が $\delta_\alpha$ に強収束することを意味する。

$S\in\EStau'$ とする。 $\psi\mapsto\hat{\psi}$, $\hat{\psi}\mapsto\lrangle{S}{\hat{\psi}}$ の対応はともに連続だから $\psi\mapsto\lrangle{S}{\hat{\psi}}$ の対応も連続であり、従って $\hat{S}\in\HStau'$ である。

$B$ を $\HStau$ の任意の有界集合とすると $\hat{B}:=\setexpr{\hat{\psi}}{\psi\in B}$ は $\EStau$ の有界集合で、 $S$ が0に強収束すれば $\lrangle{\hat{S}}{\psi}=\lrangle{S}{\hat{\psi}}$ は各 $B$ 上で一様に0に収束するから、 $\hat{S}$ は $\HStau'$ の強位相で0に収束する。従って写像 $S\mapsto\hat{S}$ は$\EStau'$, $\HStau'$ の強位相で連続である。

次に、$T\in\HStau'$ に対して写像 $\mathcal{F}^*[T]:\;\EStau\to\mathbb{C}$ を $\lrangle{\mathcal{F}^*[T]}{\phi}:=\lrangle{T}{\mathcal{F}^{-1}[\phi]}$ で定める。すると先ほどと同様の議論により $\mathcal{F}^*[T]\in\EStau'$ が示される。定義から $\mathcal{F}^*[\mathcal{F}[S]]=S$, $\mathcal{F}[\mathcal{F}^*[T]]=T$ であるから $\mathcal{F}^*$ は $\mathcal{F}$ の逆像である。さらに写像 $T\mapsto\mathcal{F}^*[T]$ が$\EStau'$, $\HStau'$ の強位相で連続であることも分かる。連続な逆像が存在するので写像 $S\mapsto\hat{S}$ は同相写像である。

$T\in\HStau'$ から $\hat{T}$ への写像も同様である。

$$ \begin{aligned} \lrangle{\mathcal{F}[e^{2\pi i\alpha x}]}{\psi} =&\lrangle{e^{2\pi i\alpha x}}{\hat{\psi}} \\ =&\int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi i\alpha x}\hat{\psi}(x) \diff x \\ =&\mathcal{F}^{-1}[\hat{\psi}](\alpha)=\psi(\alpha)=\lrangle{\delta_\alpha}{\psi} \end{aligned} $$ より示された。