級数解説02

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昔のツイートを遡っていたらこのようなものを発見しました.

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} (\binom{n}{k}) & = \sum_{1 \leq i \leq n} \frac{1}{i} \\ \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{2}} (\binom{n}{k}) & = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} \frac{1}{i j} \\ \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{3}} (\binom{n}{k}) & = \sum_{1 \leq i \leq j \leq k \leq n} \frac{1}{i j k} \end{aligned}$

当時の自分がどのように証明したかは思い出せませんでしたが, 再証明することができたので記しておきます.

証明1

第3式を示す.
$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{3}} (\binom{n}{k}) & = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} (\binom{n}{k}) \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{y} \int_{0}^{y} z^{k - 1} d z d y d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{y} \int_{0}^{y} \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} (\binom{n}{k}) z^{k - 1} d z d y d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{y} \int_{0}^{y} \frac{1 - (1 - z)^{n}}{z} d z d y d x \end{aligned}$
ここで, $x \mapsto 1 - x$ , $y \mapsto 1 - y$ , $z \mapsto 1 - z$ の変数変換をすると,
$\begin{aligned} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} \int_{x}^{1} \frac{1}{1 - y} \int_{y}^{1} \frac{1 - z^{n}}{1 - z} d z d y d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} \int_{x}^{1} \frac{1}{1 - y} \int_{y}^{1} z^{k - 1} d z d y d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} \int_{x}^{1} \frac{1 - y^{k}}{1 - y} d y d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} \int_{x}^{1} y^{j - 1} d y d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{j k} \int_{0}^{1} \frac{1 - x^{j}}{1 - x} d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} \sum_{i = 1}^{j} \frac{1}{j k} \int_{0}^{1} x^{i - 1} d x \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} \sum_{i = 1}^{j} \frac{1}{i j k} \end{aligned}$
と計算できる.
第1,2式も同じようにできる.

証明2

$f_{1} (n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} (\binom{n}{k})$ とおく.
$\begin{aligned} f_{1} (n + 1) - f_{1} (n) & = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} ((\binom{n + 1}{k}) - (\binom{n}{k})) \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} (\binom{n}{k - 1}) \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(- 1)^{k - 1}}{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) \\ = \frac{1}{n + 1} \end{aligned}$
であり, $f_{1} (1) = 1$ であるため, $f_{1} (n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ である.

$f_{2} (n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{2}} (\binom{n}{k})$ とおく.
$\begin{aligned} f_{2} (n + 1) - f_{2} (n) & = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{2}} ((\binom{n + 1}{k}) - (\binom{n}{k})) \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{2}} (\binom{n}{k - 1}) \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k (n + 1)} (\binom{n + 1}{k}) \\ = \frac{1}{n + 1} f_{1} (n + 1) \end{aligned}$
であり, $f_{2} (1) = 1 = f_{1} (1)$ であるため, $f_{2} (n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} f_{1} (k) = \sum_{1 \leq j \leq k \leq n} \frac{1}{j k}$ である.