級数解説02

昔の ツイート を遡っていたらこのようなものを発見しました.

当時の自分がどのように証明したかは思い出せませんでしたが, 再証明することができたので記しておきます.

証明1

第3式を示す.
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^3}\binom{n}{k} &=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\int_0^1\frac{1}{x}\int_0^x\frac{1}{y}\int_0^y z^{k-1}\,dzdydx\\ &=\int_0^1\frac{1}{x}\int_0^x\frac{1}{y}\int_0^y \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\binom{n}{k}z^{k-1}\,dzdydx\\ &=\int_0^1\frac{1}{x}\int_0^x\frac{1}{y}\int_0^y\frac{1-(1-z)^n}{z}\,dzdydx \end{aligned}$$
ここで, $x\mapsto 1-x$, $y\mapsto 1-y$, $z\mapsto1-z$の変数変換をすると,
$$\begin{aligned} &=\int_0^1\frac{1}{1-x}\int_x^1\frac{1}{1-y}\int_y^1\frac{1-z^n}{1-z}\,dzdydx\\ &=\sum_{k=1}^{n}\int_0^1\frac{1}{1-x}\int_x^1\frac{1}{1-y}\int_y^1z^{k-1}\,dzdydx\\ &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\int_0^1\frac{1}{1-x}\int_x^1\frac{1-y^k}{1-y}dydx\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{k}\int_0^1\frac{1}{1-x}\int_x^1y^{j-1}dydx\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{jk}\int_0^1\frac{1-x^j}{1-x}dx\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{j}\frac{1}{jk}\int_0^1x^{i-1}dx\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{j}\frac{1}{ijk}\\ \end{aligned}$$
と計算できる.
第1,2式も同じようにできる.

証明2

$\ds f_1(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\binom{n}{k}$とおく.
\begin{align} f_1(n+1)-f_1(n) &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\left(\binom{n+1}{k}-\binom{n}{k}\right)\\ &=\ds\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\binom{n}{k-1}\\ &=\ds\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{n+1}\binom{n+1}{k}\\ &=\frac{1}{n+1} \end{align}
であり, $f_1(1)=1$であるため, $$f_1(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$である.

$\ds f_2(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\binom{n}{k}$とおく.
\begin{align} f_2(n+1)-f_2(n) &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\left(\binom{n+1}{k}-\binom{n}{k}\right)\\ &=\ds\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\binom{n}{k-1}\\ &=\ds\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k(n+1)}\binom{n+1}{k}\\ &=\frac{1}{n+1}f_1(n+1) \end{align}
であり, $f_2(1)=1=f_1(1)$であるため, $$f_2(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}f_1(k)=\sum_{1\leq j\leq k\leq n}\frac{1}{jk}$$である.

$\ds\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^3}\binom{n}{k}=\sum_{1\leq i\leq j\leq k\leq n}\frac{1}{ijk}$も上と同様に示せる.