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代数学講義 - §3 - 複素数の幾何学的表示

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極座標

複素数を極座標で表すことで、 $0$ 以外の数字を $x + y i$ に表すことができます。
それは、
$z = x + y i = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + i \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) = r (\cos θ + i \sin θ)$
というものです。ここで、 $0 \leq θ < 2 π$ としています。この表示にするためには $\sqrt{x^{2} + y^{2}} \neq 0 ⟺ z \neq 0$ という条件が必要十分です。 $r = | z |, θ = \arg z$ と書くことにします。
$z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ 、 $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ としたとき、
$\begin{aligned} z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ_{2} + i (\sin θ_{1} \cos θ_{2} + \cos θ_{1} \sin θ_{2})) \\ = r_{1} r_{2} (\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})) \end{aligned}$
となります。つまり、極座標表示にしてしまえば積の計算がやりやすくなるのです。 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |, \arg z_{1} z_{2} = \arg z_{1} + \arg z_{2}$ ですからね。
このことから、ド・モアブルの定理：
$(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ$
が分かります。これは $n$ 倍角の定理とか導出するのに使えますね。この記事では $3$ 倍角の定理だけ書いておきます。

3倍角の定理

$\begin{aligned} \cos 3 θ + i \sin 3 θ & = (\cos θ + i \sin θ)^{3} \\ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ + i (3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ) \end{aligned}$

ド・モアブルの定理を使えば、複素数の $n$ 乗根を求めるのも楽々ですね。

幾何学的表示

$z = r (\cos θ + i \sin θ)$ （ $r > 0, 0 \leq θ < 2 π$ ）という表示から、複素数を平面として見ることができそうですね。というわけで、 $x + y i ⟺ (x, y)$ という対応を考えることができます。
（以下雑談）ちなみに、もし、 $z = r (\cos 2 θ + i \sin 2 θ)$ （ $r > 0, 0 \leq θ < π$ ）と表示してみると、円錐で複素数を表示していることになります。この表示だと、極座標では $0$ が特異的なのが目に見えるのでいいかな～と。もちろん、平面の場合の $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ （ $r > 0, 0 \leq θ < 2 π$ ）と等価です。（雑談終わり）