【相対論】Killingベクトル場を電磁ポテンシャルと見なせるという話

　Killingベクトル場は時空の等長対称性の生成子ですが、Ricci flat時空では電磁ポテンシャルと見なすこともできるというWaldによる有名な話があります。

source freeな電磁場

　電磁ポテンシャルを$A_a$とするとき、電磁場$F=dA$がsource freeであるとき${\mathrm{\nabla }}^a{F}_{ab}=0$を満たすので、$A_a$は
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}^a{F}_{ab}& ={\mathrm{\nabla }}^a{\mathrm{\nabla }}_a{A}_b-{\mathrm{\nabla }}^a{\mathrm{\nabla }}_b{A}_a\\ & =◻A_b-{\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_a{A}^a-R_{cab}^a{A}^c\\ & =◻A_b-{\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_a{A}^a-R_{cb}{A}^c\end{array}$$
を満たします。ここでLorentz gauge ${\mathrm{\nabla }}_a{A}^a=0$を取ると
$$◻A_a-R_a^b{A}_b=0$$
となります。つまりこの方程式を満たすdiv freeな1-formはsource freeな電磁場の電磁ポテンシャルと見なすことができます。

Ricci flatだと$◻A=0$は電磁波の方程式です。Ricci flatでない場合はRicci曲率が散乱項のようになることが分かります。

Killingベクトル場を電磁ポテンシャルと見なす

　Killingベクトル場$\xi$は${\mathrm{\nabla }}_a{\xi }_b+{\mathrm{\nabla }}_b{\xi }_a=0$を満たすので${\mathrm{\nabla }}_a{\xi }^a=0$となります。さらに
$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_b{\xi }_c-{\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_a{\xi }_c=-R_{cab}^d{\xi }_d\\ & {\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_b{\xi }^b-{\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_a{\xi }^b=-R_{ab}^{db}{\xi }_d\\ & {\mathrm{\nabla }}^b{\mathrm{\nabla }}_b{\xi }_a=-R_{da}{\xi }^d(\because {\mathrm{\nabla }}_a{\xi }^a=0,{\mathrm{\nabla }}_a{\xi }_b+{\mathrm{\nabla }}_b{\xi }_a=0)\\ & ◻A_a+R_a^b{A}_b=0\end{array}$$
となります。従ってRicci flatならば、${\xi }_a$はsource freeの電磁場の電磁ポテンシャルと見なせます。

遊び方

　Ricci flatな時空$(M,g)$とKillingベクトル場$\xi$を準備すれば簡単にcurved時空での電磁放射について考察することができます。