確率空間の復習から加法定理の証明まで
標本空間とは、確率論において起こりうる結果を表す要素全体の集合である。
標本空間は$\Omega$で表す。$\Omega$自体は任意の集合として与えられ、標本空間の段階では確率はまだ定義されていない。
確率を定めるには、$\Omega$の部分集合族$\mathcal F$を$\Omega$上のσ-代数として定め、さらに$\mathcal F$上の確率測度$\mathbb P$を与える必要がある。
集合$\Omega$に対し、$\mathcal F$が$\Omega$上のσ-代数であるとは、$\mathcal F\subset 2^{\Omega}$であり、次の$3$条件を満たすことをいう。
- $\Omega\in\mathcal F$
- 任意の$A\in\mathcal F$に対して、その$\Omega$に関する補集合$A^c:=\Omega\setminus A$も$\mathcal F$に属する。すなわち
$$ A\in\mathcal F \Rightarrow A^c\in\mathcal F $$ - 任意の可算個の集合列$A_1,A_2,\dots$が$A_n\in\mathcal F$を満たすならば、その和集合$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$も$\mathcal F$に属する。すなわち
$$ A_n\in\mathcal F\ (n=1,2,\dots)\Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F $$
-このとき、$\mathcal F$の元を$\Omega$上の可測集合と呼ぶ。
上の条件2.-3.から、$\mathcal F$は可算回の共通部分においても閉じている。
実際、$A_1,A_2,\dots\in\mathcal F$に対してド・モルガンの法則より
$$
\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n
=\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c\Bigr)^c
$$
であり、右辺は条件2.-3.より$\mathcal F$に属する。
また、1.2.より$\varnothing\in\mathcal F$が従う。実際、
$$
\varnothing=\Omega^c
$$
であるから$\Omega\in\mathcal F$より$\Omega^c=\varnothing\in\mathcal F$である。
集合$\Omega$に対し、$\mathcal F$を$\Omega$上のσ-代数とする。$\mathbb P$が$\mathcal F$上の確率測度であるとは、写像
$$
\mathbb P:\mathcal F\to [0,1]
$$
が次の$3$条件を満たすことをいう。
- 非負性：任意の$A\in\mathcal F$に対して
$$ \mathbb P(A)\ge 0 $$
が成り立つ。
$ $ - 正規化：全事象$\Omega$に対して
$$ \mathbb P(\Omega)=1 $$
が成り立つ。
$ $ - 可算加法性：任意の可算個の集合列$A_1,A_2,\dots$が$\mathcal F$の元であり、互いに素である。すなわち
$$ A_i\cap A_j=\varnothing\ (i\ne j) $$
を満たすならば
$$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(A_n) $$
が成り立つ。
-以上を満たすとき、$\mathbb P$を$\mathcal F$上の確率測度と呼ぶ。
1.2.3.から、$\mathbb P(\varnothing)=0$が従う。
実際、$\Omega$と$\varnothing$は互いに素であり、かつ$\Omega\cup\varnothing=\Omega$であるから、可算加法性を$2$項の場合に適用すると
$$
\mathbb P(\Omega)=\mathbb P(\Omega)+\mathbb P(\varnothing)
$$
となり、よって$\mathbb P(\varnothing)=0$である。
$A\subset B$かつ$A,B\in\mathcal F$ならば単調性
$$
\mathbb P(A)\le \mathbb P(B)
$$
が従う。実際、$B=A\cup(B\setminus A)$かつ$A\cap(B\setminus A)=\varnothing$であるから可算加法性より（特に有限加法性より）
$$
\mathbb P(B)=\mathbb P(A)+\mathbb P(B\setminus A)\ge \mathbb P(A)
$$
である。
標本空間$\Omega$を取る。$\mathcal F$を$\Omega$上のσ-代数とし、そして$\mathbb P$ を $\mathcal F$ 上の確率測度とする。
このとき、$3$つ組
$$
(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)
$$
を確率空間と呼び、$\mathcal F$の元を事象と呼ぶ。
確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$において、$A,B\in\mathcal F$とする。このとき
$$
\mathbb P(A\cup B)=\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(A\cap B)
$$
が成り立つ。
次の$3$つの事象を考える。
$$
C_1:=A\setminus B,\qquad C_2:=A\cap B,\qquad C_3:=B\setminus A
$$
$A,B\in\mathcal F$とする。$\mathcal F$は$\Omega$上のσ-代数であるから、補集合と有限回の共通部分に関して閉じている。
ここで補集合を$A^c:=\Omega\setminus A$、$B^c:=\Omega\setminus B$と定める。
すると
$$
\begin{align}
C_1&=A\setminus B=A\cap(\Omega\setminus B)=A\cap B^c\\
C_2&=A\cap B\\
C_3&=B\setminus A=B\cap(\Omega\setminus A)=B\cap A^c
\end{align}
$$
である。いま$B\in\mathcal F$より$B^c\in\mathcal F$、また$A\in\mathcal F$より$A^c\in\mathcal F$である。
さらに$\mathcal F$は共通部分に関して閉じているから
$$
A\cap B^c\in\mathcal F,\qquad A\cap B\in\mathcal F,\qquad B\cap A^c\in\mathcal F
$$
が従う。従って$C_1,C_2,C_3\in\mathcal F$であり、いずれも事象（可測集合）である。
このとき
$$
A=C_1\cup C_2,\qquad B=C_2\cup C_3,\qquad A\cup B=C_1\cup C_2\cup C_3
$$
が成り立ち、さらに$C_1,C_2,C_3$は互いに素である。
定義より、$C_1\subset B^c,\ C_2\subset B,\ C_3\subset A^c$ である。
実際、$C_1=A\cap B^c$より$C_1\subset B^c$、$C_2=A\cap B$より$C_2\subset B$、$C_3=B\cap A^c$より$C_3\subset A^c$である。
従って
$$
C_1\cap C_2\subset B^c\cap B=\varnothing
$$
また、同様に$C_2\subset A$かつ$C_3\subset A^c$より
$$
C_2\cap C_3\subset A\cap A^c=\varnothing
$$
さらに、$C_1\subset A$かつ$C_3\subset A^c$より
$$
C_1\cap C_3\subset A\cap A^c=\varnothing
$$
以上より、任意の$i\ne j$に対して$C_i\cap C_j=\varnothing$であり、$C_1,C_2,C_3$は互いに素である。
従って、$A=C_1\cup C_2$ かつ $C_1\cap C_2=\varnothing$ であるから可算加法性より（特に有限加法性より）
$$
\mathbb P(A)=\mathbb P(C_1)+\mathbb P(C_2)
$$
$$
\mathbb P(B)=\mathbb P(C_2)+\mathbb P(C_3)
$$
$$
\mathbb P(A\cup B)=\mathbb P(C_1)+\mathbb P(C_2)+\mathbb P(C_3)
$$
が成り立つ。
ここで上の$2$つを足してから$\mathbb P(C_2)$を引くと
$$
\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(C_2)
=\mathbb P(C_1)+\mathbb P(C_2)+\mathbb P(C_3)
=\mathbb P(A\cup B)
$$
となる。最後に$C_2=A\cap B$であるから
$$
\mathbb P(A\cup B)=\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(A\cap B)
$$
が従う。
$$ \Box$$
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