発散級数に対する代数的方法の正当化を目指して(1+2+3+…=-1/12まで)
はじめに
この記事では証明をしません。
まずこちらの
動画
のようなものを見たことはないでしょうか
ここでは代数的方法とはこのような操作を意味します
本題
まず以下のような代数を考えます。
台集合を$\mathbb{R}^ \mathbb{N}$とする($\mathbb{R}^ \mathbb{N}$で実数の無限列を表す)
$\oplus$を各項の足し算
$\otimes$を畳み込み
とする
$\oplus$の単位元は$(0,0,0,0,…)$
$\otimes$の単位元は$(1,0,0,0,…)$
ここで畳み込みは畳み込みならなんでも良い、有名なのは離散畳み込みやディリクレ畳み込みなどです。
この代数で遊んでみましょう
どのような遊びかと言うと無限列の積の逆元を見つける遊びです
畳み込みは好きなものを使って良いですが最初は離散畳み込みをすると良いかもしれません
以下の級数の逆元を見つけて
$(1,1/2,1/4,1/8…)$
$(1,-1,1,-1,…)$
$(1,-2,3,-4,…)$
$(1,1,1,1,…)$
次に総和を定義します
総和Σを次のように定義する
$a,b,x\in$ $\mathbb{R}^ \mathbb{N}$
$Σx$ $x$が収束する時その値
$Σa\oplus b=Σa+Σb$
$Σa \otimes b=Σa×Σb$
発散級数に対して総和する方法は逆元を使うと分かりやすい。
さっきみなさんが計算した逆元を使うと
$(1,-1,1,-1,…)\otimes(1,1,0,0,0…)=(1,0,0,0…)$
$Σ(1,-1,1,-1,…)×Σ(1,1,0,0,0…)=Σ(1,0,0,0…)$
$Σ(1,-1,1,-1,…)×2=1$
$Σ(1,-1,1,-1,…)=1/2$
これは発散級数の逆元が収束しかつ$0$でないからできる。
もう一つ計算しよう
$Σ(1,1,1,1,…)×Σ(1,-1,0,0,…)=1$
$Σ(1,1,1,1,…)×0=1$
ここで0がでてきてしまった。しかし、計算方法がこれしかないわけではない。
逆元の方法は言い方を変えれば方程式を立ててその方程式のΣを考えることなので(1,1,1,1,…)以外のΣがわかっている方程式を作れば良い。
ディリクレ畳み込みを使う
$Σ(1,1,1,1,…)-Σ(1,-1,1,-1,…)-Σ(0,2,0,2,…)=0$
$Σ(1,1,1,1,…)-1/2-Σ(0,2,0,0,…)Σ(1,1,1,1,…)=0$
$Σ(1,1,1,1,…)-1/2-2×Σ(1,1,1,1,…)=0$
$-1×Σ(1,1,1,1,…)-1/2=0$
$Σ(1,1,1,1,…)=-1/2$
となる
ここまで来れば-1/12までもうすぐです。
ディリクレ畳み込みを使う
$Σ(1,2,3,4,…)-Σ(1,-2,3,-4,…)-Σ(0,4,0,0,…)Σ(1,2,3,4,…)=0$
$Σ(1,2,3,4,…)-1/4-4Σ(1,2,3,4,…)=0$
$-3Σ(1,2,3,4,…)-1/4=0$
$Σ(1,2,3,4,…)=-1/12$
おわりに
みていただきありがとうございます。
わかりづらいこともあると思うので質問指摘をしていただくと嬉しいです。
