現代数学解説

文献あり

可補束およびBoole代数について

可補束,Boole代数

自分用のノート

定義

有界束$L$において$a,b \in L$が互いに補元であるというのは、以下を満たすことを言う。

$a \wedge b = 0$
$a \vee b = 1$

$0$と$1$は互いに補元である。

一般には補元は存在しても一意でない。

具体例は$M_3$を考えればよい。

有界分配束において、補元は存在すれば一意である。

$D$を有界分配束とする。

$a,b,b' \in D$が以下を満たすとする。

$a \vee b = 1$
$a \wedge b = 0$
$a \vee b' = 1$
$a \wedge b' = 0$

このとき、$a \vee b = 1$の両辺に$b'$の交わりを取ると、
$(a \vee b) \wedge b' = b'$
$\i$分配性より
$(a \wedge b') \vee (b \wedge b') = b'$
$\i$変形すると
$0 \vee (b \wedge b') = b'$
$b \wedge b' = b'$

即ち$b' \le b$である。

同様にして$b \le b'$も言えるから$b = b'$である。

補元が一意に存在しても分配束とは言えない。(Huntington’s conjectureの反例)

有界束$L$において、任意の元が少なくとも1つ補元を持つとき、$L$は可補束であるという。

有限次元ベクトル空間$V$の部分空間全体の成す束$K(V)$は可補束である。

$K(V)$は一般には非分配的であり、補元も一意でない。

有界束$L$において、$L$の任意の区間が可補束であるとき、$L$は相対可補束であるという。

可補分配束をBoole代数と呼ぶ。

Boole代数において、任意の元$a$は唯一つ補元を持つから、それを$\neg a$と書く。

集合$X$に対し、そのべき集合$\mathcal{P}(X)$はBoole代数になる。
結びと交わりは和集合と共通部分。$1 = X, 0 = \varnothing$。補元は補集合で与えられる。

包含

概念として、
Boole代数 = 可補分配束 $\subsetneq$ 可補モジュラー束 $\subsetneq$ 相対可補束 $\subsetneq$ 可補束

これを示していく。

可補分配束 $\subsetneq$ 可補モジュラー束

分配束はモジュラー束であるから、可補分配束 $\subset$ 可補モジュラー束である。

しかし、可補モジュラー束であるが可補分配束でない例がある。

例えば$M_3$は可補モジュラー束であるが可補分配束でない。

可補モジュラー束 $\subsetneq$ 相対可補束

[可補モジュラー束は相対可補束である[2;補題7]]
$L$を可補モジュラー束とする。
$a,b \in L$を取る。

$a \not\le b$の場合、$[a,b] = \varnothing$であり、これは可補束である。

$a \le b$とする。

$x \in [a,b]$を取る。
$x$の$L$における補元を一つ取り、$x'$と置く。

この時、$x \wedge (x' \wedge b) = (x \wedge x') \wedge b = 0 \wedge b = 0$

また、$x \le b$であるからモジュラー律より、$x \vee (x' \wedge b) = (x \vee x') \wedge b = 1 \wedge b = b$

さらに、$x' \wedge b \in [0,b]$だから、$x' \wedge b$は$[0,b]$における$x$の補元である。

$y = x' \wedge b$と置く。

この時、$x \vee (y \vee a) = (x \vee y) \vee a = b \vee a = b$

また、$a \le x$であるから、モジュラー律より、
$x \wedge (y \vee a) = (x \wedge y) \vee a = 0 \vee a = a$

さらに、$y \vee a \in [a,b]$であるから、$y \vee a$は$[a,b]$における$x$の補元である。

従って、$[a,b]$は可補束である。

ゆえに$L$は相対可補束である。

[相対可補束であって可補モジュラー束でない例がある]
分割束（同値関係束）$\Pi_n$($n≥4$)

有限集合$\set{0,1,\cdots,n-1}$上のすべての分割（同値関係）に、細分による順序を入れた束を分割束と言い、$\Pi_n$と書く。

$\Pi_n$は幾何束（geometric lattice）である。一般に幾何束は相対可補であることが知られている。

$n \ge 4$のとき、$\Pi_n$は五角形束$N_5$を部分束として含むからモジュラー律を満たさない。

従って、$\Pi_n$($n≥4$)は相対可補束であるが、可補モジュラー束ではない。

相対可補束 $\subsetneq$ 可補束

相対可補束自身も区間であるから、相対可補束は可補束である。

一方、$N_5$を考えると、これは可補束であるが相対可補束でない。

命題

Boole代数$B$と$a,b \in B$に対し以下が成り立つ。

$\neg \neg a = a$
$\neg(a \wedge b) = \neg a \vee \neg b$
$\neg(a \vee b) = \neg a \wedge \neg b$
$a \le b ⇔ 0 = a \wedge \neg b$
$a \le b ⇔ 1 = \neg a \vee b$

$a,b \in B$を取る。

[$\neg\neg a = a$]
$a$は$\neg a$の補元だから$\neg\neg a = a$

[$\neg(a \wedge b) = \neg a \vee \neg b$]
$$\begin{align*} (a \wedge b) \vee (\neg a \vee \neg b) &= ((a \wedge b) \vee \neg a) \vee \neg b \\ &= ((a \vee \neg a) \wedge (b \vee \neg a)) \vee \neg b \\ &= (1 \wedge (b \vee \neg a)) \vee \neg b \\ &= (b \vee \neg a) \vee \neg b \\ &= \neg a \vee (b \vee \neg b) \\ &= \neg a \vee 1 \\ &= 1 \end{align*}$$

$$\begin{align*} (a \wedge b) \wedge (\neg a \vee \neg b) &= (a \wedge b \wedge \neg a) \vee (a \wedge b \wedge \neg b) \\ &= (a \wedge \neg a \wedge b) \vee (a \wedge 0) \\ &= (0 \wedge b) \vee 0 \\ &= 0 \vee 0 \\ &= 0 \end{align*}$$

補元の一意性より、$\neg(a \wedge b) = \neg a \vee \neg b$

[$\neg(a \vee b) = \neg a \wedge \neg b$]
上の命題より、$\neg(\neg a \wedge \neg b) = a \vee b$
従って、$\neg a \wedge \neg b = \neg(a \vee b)$

[$a \le b ⇔ 0 = a \wedge \neg b$]
[⇒]
$a \le b$ を仮定すると、$a = a \wedge b$が成り立つ。
これを $a \wedge \neg b$ の $a$ に代入する。
$$\begin{align*} a \wedge \neg b &= (a \wedge b) \wedge \neg b \\ &= a \wedge (b \wedge \neg b) \quad \\ &= a \wedge 0 \\ &= 0 \end{align*}$$

[⇐]
$$\begin{align*} a &= a \wedge 1 \quad \\ &= a \wedge (b \vee \neg b) \quad \\ &= (a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b) \quad \end{align*}$$

ここで仮定より $a \wedge \neg b = 0$ だから、
$$\begin{align*} a &= (a \wedge b) \vee 0 \\ &= a \wedge b \end{align*}$$

即ち$a \le b$

[$a \le b ⇔ 1 = \neg a \vee b$]
上の命題より、$a \le b ⇔ 0 = a \wedge \neg b ⇔ \neg 0 = \neg(a \wedge \neg b) ⇔ 1 = \neg a \vee b$

Boole代数$B$に対し、和を$a+b = (a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b)$、零元を$0$、反元を恒等写像、積を$a\cdot b = a \wedge b$、単位元を$1$で定めると、$(B,+,0,\id,\cdot,1)$は可換環になる。

[演算が閉じている]
明らか。

[積の可換性]
明らか

[積の結合性]
明らか

[和の可換性]
明らか

[和の結合性]
$$\begin{align*} \neg(x+y) &= \neg((x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y)) \\ &= \neg(x \wedge \neg y) \wedge \neg(\neg x \wedge y) \quad \text{（ド・モルガンの法則）} \\ &= (\neg x \vee \neg\neg y) \wedge (\neg\neg x \vee \neg y) \quad \text{（ド・モルガンの法則）} \\ &= (\neg x \vee y) \wedge (x \vee \neg y) \quad \text{（二重否定の法則）} \\ &= ((\neg x \vee y) \wedge x) \vee ((\neg x \vee y) \wedge \neg y) \quad \text{（分配則）} \\ &= ((\neg x \wedge x) \vee (y \wedge x)) \vee ((\neg x \wedge \neg y) \vee (y \wedge \neg y)) \quad \text{（分配則）} \\ &= (0 \vee (x \wedge y)) \vee ((\neg x \wedge \neg y) \vee 0) \\ &= (x \wedge y) \vee (\neg x \wedge \neg y) \end{align*}$$

$$\begin{align*} (a+b)+c &= ((a+b) \wedge \neg c) \vee (\neg(a+b) \wedge c) \\ &= (((a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b)) \wedge \neg c) \vee (((a \wedge b) \vee (\neg a \wedge \neg b)) \wedge c) \\ &= (a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge b \wedge \neg c) \vee (a \wedge b \wedge c) \vee (\neg a \wedge \neg b \wedge c) \end{align*}$$

$$\begin{align*} a+(b+c) &= (a \wedge \neg(b+c)) \vee (\neg a \wedge (b+c)) \\ &= (a \wedge ((b \wedge c) \vee (\neg b \wedge \neg c))) \vee (\neg a \wedge ((b \wedge \neg c) \vee (\neg b \wedge c))) \\ &= (a \wedge b \wedge c) \vee (a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge \neg b \wedge c) \end{align*}$$

[分配性]
$\begin{align*}c \cdot (a+b) &= c \wedge ((a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b)) \\ &= (c \wedge a \wedge \neg b) \vee (c \wedge \neg a \wedge b) \end{align*}$

$\begin{align*} c \cdot a + c \cdot b &= (c \wedge a) + (c \wedge b) \\ &= ((c \wedge a) \wedge \neg (c \wedge b)) \vee (\neg (c \wedge a) \wedge (c \wedge b)) \\ &= ((c \wedge a) \wedge (\neg c \vee \neg b)) \vee ((\neg c \vee \neg a) \wedge (c \wedge b)) \\ &= (a \wedge (c \wedge \neg b)) \vee ((\neg a \wedge c) \wedge b) \end{align*}$

[$0$は零元]
$a + 0 = (a \wedge \neg0) \vee (\neg a \wedge 0) = a \vee 0 = a$

[$1$は単位元]
$a \cdot 1 = a \wedge 1 = a$

[反元]
$a + a = (a \wedge \neg a) \vee (a \wedge \neg a) = 0 \vee 0 = 0$