随伴表現と同型の判定

任意の$X,Y\in\mathfrak{g}$に対して，
\begin{align*} f(ad_{X}(Y)) =f([X,Y]) =[f(X),f(Y)]= ad^{\prime}_{f(X)}(f(Y)) \end{align*}
が成り立つ．
\begin{align*} \begin{pmatrix} ad_{X}(X_1) & \cdots & ad_{X}(X_n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_1 & \cdots & X_n \end{pmatrix}A \end{align*}
であったので，
\begin{align*} \begin{pmatrix} ad^{\prime}_{f(X)}(f(X_1)) & \cdots & ad^{\prime}_{f(X)}(f(X_n)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(X_1) & \cdots & f(X_n) \end{pmatrix}A \end{align*}
が従う．

$\mathfrak{g}$の基底を$X_1,\cdots,X_n$，別の基底を$X^{\prime}_1,\cdots,X^{\prime}_n$とする．
基底$X_1,\cdots,X_n$から基底$X^{\prime}_1,\cdots,X^{\prime}_n$への基底の変換行列を$P$とする．
$ad_{X}$の基底$X_1,\cdots,X_n$に関する表現行列を$A_{X}$，基底$X^{\prime}_1,\cdots,X^{\prime}_n$に関する表現行列を$A_{X}^{\prime}$とする．すると，
\begin{align*} A_{X}^{\prime} = P^{-1}A_X P \end{align*}
$\mathfrak{g}^{\prime}$の基底を$Y_1,\cdots,Y_n$，別の基底を$Y^{\prime}_1,\cdots,Y^{\prime}_n$とする．
基底$Y_1,\cdots,Y_n$から基底$Y^{\prime}_1,\cdots,Y^{\prime}_n$への基底の変換行列を$Q$とする．
$ad^{\prime}_{Y}$の基底$Y_1,\cdots,Y_n$に関する表現行列を$B_{Y}$，基底$Y^{\prime}_1,\cdots,Y^{\prime}_n$に関する表現行列を$B_{Y}^{\prime}$とする．すると，
\begin{align*} B_{Y}^{\prime} = Q^{-1}B_Y Q \end{align*}
$ad_{X}\sim ad^{\prime}_{Y}$ならば，$B_{Y} = P_0^{-1}A_XP_0$となる$P_{0}\in GL_{n}(\mathbb{K})$が取れる．すると，
\begin{align*} A_{X}^{\prime} &= (P^{-1}P_{0}Q)B_Y^{\prime}(Q^{-1} P_{0}^{-1}P)　\\ &= (Q^{-1} P_{0}^{-1}P)^{-1}B_Y^{\prime}(Q^{-1} P_{0}^{-1}P)　\\ \end{align*}
$Q^{-1} P_{0}^{-1}P\in GL_{n}(\mathbb{K})$より基底に依らず，$ad_X\sim ad^{\prime}_{Y}$が成り立つ．同値関係であることは省略する．
同型写像$f:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}^{\prime}$を取ると，任意の$X\in\mathfrak{g}$に対し，$f(X)\in\mathfrak{g}^{\prime}$を考えれば，定理より$ad_X\sim ad^{\prime}_{\small f(X)}$が成り立つ．

$\mathfrak{n}_{3}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_{3,0}(\mathbb{K})$の随伴表現の表現行列は，それぞれ
\begin{align*} \begin{pmatrix}0&-c&a \\0 &0 &0\\ 0&0&0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}c&0&-a \\0 &0 &0\\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{align*}
と表せた．$c\neq 0$のとき固有値が異なるので，$\mathfrak{n}_{3}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_{3,0}(\mathbb{K})$は同型でない．

$\left(\Rightarrow\right)$$\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_{3,\lambda_2}(\mathbb{K})$の随伴表現の表現行列を考えれば，それぞれ固有値の組は$\{c_1,c_1\lambda_1,0 \}$,$\{c_2,c_2\lambda_2,0 \}$とかけるので，$c_1\neq 0$とすれば，
\begin{align*} &\begin{cases} c_1 =c_2 \\ c_1\lambda_1 =c_2\lambda_2 \end{cases} \ \ or\ \ \begin{cases} c_1 =c_2\lambda_2 \\ c_1\lambda_1 =c_2 \end{cases}\\ \Longrightarrow & \begin{cases} c_1 =c_2 \\ c_1(\lambda_1-\lambda_2) = 0 \end{cases} \ \ or\ \ \begin{cases} c_1(\lambda_1\lambda_2-1)=0 \\ c_1\lambda_1 =c_2 \end{cases}\\ \Longrightarrow & \lambda_1=\lambda_2 \ \ or\ \ \lambda_1=\lambda_2^{-1} \end{align*}
$(\Leftarrow)$$\lambda_1=\lambda_2$のときは明らかに$\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}(\mathbb{K})\simeq\mathfrak{r}_{3,\lambda_2} (\mathbb{K})$．$\lambda_1=\lambda_2^{-1}$のときについて考える．
$\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}(\mathbb{K})$の基底を$X_1,X_2,X_3$として，\begin{align*} [X_1,X_2] = 0 , \ [X_1,X_3] = -X_1, \ [X_2,X_3]=-\lambda_1 X_2 \end{align*}
$\mathfrak{r}_{3,\lambda_2}(\mathbb{K})$の基底を$Y_1,Y_2,Y_3$として，\begin{align*} [Y_1,Y_2] = 0 , \ [Y_1,Y_3] = -Y_1, \ [Y_2,Y_3]=-\lambda_2 Y_2 \end{align*}
を満たすようにとる．
線形写像$f:\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}(\mathbb{K})\to\mathfrak{r}_{3,\lambda_2} (\mathbb{K})$を$f(X_1)=Y_2,f(X_2)=Y_1,f(X_3)=\lambda_1Y_3$として取ると，
\begin{align*} f([X_1,X_2]) &= f(0) \\&=0\\&=[Y_1,Y_2]\\&=[f(X_1),f(X_2)], \\ f([X_1,X_3]) &=f(-X_1)\\&=-f(X_1)\\&=-Y_2\\&=\lambda_2^{-1}[Y_1,Y_3] \\&=[Y_1,\lambda_1Y_3] \\&=[f(X_1),f(X_3)] , \\ f([X_2,X_3]) &=f(-\lambda_1X_2)\\&=-\lambda_1f(X_2) \\&=-\lambda_1 Y_1 \\&=\lambda_1[Y_1,Y_3]\\&=[Y_1,\lambda_1Y_3]\\&=[f(X_2),f(X_3)] \end{align*}
となり，$f$は$Lie$代数としての同型写像となる．

$\mathfrak{r}_{3,\lambda}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_3(\mathbb{K})$が同型であると仮定する．
$\mathfrak{r}_{3,\lambda}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_3(\mathbb{K})$の随伴表現の表現行列はそれぞれ
\begin{align*} \begin{pmatrix}c_1&0&-a_1 \\0 &c_1\lambda &-b_1\lambda\\ 0&0&0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}c_2&c_2&-a_2-b_2 \\ 0 &c_2 &-b_2\\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{align*}
と表せる．$a_2=0,b_2=1,c_2=1$とすれば，$\mathfrak{r}_{3,\lambda}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_3(\mathbb{K})$が同型であると仮定したので，固有値に注目すれば，
\begin{align*} c_1 = 1, \ c_1\lambda =1 \end{align*}
すなわち，
\begin{align*} c_1 = 1, \ \lambda =1 \end{align*}
が成り立つ．さらに，$\mathfrak{r}_{3,\lambda}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_3(\mathbb{K})$が同型であると仮定したので，$P:$正則行列が存在して，
\begin{align*} \begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0 &1 &-1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}=P^{-1} \begin{pmatrix} c_1&0&-a_1 \\ 0 &c_1\lambda &-b_1\lambda\\ 0&0&0 \end{pmatrix}P \end{align*}
が成り立つ．対角化可能性に注目すると，片側が対角化可能ならもう一方は対角化可能，片側が対角化不可能ならもう一方は対角化不可能だとなる．
$\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0 &1 &-1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$について対角化可能性を考える．固有値$1$に対応する固有空間を求めると，
\begin{align*} W(1) &= \left\{ x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\in \mathbb{K}^{3}\ \ \right|\left.\ \begin{pmatrix} 0&1&-1 \\ 0 &0 &-1\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=0 \right\}\\ &=\left\{ x\in \mathbb{K}^{3}\ |\ x_2=0,\ x_3=0 \right\}\\ &= \left<\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right> \end{align*}
となり，固有空間$W(1)$の次元は$1$であるが，固有値$1$の重複度は$2$なので，対角化できない．
一方で，$\begin{pmatrix} c_1&0&-a_1 \\ 0 &c_1\lambda &-b_1\lambda\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$すなわち，$\begin{pmatrix} 1&0&-a_1 \\ 0 &1 &-b_1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$について対角化可能性を考える．固有値$1$に対応する固有空間を求めると，
\begin{align*} W(1) &= \left\{ x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\in \mathbb{K}^{3}\ \ \right|\left.\ \begin{pmatrix} 0&0&-a_1 \\ 0 &0 &-b_1\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=0 \right\}\\ &=\left\{ x\in \mathbb{K}^{3}\ |\ x_3=0\right\}\\ &= \left<\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right> \end{align*}
となり，固有空間$W(1)$の次元は$2$であって，固有値$1$の重複度は$2$であるので，対角化可能である．
これは，$\mathfrak{r}_{3,\lambda}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_3(\mathbb{K})$が同型であると仮定したからであり，$\mathfrak{r}_{3,\lambda}(\mathbb{K})$と$\mathfrak{r}_3(\mathbb{K})$は同型でないことが示された．

$(\Rightarrow)$$\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}^{\prime}(\mathbb{R})と\mathfrak{r}_{3,\lambda_2}^{\prime}(\mathbb{R})$の随伴表現の表現行列を考えれば，それぞれ固有値の組はそれぞれ$\left\{0,\ (\lambda_{1} +i)c_1, \ (\lambda_1 -i)c_1\right\}$と$\left\{0,\ (\lambda_{2} +i)c_2, \ (\lambda_2 -i)c_2\right\}$とかけるので，$c_1\neq 0$とすれば，
\begin{align*} &\begin{cases} (\lambda_{1} +i)c_1 = (\lambda_{2} +i)c_2 \\ (\lambda_{1} -i)c_1 = (\lambda_{2} -i)c_2 \end{cases} \ \ or\ \ \begin{cases} (\lambda_{1} +i)c_1 = (\lambda_{2} -i)c_2 \\ (\lambda_{1} -i)c_1 = (\lambda_{2} +i)c_2 \end{cases}\\ \Longrightarrow & \begin{cases} c_1 =c_2 \\ \lambda_1=\lambda_2 \end{cases} \ \ or\ \ \begin{cases}c_1 =-c_2\\ \lambda_1=-\lambda_2 \end{cases}\\ \Longrightarrow & \lambda_1=\lambda_2 \ \ or\ \ \lambda_1=-\lambda_2 \end{align*}
$(\Leftarrow)$ $\lambda_1=\lambda_2$のときは明らかに$\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}^{\prime}(\mathbb{R})と\mathfrak{r}_{3,\lambda_2}^{\prime}(\mathbb{R})$は同型である．
$\lambda_1 =-\lambda_2$のときを考える．
$\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}^{\prime}(\mathbb{K})$の基底を$X_1,X_2,X_3$として，\begin{align*} [X_1,X_2] = 0 , \ [X_1,X_3] = -\lambda_{1}X_1+X_2, \ [X_2,X_3]=-X_1-\lambda_1 X_2 \end{align*}
$\mathfrak{r}_{3,\lambda_2}^{\prime}(\mathbb{K})$の基底を$Y_1,Y_2,Y_3$として，\begin{align*} [Y_1,Y_2] = 0 , \ [Y_1,Y_3] = -\lambda_{2}Y_1+Y_2, \ [Y_2,Y_3]=-Y_1-\lambda_2 Y_2 \end{align*}
を満たすようにとる．
線形写像$f:\mathfrak{r}_{3,\lambda_1}^{\prime}(\mathbb{R}) \to \mathfrak{r}_{3,\lambda_2}^{\prime}(\mathbb{R})$を$f(X_1) =-Y_1 ,f(X_2) =Y_2 ,f(X_3) =-Y_3 $とすると，
\begin{align*} f([X_1,X_2]) &= f(0) \\&=0\\&=[-Y_1,Y_2]\\&=[f(X_1),f(X_2)], \\ f([X_1,X_3]) &=f(-\lambda_{1}X_1+X_2)\\&=-\lambda_{1}f(X_1)+f(X_2)\\&=-\lambda_{2}Y_1+Y_2\\&=[Y_1,Y_3] \\&=[f(X_1),f(X_3)], \\ f([X_2,X_3]) &=f(-X_1-\lambda_1 X_2)\\&=-f(X_1)-\lambda_1f(X_2) \\&=Y_1 +\lambda_{2}Y_2 \\&=-[Y_2,Y_3]\\&=[f(X_2),f(X_3)] \end{align*}
となり，$f$は$Lie$代数としての同型写像となる．

$\mathfrak{r}_{3,\lambda}^{\prime}(\mathbb{R})$と$\mathfrak{r}_{3,\kappa}(\mathbb{R})$の随伴表現の表現行列の固有値の組はそれぞれ$\{ (\lambda +i)c_1, \ (\lambda -i)c_1,\ 0\}$ と $\{c_2,\ c_2\kappa,\ 0\}$であって，$c_1\neq 0$について，$(\lambda +i)c_1, \ (\lambda -i)c_1$は複素数であって，$c_2,\ c_2\kappa$は実数なので固有値は一致しない．
したがって，$\mathfrak{r}_{3,\lambda}^{\prime}(\mathbb{R})$と$\mathfrak{r}_{3,\kappa}(\mathbb{R})$は同型でない．

$\mathfrak{r}_{3,\lambda}^{\prime}(\mathbb{R})$と$\mathfrak{r}_{3}(\mathbb{R})$の随伴表現の表現行列の固有値の組はそれぞれ$\{ (\lambda +i)c_1, \ (\lambda -i)c_1,\ 0\}$ と $\{c_2,\ c_2,\ 0\}$であって，$c_1\neq 0$について，$(\lambda +i)c_1, \ (\lambda -i)c_1$は複素数であって，$c_2,\ c_2$は実数なので固有値は一致しない．
したがって，$\mathfrak{r}_{3,\lambda}^{\prime}(\mathbb{R})$と$\mathfrak{r}_{3}(\mathbb{R})$は同型でない．

$\mathfrak{s}l_2(\mathbb{R})$と$Alt_3(\mathbb{R})$の随伴表現の表現行列の固有値の組はそれぞれ$\left\{ \sqrt{a^{2}_{1}+b^2_{1}-c^2_{1}},\ -\sqrt{a^{2}_{1}+b^{2}_{1}-c^{2}_{1}},\ 0\right\}$と
$\left\{ i\sqrt{a^{2}_{2}+b^2_2+c^2_{2}},\ -i\sqrt{a^{2}_{2}+b^{2}_{2}+c^{2}_{2}},0\right\}$である．であって，$a_1=1,b_1=0,c_1=0$について$ \sqrt{a^{2}_{1}+b^2_{1}-c^2_{1}},\ -\sqrt{a^{2}_{1}+b^{2}_{1}-c^{2}_{1}}$は実数だが，$ i\sqrt{a^{2}_{1}+b^2_{1}+c^2_{1}},\ -i\sqrt{a^{2}_{1}+b^{2}_{1}+c^{2}_{1}}$は複素数である．
したがって，$\mathfrak{s}l_2(\mathbb{R})$と$Alt_3(\mathbb{R})$は同型でない．