3次元リー代数の分類

定理に現れるLie代数が互いにを同型でないことは， 随伴表現と同型の判定 で示した．
$\mathfrak{g}$の同型に関して $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は不変量 なので，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0,1,2,3$で場合分けして示す．

1. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0$のとき
   $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の定義から，
   $$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }x\in \mathfrak{g},\mathrm{\forall }y\in \mathfrak{g},[x,y]=0\end{array}$$
   となるから，$\mathfrak{g}\simeq {\mathbb{C}}^3$
2. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=1$のとき
   $\mathfrak{g}$の基底を$e_1,e_2,e_3$，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_2$とする．
   このとき，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=1$であることに注意すれば，いずれかは$0$でない複素数$\alpha ,\beta ,\gamma$を用いて
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]=\alpha e_2,[e_1,e_3]=\beta e_2,[e_2,e_3]=\gamma e_2\end{array}$$
   と書ける．
   ここで2つの場合を考える．
   　(1) $\alpha =0$かつ$\gamma =0$のとき
   $\beta \ne 0$となり，${\tilde{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{\beta }}{e}_1,{\tilde{e}}_2=e_3,{\tilde{e}}_3=e_2$という基底の変換により，
   $$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]={\tilde{e}}_3,[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_3]=0,[{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3]=0\end{array}$$
   よって，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{n}}_3(\mathbb{C})$ が成り立つ．
   　(2) $\alpha \ne 0$または$\gamma \ne 0$のとき
   $\gamma \ne 0$のときは${\tilde{e}}_1=-e_3,{\tilde{e}}_2=e_2,{\tilde{e}}_3=-e_1$とすれば，
   $$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]=\gamma {\tilde{e}}_2,[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_3]=\beta {\tilde{e}}_2,[{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3]=\alpha {\tilde{e}}_2\end{array}$$
   となるので，$\alpha \ne 0$のときを考えれば十分である．
   $\alpha \ne 0$なら，${\tilde{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{e}_1,{\tilde{e}}_2=e_2,{\tilde{e}}_3={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}{e}_1-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{e}_2+e_3$という基底の変換が考えられ，
   $$\begin{array}{rl}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]& =[{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{e}_1,e_2]\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\cdot \alpha e_2\\ & ={\tilde{e}}_2\\ [{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_3]& =[{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{e}_1,{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}{e}_1-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{e}_2+e_3]\\ & =-{\displaystyle \frac{\beta }{{\alpha }^2}}[e_1,e_2]+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}[e_1,e_3]\\ & =-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{e}_2+{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{e}_2\\ & =0\\ [{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3]& =[e_2,{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}{e}_1-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{e}_2+e_3]\\ & ={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}[e_2,e_1]+[e_2,e_3]\\ & =-\gamma e_2+\gamma e_2\\ & =0\end{array}$$
   となるので，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_{3,0}(\mathbb{C})$ が従う．
3. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$のとき
   $\mathfrak{g}$の基底を$e_1,e_2,e_3$，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_2,e_3$とする．
   $e_2,e_3$は$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底なので，複素数${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2,{\gamma }_1,{\gamma }_2$を用いて
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]={\alpha }_1{e}_2+{\alpha }_2{e}_3,[e_1,e_3]={\beta }_1{e}_2+{\beta }_2{e}_3,[e_2,e_3]={\gamma }_1{e}_2+{\gamma }_2{e}_3\end{array}$$
   と書ける．
   ここで
   $$\begin{array}{rl}[e_1,[e_2,e_3]]& =[e_1,{\gamma }_1{e}_2+{\gamma }_2{e}_3]\\ & ={\gamma }_1[e_1,e_2]+{\gamma }_2[e_1,e_3]\\ & =({\alpha }_1{\gamma }_1+{\beta }_1{\gamma }_2)e_2+({\alpha }_2{\gamma }_1+{\beta }_2{\gamma }_2)e_3\\ [e_2,[e_3,e_1]]& =[e_3,-{\beta }_1{e}_2-{\beta }_2{e}_3]\\ & =-{\beta }_2[e_2,e_3]\\ & =-{\beta }_2{\gamma }_1{e}_2-{\beta }_2{\gamma }_2{e}_3\\ [e_3,[e_1,e_2]]& =[e_3,{\alpha }_1{e}_2+{\alpha }_2{e}_3]\\ & =-{\alpha }_1[e_2,e_3]\\ & =-{\alpha }_1{\gamma }_1{e}_2-{\alpha }_1{\gamma }_2{e}_3\end{array}$$
   であるから，基底$e_1,e_2,e_3$に関するJacobi 等式
   $$\begin{array}{r}[e_1,[e_2,e_3]]+[e_2,[e_3,e_1]]+[e_3,[e_1,e_2]]=0\end{array}$$
   を考えると，
   $$\begin{array}{rl}({\alpha }_1{\gamma }_1+{\beta }_1{\gamma }_2-{\beta }_2{\gamma }_1-{\alpha }_1{\gamma }_1)e_2+({\alpha }_2{\gamma }_1+{\beta }_2{\gamma }_2-{\beta }_2{\gamma }_2-{\alpha }_1{\gamma }_2)e_3& =0\\ ({\beta }_1{\gamma }_2-{\beta }_2{\gamma }_1)e_2+({\alpha }_2{\gamma }_1-{\alpha }_1{\gamma }_2)e_3& =0\end{array}$$
   すなわち，
   $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\beta }_1{\gamma }_2-{\beta }_2{\gamma }_1=0\\ {\alpha }_1{\gamma }_2-{\alpha }_2{\gamma }_1=0\end{array}\end{array}$$
   が成り立つ．
   　(1) $({\gamma }_1,{\gamma }_2)\ne (0,0)$のとき
   ${\beta }_1{\gamma }_2-{\beta }_2{\gamma }_1=0,{\alpha }_1{\gamma }_2-{\alpha }_2{\gamma }_1=0$より，ベクトル$[e_1,e_2],[e_1,e_3]$は$0$でないベクトル$[e_2,e_3]$に一次従属する．すなわち，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=<[e_2,e_3]>$となるが，これは$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$であることに反する．
   （２）$({\gamma }_1,{\gamma }_2)=(0,0)$のとき
   基底について
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]={\alpha }_1{e}_2+{\alpha }_2{e}_3,[e_1,e_3]={\beta }_1{e}_2+{\beta }_2{e}_3,[e_2,e_3]=0\end{array}$$
   となるので，$e_2,e_3$の基底の変換を考えればよい．
   基底の変換${\tilde{e}}_2=P_{22}{e}_2+P_{23}{e}_3,{\tilde{e}}_3=P_{32}{e}_2+P_{33}{e}_3$とおく．
   $$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1& {\beta }_1\\ {\alpha }_2& {\beta }_2\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}{P}_{22}& P_{32}\\ P_{23}& P_{33}\end{array}\right)\end{array}$$
   と書くことにすると，(行列$A,P$は正則行列である．)
   $$\begin{array}{rl}([e_1,{\tilde{e}}_2],[e_1,{\tilde{e}}_3])& =(P_{22}[e_1,e_2]+P_{23}[e_1,e_3],P_{32}[e_1,e_2]+P_{33}[e_1,e_3])\\ & =([e_1,e_2],[e_1,e_3])P\\ & =(e_2,e_3)AP\\ & =({\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3)P^{-1}AP\end{array}$$
   したがって，基底の変換$$\begin{array}{r}{\tilde{e}}_2=P_{22}{e}_2+P_{23}{e}_3,{\tilde{e}}_3=P_{32}{e}_2+P_{33}{e}_3\end{array}$$
   は正則行列$P$による行列$A$の標準化$P^{-1}AP$を与えることが分かる．
   一般に，$n$次複素正方行列は正則行列により Jordan 標準形にできるので，
   $$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)\end{array}$$
   の2通りで書ける．($\lambda \ne 0,\mu \ne 0,\left|\frac{\mu }{\lambda }\right|\le 1$)
   　(1) $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right)$のとき$$\begin{array}{r}[e_1,e_2]=\lambda e_2,[e_1,e_3]=\mu e_3\end{array}$$ここで，${\tilde{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}_1$とすれば，$$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,e_2]=e_2,[{\tilde{e}}_1,e_3]={\displaystyle \frac{\mu }{\lambda }}{e}_3\end{array}$$
   従って，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_{3,\frac{\mu }{\lambda }}(\mathbb{C})$ となることが分かる．(ただし，$|\frac{\mu }{\lambda }|\le 1$である．)
   　(2) $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$のとき
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]=\lambda e_2,[e_1,e_3]=e_2+\lambda e_3\end{array}$$である．ここで，${\tilde{e}}_1=\frac{1}{\lambda }{e}_1,{\tilde{e}}_2=\frac{1}{\lambda }{e}_2$とおけば，
   $$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}_2={\tilde{e}}_2,[{\tilde{e}}_1,e_3]={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}_2+e_3={\tilde{e}}_2+e_3\end{array}$$
   となるから，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_3(\mathbb{C})$ となる．
4. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$のとき
   $\mathfrak{g}$及び$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_1,e_2,e_3$とする．すると，
   $$\begin{array}{rl}[e_2,e_3]& =A_{11}{e}_1+A_{21}{e}_2+A_{31}{e}_3\\ [e_3,e_1]& =A_{12}{e}_1+A_{22}{e}_2+A_{32}{e}_3\\ [e_1,e_2]& =A_{13}{e}_1+A_{23}{e}_2+A_{33}{e}_3\end{array}$$
   とおける．すなわち正則行列$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right)$を用いて
   $$\begin{array}{r}([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])=(e_1,e_2,e_3)A\end{array}$$
   とする．ここで，
   $$\begin{array}{rl}[e_1,[e_2,e_3]]& =A_{21}[e_1,e_2]+A_{31}[e_1,e_3]\\ [e_2,[e_3,e_1]]& =A_{12}[e_2,e_1]+A_{32}[e_2,e_3]\\ [e_3,[e_1,e_2]]& =A_{13}[e_3,e_1]+A_{23}[e_3,e_2]\end{array}$$
   であり，Jacobi 等式$[e_1,[e_2,e_3]]+[e_2,[e_3,e_1]]+[e_2,[e_3,e_1]]=0$から
   $$\begin{array}{rl}(A_{21}-A_{12})[e_1,e_2]+(A_{31}-A_{13})[e_1,e_3]+(A_{32}-A_{23})[e_2,e_3]& =0\end{array}$$
   となる．$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$であって$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は$[e_1,e_2],[e_1,e_3],[e_2,e_3]$から生成される空間なので，一次独立であるから$A_{12}=A_{21},A_{13}=A_{31},A_{23}=A_{32}$が成り立つ．
   よって，行列$A$は対称行列となる．
   また基底の変換
   $$\begin{array}{rl}{\tilde{e}}_1& =P_{11}{e}_1+P_{21}{e}_2+P_{31}{e}_3\\ {\tilde{e}}_2& =P_{12}{e}_1+P_{22}{e}_2+P_{32}{e}_3\\ {\tilde{e}}_3& =P_{13}{e}_1+P_{23}{e}_2+P_{33}{e}_3\end{array}$$
   とすると，
   $$\begin{array}{rl}[{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3]& =[P_{12}{e}_1+P_{22}{e}_2+P_{32}{e}_3,P_{13}{e}_1+P_{23}{e}_2+P_{33}{e}_3]\\ & =(P_{22}{P}_{33}-P_{23}{P}_{32})[e_2,e_3]+(P_{32}{P}_{13}-P_{12}{P}_{33})[e_3,e_1]+(P_{12}{P}_{23}-P_{13}{P}_{22})[e_1,e_2]\\ [{\tilde{e}}_3,{\tilde{e}}_1]& =(P_{23}{P}_{31}-P_{21}{P}_{33})[e_2,e_3]+(P_{33}{P}_{11}-P_{13}{P}_{31})[e_3,e_1]+(P_{13}{P}_{21}-P_{11}{P}_{23})[e_1,e_2]\\ [{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]& =(P_{21}{P}_{32}-P_{22}{P}_{31})[e_2,e_3]+(P_{12}{P}_{31}-P_{11}{P}_{32})[e_3,e_1]+(P_{11}{P}_{22}-P_{12}{P}_{21})[e_1,e_2]\end{array}$$
   となるので$P=\left(\begin{array}{ccc}{P}_{11}& P_{12}& P_{13}\\ P_{21}& P_{22}& P_{23}\\ P_{31}& P_{32}& P_{33}\end{array}\right)$とおけば，
   $$\begin{array}{rl}([{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3],[{\tilde{e}}_3,{\tilde{e}}_1],[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2])& =([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])Q\end{array}$$
   については
   $$\begin{array}{rl}Q& =\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{P}_{22}& P_{23}\\ P_{32}& P_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{P}_{12}& P_{13}\\ P_{32}& P_{33}\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{P}_{12}& P_{13}\\ P_{22}& P_{23}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{P}_{21}& P_{23}\\ P_{31}& P_{33}\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{13}\\ P_{31}& P_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{13}\\ P_{21}& P_{23}\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}{P}_{21}& P_{22}\\ P_{31}& P_{32}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{31}& P_{32}\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)\\ & ={}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^t}}}}}}}}}}}\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{P}_{22}& P_{23}\\ P_{32}& P_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{P}_{21}& P_{23}\\ P_{31}& P_{33}\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{P}_{21}& P_{22}\\ P_{31}& P_{32}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{P}_{12}& P_{13}\\ P_{32}& P_{33}\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{13}\\ P_{31}& P_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{31}& P_{32}\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}{P}_{12}& P_{13}\\ P_{22}& P_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{13}\\ P_{21}& P_{23}\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)\\ & ={}^t\tilde{P}(\tilde{P}\text{は余因子行列})\end{array}$$
   したがって${}^t\tilde{P}=(\det {}^{t}P){}^t{P}^{-1}=(\det P){}^t{P}^{-1}$が成り立つので，
   $$\begin{array}{rl}([{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3],[{\tilde{e}}_3,{\tilde{e}}_1],[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2])& =([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2]){}^t\tilde{P}\\ & =([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])(\det P{)}^t{P}^{-1}\\ & =(e_1,e_2,e_3)A(\det P{)}^t{P}^{-1}\\ & =({\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3)P^{-1}A(\det P{)}^t{P}^{-1}\end{array}$$
   となるから，基底の変換行列$P$は正則な複素対称行列$A$に対して
   $$\begin{array}{r}(\det P)P^{-1}A{}^t{P}^{-1}\end{array}$$
   を与える．
   $\det P\in \mathbb{C}$であって$\mathbb{C}$は代数閉体なので，$\sqrt{\det P}\in \mathbb{C}$であることに注意すれば，
   $$\begin{array}{r}{\left({\displaystyle \frac{P}{\sqrt{\det P}}}\right)}^{-1}A{}^{{}^{{}^{{}^t}}}{\left({\displaystyle \frac{P}{\sqrt{\det P}}}\right)}^{-1}\end{array}$$
   という標準化となることが分かる．
   つまり，正則な複素対称行列$A$に対して，正則行列$U$による
   $$\begin{array}{r}UA{}^{t}U\end{array}$$
   という標準化を考えればよい．
   ただし，ここで正則行列$P$の存在と正則行列$U$の存在は同値である．
   実際，$U={\left({\displaystyle \frac{P}{\sqrt{\det P}}}\right)}^{-1}$なら$\sqrt{\det P}{U}^{-1}=P$ となる．
   また$\det U=(\det P{)}^{\frac{3}{2}-1}=(\det P{)}^{\frac{1}{2}}$だから，$P=(\det U)U^{-1}$ とすればよい．
   逆についてもこの議論を逆にたどればよい．
   ここで オートン・高木分解 ，特にその系1により，正則な複素対称行列$A$に対して，正則行列$U$が存在して
   $$\begin{array}{r}U{A}^{t}U=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$
   とできる．
   すなわち，基底の変換により，
   $$\begin{array}{r}[e_2,e_3]=e_1,[e_3,e_1]=e_2,[e_1,e_2]=e_3\end{array}$$
   とできる．
   さらに，基底の変換
   $$\begin{array}{r}{\tilde{e}}_1=-2i{e}_1,{\tilde{e}}_2=-i{e}_2-e_3,{\tilde{e}}_3=-i{e}_2+e_3\end{array}$$
   により，
   $$\begin{array}{rl}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]& =[-2i{e}_1,-i{e}_2-e_3]\\ & =-2[e_1,e_2]+2i[e_1,e_3]\\ & =-2e_3-2i{e}_2\\ & =2{\tilde{e}}_2\\ [{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_3]& =[-2i{e}_1,-i{e}_2+e_3]\\ & =-2[e_1,e_2]-2i[e_1,e_3]\\ & =-2{\tilde{e}}_3\\ [{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3]& =[-i{e}_2-e_3,-i{e}_2+e_3]\\ & =-2i[e_2,e_3]\\ & =-2i{e}_1\\ & ={\tilde{e}}_1\end{array}$$
   となり，$\mathfrak{g}\simeq \mathfrak{s}{l}_2(\mathbb{C})$ が分かる．

定理に現れるLie代数が互いにを同型でないことは， 随伴表現と同型の判定 で示した．
$\mathfrak{g}$の同型に関して$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$不変量なので，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0,1,2,3$で場合分けして示す．

1. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0$のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様に$\mathfrak{g}\simeq {\mathbb{R}}^3$
2. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=1$のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様に，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{n}}_3(\mathbb{R})$ または $\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_{3,0}(\mathbb{R})$ が成り立つ．
3. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$のとき
   $\mathfrak{g}$の基底を$e_1,e_2,e_3$，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_2,e_3$とする．
   $e_2,e_3$は$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底なので，実数${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2,{\gamma }_1,{\gamma }_2$を用いて
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]={\alpha }_1{e}_2+{\alpha }_2{e}_3,[e_1,e_3]={\beta }_1{e}_2+{\beta }_2{e}_3,[e_2,e_3]={\gamma }_1{e}_2+{\gamma }_2{e}_3\end{array}$$
   と書ける．
   $\mathbb{C}$のときと同様に，Jacobi 等式と$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$であることより，$({\gamma }_1,{\gamma }_2)=(0,0)$となる．
   つまり，基底について
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]={\alpha }_1{e}_2+{\alpha }_2{e}_3,[e_1,e_3]={\beta }_1{e}_2+{\beta }_2{e}_3,[e_2,e_3]=0\end{array}$$
   となるので，$e_2,e_3$の基底の変換を考えればよい．
   基底の変換${\tilde{e}}_2=P_{22}{e}_2+P_{23}{e}_3,{\tilde{e}}_3=P_{32}{e}_2+P_{33}{e}_3$とおく．
   $$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1& {\beta }_1\\ {\alpha }_2& {\beta }_2\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}{P}_{22}& P_{32}\\ P_{23}& P_{33}\end{array}\right)\end{array}$$
   と書くことにすると，(行列$A,P$は正則行列である．)
   $\mathbb{C}$のときと同様に，基底の変換は正則行列$P$による行列$A$の標準化$P^{-1}AP$を与えることが分かる．正則行列$P$による 2次実正則行列$A$の標準化 は以下の3種類に書ける．
   $$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right)\end{array}$$
   (ただし，$\lambda \ne 0,\mu \ne 0,\alpha \ne 0,\left|\frac{\mu }{\lambda }\right|\le 1,\frac{\beta }{\alpha }\ge 0$)
   　(1) $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right)$のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様にして
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]=\lambda e_2,[e_1,e_3]=\mu e_3\end{array}$$ここで，${\tilde{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}_1$とすれば，$$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,e_2]=e_2,[{\tilde{e}}_1,e_3]={\displaystyle \frac{\mu }{\lambda }}{e}_3\end{array}$$
   従って，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_{3,\frac{\mu }{\lambda }}(\mathbb{R})$ となることが分かる．(ただし，$|\frac{\mu }{\lambda }|\le 1$である．)
   　(2) $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様にして
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]=\lambda e_2,[e_1,e_3]=e_2+\lambda e_3\end{array}$$ここで，${\tilde{e}}_1=\frac{1}{\lambda }{e}_1,{\tilde{e}}_2=\frac{1}{\lambda }{e}_2$とすれば，
   $$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]=\frac{1}{{\alpha }^2}\cdot \alpha e_2={\tilde{e}}_2,[{\tilde{e}}_1,e_3]={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}_2+e_3={\tilde{e}}_2+e_3\end{array}$$
   となり，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_3(\mathbb{R})$ となる．
   　(3)$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right)$のとき
   $$\begin{array}{r}[e_1,e_2]=\alpha e_2-\beta e_3,[e_1,e_3]=\beta e_2+\alpha e_3\end{array}$$ここで，${\tilde{e}}_1=\frac{1}{\beta }{e}_1$とすれば，
   $$\begin{array}{r}[{\tilde{e}}_1,e_2]=\frac{\alpha }{\beta }{e}_2-e_3,[{\tilde{e}}_1,e_3]=e_2+\frac{\alpha }{\beta }{e}_3\end{array}$$
   となるから，$\mathfrak{g}\simeq {\mathfrak{r}}_{3,\frac{\alpha }{\beta }}^{\prime }(\mathbb{R})$ となる．(ただし，$\frac{\alpha }{\beta }\ge 0$である．)
4. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$のとき
   $\mathfrak{g}$及び$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_1,e_2,e_3$とする．正則行列$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right)$を用いて
   $$\begin{array}{r}([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])=(e_1,e_2,e_3)A\end{array}$$
   とすると，$\mathbb{C}$で示したときと同様に，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$と Jacobi 等式から行列$A$は対称行列である．
   $e_1,e_2,e_3$から${\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3$への基底の変換行列$P=\left(\begin{array}{ccc}{P}_{11}& P_{12}& P_{13}\\ P_{21}& P_{22}& P_{23}\\ P_{31}& P_{32}& P_{33}\end{array}\right)$は正則な実対称行列$A$に対して
   $$\begin{array}{r}(\det P)P^{-1}A{}^t{P}^{-1}\end{array}$$
   を与える．
   $\det P\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$であることに注意すれば，
   $$\begin{array}{r}sgn(\det P){\left({\displaystyle \frac{P}{\sqrt{|\det P|}}}\right)}^{-1}A{}^{{}^{{}^{{}^t}}}{\left({\displaystyle \frac{P}{\sqrt{|\det P|}}}\right)}^{-1}\end{array}$$
   という標準化となることが分かる．($sgn$は符号を表す．)
   つまり，正則な複素対称行列$A$に対して，正則行列$U$による
   $$\begin{array}{r}sgn(\det U)UA{}^{t}U\end{array}$$
   という標準化を考えればよい．
   ここで 実対称行列の標準化 ，特にその系3により，正則な実対称行列$A$に対して，正則行列$U$が存在して
   $$\begin{array}{r}sgn(\det U)U{A}^{t}U=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\end{array}$$
   とできる．
   　(1) $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$のとき
   　基底のブラケット積は，$$\begin{array}{r}[e_2,e_3]=e_1,[e_3,e_1]=e_2,[e_1,e_2]=e_3\end{array}$$
   　となるから，$\mathfrak{g}\simeq Al{t}_3(\mathbb{R})$ が分かる．
   　(2) $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$のとき
   　基底のブラケット積は，
   $$\begin{array}{r}[e_2,e_3]=e_1,[e_3,e_1]=e_2,[e_1,e_2]=-e_3\end{array}$$
   　となるから，基底の変換
   $$\begin{array}{r}{\tilde{e}}_1=2e_1,{\tilde{e}}_2=e_2-e_3,{\tilde{e}}_3=e_2+e_3\end{array}$$
   　により，
   $$\begin{array}{rl}[{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2]& =[2e_1,e_2-e_3]\\ & =2[e_1,e_2]-2[e_1,e_3]\\ & =2e_3-2e_2\\ & =2{\tilde{e}}_2\\ [{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_3]& =[2e_1,e_2+e_3]\\ & =2[e_1,e_2]+2[e_1,e_3]\\ & =-2e_3-2e_2\\ & =-2{\tilde{e}}_3\\ [{\tilde{e}}_2,{\tilde{e}}_3]& =[e_2-e_3,e_2+e_3]\\ & =[e_2,e_3]-[e_3,e_2]\\ & =2[e_2,e_3]\\ & =2e_1\\ & ={\tilde{e}}_1\end{array}$$
   　となり，$\mathfrak{g}\simeq \mathfrak{s}{l}_2(\mathbb{R})$ が分かる．