3次元リー代数の分類

定理に現れるLie代数が互いにを同型でないことは， 随伴表現と同型の判定 で示した．
$\mathfrak{g}$の同型に関して $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は不変量 なので，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0,1,2,3$で場合分けして示す．

1. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0$のとき
   $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の定義から，
   \begin{align*} \forall x \in \mathfrak{g}, \forall y \in {\mathfrak{g}}, [x,y] =0 \end{align*}
   となるから，$\mathfrak{g}\simeq \mathbb{C}^3$
2. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=1$のとき
   $\mathfrak{g}$の基底を$e_1,e_2,e_3$，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_2$とする．
   このとき，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=1$であることに注意すれば，いずれかは$0$でない複素数$\alpha,\beta,\gamma$を用いて
   \begin{align*} [e_1,e_2] = \alpha e_2 , \ [e_1,e_3] = \beta e_2 , \ [e_2,e_3] = \gamma e_2 \end{align*}
   と書ける．
   ここで2つの場合を考える．
   　(1) $\alpha = 0$かつ$\gamma = 0$のとき
   $\beta\neq 0$となり，$\tilde{e}_1 = \dfrac{1}{\beta}e_1,\tilde{e}_2=e_3,\tilde{e}_3=e_2$という基底の変換により，
   \begin{align*} [\tilde{e}_1,\tilde{e}_2] = \tilde{e}_3 , \ [\tilde{e}_1,\tilde{e}_3] = 0 , \ [\tilde{e}_2,\tilde{e}_3] = 0 \end{align*}
   よって，$\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{n}_3(\mathbb{C})$ が成り立つ．
   　(2) $\alpha \neq 0$または$\gamma \neq 0$のとき
   $\gamma \neq 0$のときは$\tilde{e}_1=-e_3,\tilde{e}_2=e_2,\tilde{e}_3 = -e_1$とすれば，
   \begin{align*} [\tilde{e}_1,\tilde{e}_2] = \gamma \tilde{e}_2 , \ [\tilde{e}_1,\tilde{e}_3] = \beta \tilde{e}_2 , \ [\tilde{e}_2,\tilde{e}_3] = \alpha \tilde{e}_2 \end{align*}
   となるので，$\alpha\neq 0$のときを考えれば十分である．
   $\alpha\neq0$なら，$\tilde{e}_1 = \dfrac{1}{\alpha}e_1,\ \tilde{e}_2 = e_2, \ \tilde{e}_3 = \dfrac{\gamma}{\alpha}e_1 -\dfrac{\beta}{\alpha}e_2 + e_3 $という基底の変換が考えられ，
   \begin{align*} [\tilde{e}_1,\tilde{e}_2] &= [\dfrac{1}{\alpha}e_1,e_2] \\ &= \dfrac{1}{\alpha}\cdot \alpha e_2 \\ &= \tilde{e}_2 \\ [\tilde{e}_1,\tilde{e}_3] &= [\dfrac{1}{\alpha}e_1,\dfrac{\gamma}{\alpha}e_1 -\dfrac{\beta}{\alpha}e_2 + e_3] \\ &= -\dfrac{\beta}{\alpha^2}[e_1,e_2] + \dfrac{1}{\alpha}[e_1,e_3] \\ &= -\dfrac{\beta}{\alpha} e_2 + \dfrac{\beta}{\alpha} e_2 \\ &= 0 \\ [\tilde{e}_2,\tilde{e}_3] &= [e_2,\dfrac{\gamma}{\alpha}e_1 -\dfrac{\beta}{\alpha}e_2 + e_3] \\ &= \dfrac{\gamma}{\alpha}[e_2,e_1] + [e_2, e_3] \\ &= -\gamma e_2 + \gamma e_2 \\ &=0 \end{align*}
   となるので，$\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{r}_{3,0}(\mathbb{C})$ が従う．
3. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$のとき
   $\mathfrak{g}$の基底を$e_1,e_2,e_3$，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_2,e_3$とする．
   $e_2,e_3$は$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底なので，複素数$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2$を用いて
   \begin{align*} [e_1,e_2] = \alpha_1 e_2 +\alpha_2 e_3 , \ [e_1,e_3] = \beta_1 e_2 +\beta_2 e_3 , \ [e_2,e_3] = \gamma_1 e_2 + \gamma_2 e_3 \end{align*}
   と書ける．
   ここで
   \begin{align*} [e_1,[e_2,e_3]] &=[e_1, \gamma_1 e_2 + \gamma_2 e_3]\\ &=\gamma_1[e_1,e_2] + \gamma_2[e_1,e_3]\\ &=(\alpha_1\gamma_1+\beta_1\gamma_2)e_2 + (\alpha_2\gamma_1+\beta_2\gamma_2)e_3\\ [e_2,[e_3,e_1]] &=[e_3, -\beta_1 e_2 -\beta_2 e_3]\\ &=-\beta_2[e_2,e_3]\\ &=-\beta_2\gamma_1 e_2 -\beta_2\gamma_2 e_3 \\ [e_3,[e_1,e_2]] &=[e_3, \alpha_1 e_2 +\alpha_2 e_3]\\ &=-\alpha_1[e_2,e_3]\\ &=-\alpha_1\gamma_1 e_2 -\alpha_1\gamma_2 e_3 \\ \end{align*}
   であるから，基底$e_1,e_2,e_3$に関するJacobi 等式
   \begin{align*} [e_1,[e_2,e_3]] +[e_2,[e_3,e_1]] +[e_3,[e_1,e_2]] = 0 \end{align*}
   を考えると，
   \begin{align*} (\alpha_1\gamma_1+\beta_1\gamma_2-\beta_2\gamma_1-\alpha_1\gamma_1)e_2 + (\alpha_2\gamma_1+\beta_2\gamma_2-\beta_2\gamma_2-\alpha_1\gamma_2)e_3 &= 0\\ (\beta_1\gamma_2-\beta_2\gamma_1)e_2 + (\alpha_2\gamma_1-\alpha_1\gamma_2)e_3 &= 0 \end{align*}
   すなわち，
   \begin{align*} \begin{cases} \beta_1\gamma_2-\beta_2\gamma_1=0\\ \alpha_1\gamma_2-\alpha_2\gamma_1=0 \end{cases} \end{align*}
   が成り立つ．
   　(1) $(\gamma_1,\gamma_2)\neq(0,0)$のとき
   $\beta_1\gamma_2-\beta_2\gamma_1=0,\alpha_1\gamma_2-\alpha_2\gamma_1=0$より，ベクトル$[e_1,e_2],[e_1,e_3]$は$0$でないベクトル$[e_2,e_3]$に一次従属する．すなわち，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}] = <[e_{2},e_{3}]>$となるが，これは$\dim[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$であることに反する．
   （２）$(\gamma_1,\gamma_2)=(0,0)$のとき
   基底について
   \begin{align*} [e_1,e_2] = \alpha_1 e_2 +\alpha_2 e_3 , \ [e_1,e_3] = \beta_1 e_2 +\beta_2 e_3 , \ [e_2,e_3] = 0 \end{align*}
   となるので，$e_2,e_3$の基底の変換を考えればよい．
   基底の変換$\tilde{e}_2=P_{22}e_2 + P_{23}e_3,\ \tilde{e}_3 = P_{32}e_2 + P_{33}e_3$とおく．
   \begin{align*} A=\begin{pmatrix}\alpha_{1} &\beta_{1}\\ \alpha_{2} & \beta_{2}\end{pmatrix},\ P=\begin{pmatrix}P_{22} & P_{32}\\ P_{23} & P_{33}\end{pmatrix} \end{align*}
   と書くことにすると，(行列$A,P$は正則行列である．)
   \begin{align*} ([e_{1},\tilde{e}_{2}],[e_{1},\tilde{e}_{3}]) &= (P_{22}[e_{1},e_2] + P_{23}[e_1,e_3],\ P_{32}[e_1,e_2] + P_{33}[e_1,e_3])\\ &=([e_1,e_2] ,\ [e_1,e_3])P \\ &=(e_2,e_3)AP \\ &=(\tilde{e}_{2},\tilde{e}_3)P^{-1}AP \\ \end{align*}
   したがって，基底の変換\begin{align*}\tilde{e}_2=P_{22}e_2 + P_{23}e_3,\ \tilde{e}_3 = P_{32}e_2 + P_{33}e_3\end{align*}
   は正則行列$P$による行列$A$の標準化$P^{-1}AP$を与えることが分かる．
   一般に，$n$次複素正方行列は正則行列により Jordan 標準形にできるので，
   \begin{align*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{align*}
   の2通りで書ける．($\lambda\neq0,\mu\neq0,\left|\frac{\mu}{\lambda}\right|\leq 1$)
   　(1) $ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} $のとき\begin{align*} [e_{1},e_{2}] = \lambda e_{2},\ \ [e_{1},e_{3}] = \mu e_{3}\end{align*}ここで，$\tilde{e}_{1} = \dfrac{1}{\lambda}e_1$とすれば，\begin{align*} [\tilde{e}_{1},e_{2}] = e_{2},\ \ [\tilde{e}_{1},e_{3}] = \dfrac{\mu}{\lambda} e_{3}\end{align*}
   従って，$\mathfrak{g} \simeq\mathfrak{r}_{3,\frac{\mu}{\lambda}}(\mathbb{C})$ となることが分かる．(ただし，$|\frac{\mu}{\lambda}|\leq 1 $である．)
   　(2) $ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} $のとき
   \begin{align*} [e_{1},e_{2}] = \lambda e_{2},\ \ [e_{1},e_{3}] = e_2 + \lambda e_{3}\end{align*}である．ここで，$\tilde{e}_1 =\frac{1}{\lambda}e_1,\tilde{e}_2 = \frac{1}{\lambda}e_{2} $とおけば，
   \begin{align*} [\tilde{e}_{1},\tilde{e}_{2}] = \dfrac{1}{\lambda} e_{2} =\tilde{e}_2,\ \ [\tilde{e}_{1},e_{3}] = \dfrac{1}{\lambda}e_2 + e_{3}=\tilde{e}_2 + e_3\end{align*}
   となるから，$\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{r}_{3}(\mathbb{C})$ となる．
4. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$のとき
   $\mathfrak{g}$及び$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_1,e_2,e_3$とする．すると，
   \begin{align*} [e_2,e_3] &= A_{11}e_{1} + A_{21}e_2 + A_{31}e_3 \\ [e_3,e_1] &= A_{12}e_{1} + A_{22}e_2 + A_{32}e_3 \\ [e_1,e_2] &= A_{13}e_{1} + A_{23}e_2 + A_{33}e_3 \end{align*}
   とおける．すなわち正則行列$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} $を用いて
   \begin{align*} ([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])=(e_1,e_2,e_3)A \end{align*}
   とする．ここで，
   \begin{align*} [e_1,[e_2,e_3]]&=A_{21}[e_1,e_2]+ A_{31}[e_1,e_3] \\ [e_2,[e_3,e_1]]&=A_{12}[e_2,e_1]+ A_{32}[e_2,e_3] \\ [e_3,[e_1,e_2]]&=A_{13}[e_3,e_1]+ A_{23}[e_3,e_2] \end{align*}
   であり，Jacobi 等式$[e_1,[e_2,e_3]] +[e_2,[e_3,e_1]] +[e_{2},[e_3,e_1]]= 0$から
   \begin{align*} (A_{21}-A_{12})[e_1,e_2] + (A_{31}-A_{13})[e_1,e_3] +(A_{32}-A_{23})[e_2,e_3]&=0 \end{align*}
   となる．$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$であって$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は$[e_1,e_2],[e_1,e_3],[e_2,e_3]$から生成される空間なので，一次独立であるから$A_{12}=A_{21},A_{13}=A_{31},A_{23}=A_{32}$が成り立つ．
   よって，行列$A$は対称行列となる．
   また基底の変換
   \begin{align*} \tilde{e}_1 &= P_{11}e_{1} + P_{21}e_2 + P_{31}e_3\\ \tilde{e}_2 &= P_{12}e_{1} + P_{22}e_2 + P_{32}e_3 \\ \tilde{e}_3 &= P_{13}e_{1} + P_{23}e_2 + P_{33}e_3 \end{align*}
   とすると，
   \begin{align*} [\tilde{e}_2,\tilde{e}_3] &=[P_{12}e_{1} + P_{22}e_2 + P_{32}e_3,P_{13}e_{1} + P_{23}e_2 + P_{33}e_3] \\ & = (P_{22}P_{33}-P_{23}P_{32})[e_{2},e_{3}] + (P_{32}P_{13}-P_{12}P_{33})[e_{3},e_1] +(P_{12}P_{23}-P_{13}P_{22})[e_1,e_2] \\ [\tilde{e}_3,\tilde{e}_1] &= (P_{23}P_{31}-P_{21}P_{33})[e_{2},e_{3}] + (P_{33}P_{11}-P_{13}P_{31})[e_{3},e_1] +(P_{13}P_{21}-P_{11}P_{23})[e_1,e_2] \\ [\tilde{e}_1,\tilde{e}_2] & = (P_{21}P_{32}-P_{22}P_{31})[e_{2},e_{3}] + (P_{12}P_{31}-P_{11}P_{32})[e_{3},e_1] +(P_{11}P_{22}-P_{12}P_{21})[e_1,e_2] \end{align*}
   となるので$P=\begin{pmatrix} P_{11} & P_{12} & P_{13} \\ P_{21} & P_{22} & P_{23} \\ P_{31} & P_{32} & P_{33} \end{pmatrix}$とおけば，
   \begin{align*} ([\tilde{e}_2,\tilde{e}_3],[\tilde{e}_3,\tilde{e}_1],[\tilde{e}_1,\tilde{e}_2]) & = ([e_{2},e_{3}],[e_{3},e_{1}],[e_{1},e_{2}])Q \end{align*}
   については
   \begin{align*} Q &= \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} P_{22} & P_{23}\\ P_{32} & P_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} P_{12} & P_{13}\\ P_{32} & P_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} P_{12} & P_{13} \\ P_{22} & P_{23} \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} P_{21} & P_{23}\\ P_{31} & P_{33} \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} P_{11} & P_{13}\\ P_{31} & P_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} P_{11} & P_{13}\\ P_{21}& P_{23} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} P_{21} & P_{22} \\ P_{31} & P_{32} \end{vmatrix}& -\begin{vmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{31} & P_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22} \end{vmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ &={}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{\Huge t}}}}}}}}}}}}\!\!\! \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} P_{22} & P_{23}\\ P_{32} & P_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} P_{21} & P_{23}\\ P_{31} & P_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} P_{21} & P_{22} \\ P_{31} & P_{32} \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} P_{12} & P_{13}\\ P_{32} & P_{33} \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} P_{11} & P_{13}\\ P_{31} & P_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{31} & P_{32} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} P_{12} & P_{13} \\ P_{22} & P_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} P_{11} & P_{13}\\ P_{21}& P_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22} \end{vmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ &={}^t\!\tilde{P} \ \ (\tilde{P}\text{は余因子行列}) \end{align*}
   したがって${}^t\!\tilde{P} =(\det {}^t\!P){}^t\!P^{-1}=(\det P){}^t\!P^{-1} $が成り立つので，
   \begin{align*} ([\tilde{e}_2,\tilde{e}_3],[\tilde{e}_3,\tilde{e}_1],[\tilde{e}_1,\tilde{e}_2]) & = ([e_{2},e_{3}],[e_{3},e_{1}],[e_{1},e_{2}])\ ^t\! \tilde{P} \\ & = ([e_{2},e_{3}],[e_{3},e_{1}],[e_{1},e_{2}])\ (\det P)^t\! P^{-1} \\ & = (e_{1},e_{2},e_{3})\ A(\det P)^t\! P^{-1} \\ & = (\tilde{e}_{1},\tilde{e}_{2},\tilde{e}_{3})\ P^{-1}A(\det P)^t\! P^{-1} \\ \end{align*}
   となるから，基底の変換行列$P$は正則な複素対称行列$A$に対して
   \begin{align*} (\det P )P^{-1} A \ {}^t\! P^{-1} \end{align*}
   を与える．
   $\det P \in \mathbb{C}$であって$\mathbb{C}$は代数閉体なので，$\sqrt{\det P} \in \mathbb{C}$であることに注意すれば，
   \begin{align*} \left(\dfrac{P}{\sqrt{\det P}}\right)^{-1} A \ {}^{{}^{{}^{{}^{\huge t}}}}\!\!\left(\dfrac{P}{\sqrt{\det P}}\right)^{-1} \end{align*}
   という標準化となることが分かる．
   つまり，正則な複素対称行列$A$に対して，正則行列$U$による
   \begin{align*} UA {}^tU \end{align*}
   という標準化を考えればよい．
   ただし，ここで正則行列$P$の存在と正則行列$U$の存在は同値である．
   実際，$U=\left(\dfrac{P}{\sqrt{\det P}}\right)^{-1}$なら$\sqrt{\det P}\ U^{-1}=P$ となる．
   また$\det U = (\det P)^{\frac{3}{2}-\small{1}}= (\det P)^{\frac{1}{2}}$だから，$P = (\det U)\ U^{-1}$ とすればよい．
   逆についてもこの議論を逆にたどればよい．
   ここで オートン・高木分解 ，特にそのcor1により，正則な複素対称行列$A$に対して，正則行列$U$が存在して
   \begin{align*} UA^tU = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}
   とできる．
   すなわち，基底の変換により，
   \begin{align*}[e_2,e_3] = e_1 , [e_3,e_1] = e_2,[e_1,e_2] = e_3 \end{align*}
   とできる．
   さらに，基底の変換
   \begin{align*} \tilde{e}_1 = -2 ie_{1} ,\ \tilde{e}_2 = -ie_2 - e_3 ,\ \tilde{e}_3 = -ie_2 + e_3 \end{align*}
   により，
   \begin{align*} [\tilde{e}_1,\tilde{e}_2] &=[-2ie_1, -ie_2 - e_3]\\ &=-2[e_1, e_2] + 2i [e_1, e_3] \\ &=-2e_3 - 2i e_2 \\ &=2\tilde{e}_{2} \\ [\tilde{e}_1,\tilde{e}_3] & = [-2ie_1, -ie_2 + e_3] \\ & = -2[e_1,e_2] -2i[e_1, e_3] \\ &=-2\tilde{e}_{3} \\ [\tilde{e}_2,\tilde{e}_3] &=[-ie_2 - e_3,-ie_2 + e_3 ] \\ &=-2i[e_2,e_3] \\ &=-2ie_1 \\ &=\tilde{e}_1 \end{align*}
   となり，$ \mathfrak{g} \simeq \mathfrak{s}l_2(\mathbb{C})$ が分かる．

定理に現れるLie代数が互いにを同型でないことは， 随伴表現と同型の判定 で示した．
$\mathfrak{g}$の同型に関して$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$不変量なので，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0,1,2,3$で場合分けして示す．

1. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0$のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様に$\mathfrak{g}\simeq \mathbb{R}^3$
2. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=1$のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様に，$\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{n}_3(\mathbb{R})$ または $\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{r}_{3,0}(\mathbb{R})$ が成り立つ．
3. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$のとき
   $\mathfrak{g}$の基底を$e_1,e_2,e_3$，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_2,e_3$とする．
   $e_2,e_3$は$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底なので，実数$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2$を用いて
   \begin{align*} [e_1,e_2] = \alpha_1 e_2 +\alpha_2 e_3 , \ [e_1,e_3] = \beta_1 e_2 +\beta_2 e_3 , \ [e_2,e_3] = \gamma_1 e_2 + \gamma_2 e_3 \end{align*}
   と書ける．
   $\mathbb{C}$のときと同様に，Jacobi 等式と$\dim[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=2$であることより，$(\gamma_1,\gamma_2)=(0,0)$となる．
   つまり，基底について
   \begin{align*} [e_1,e_2] = \alpha_1 e_2 +\alpha_2 e_3 , \ [e_1,e_3] = \beta_1 e_2 +\beta_2 e_3 , \ [e_2,e_3] = 0 \end{align*}
   となるので，$e_2,e_3$の基底の変換を考えればよい．
   基底の変換$\tilde{e}_2=P_{22}e_2 + P_{23}e_3,\ \tilde{e}_3 = P_{32}e_2 + P_{33}e_3$とおく．
   \begin{align*} A=\begin{pmatrix}\alpha_{1} &\beta_{1}\\ \alpha_{2} & \beta_{2}\end{pmatrix},\ P=\begin{pmatrix}P_{22} & P_{32}\\ P_{23} & P_{33}\end{pmatrix} \end{align*}
   と書くことにすると，(行列$A,P$は正則行列である．)
   $\mathbb{C}$のときと同様に，基底の変換は正則行列$P$による行列$A$の標準化$P^{-1}AP$を与えることが分かる．正則行列$P$による 2次実正則行列$A$の標準化 は以下の3種類に書ける．
   \begin{align*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} \end{align*}
   (ただし，$\lambda\neq0, \mu\neq0, \alpha\neq 0,\left|\frac{\mu}{\lambda}\right|\leq 1, \frac{\beta}{\alpha}\geq 0$)
   　(1) $ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} $のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様にして
   \begin{align*} [e_{1},e_{2}] = \lambda e_{2},\ \ [e_{1},e_{3}] = \mu e_{3}\end{align*}ここで，$\tilde{e}_{1} = \dfrac{1}{\lambda}e_1$とすれば，\begin{align*} [\tilde{e}_{1},e_{2}] = e_{2},\ \ [\tilde{e}_{1},e_{3}] = \dfrac{\mu}{\lambda} e_{3}\end{align*}
   従って，$\mathfrak{g} \simeq\mathfrak{r}_{3,\frac{\mu}{\lambda}}(\mathbb{R})$ となることが分かる．(ただし，$|\frac{\mu}{\lambda}|\leq 1 $である．)
   　(2) $ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} $のとき
   $\mathbb{C}$のときと同様にして
   \begin{align*} [e_{1},e_{2}] = \lambda e_{2},\ \ [e_{1},e_{3}] = e_{2} +\lambda e_{3} \end{align*}ここで，$\tilde{e}_{1}= \frac{1}{\lambda}e_1,\tilde{e}_{2}= \frac{1}{\lambda}e_2$とすれば，
   \begin{align*} [\tilde{e}_{1},\tilde{e}_{2}] = \frac{1}{\alpha^{2}}\cdot\alpha e_{2} =\tilde{e}_2,\ \ [\tilde{e}_{1},e_{3}] = \dfrac{1}{\lambda} e_{2}+e_{3}=\tilde{e}_2 + e_3\end{align*}
   となり，$\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{r}_{3}(\mathbb{R})$ となる．
   　(3)$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} $のとき
   \begin{align*} [e_{1},e_{2}] = \alpha e_{2}-\beta e_{3} ,\ \ [e_{1},e_{3}] =\beta e_{2} +\alpha e_{3} \end{align*}ここで，$\tilde{e}_{1}= \frac{1}{\beta}e_1 $とすれば，
   \begin{align*} [\tilde{e}_{1},e_{2}] =\frac{\alpha}{\beta} e_{2}- e_{3},\ \ [\tilde{e}_{1},e_{3}] = e_{2} +\frac{\alpha}{\beta} e_{3} \end{align*}
   となるから，$\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{r}^{\prime}_{3,\frac{\alpha}{\beta}}(\mathbb{R})$ となる．(ただし，$\frac{\alpha}{\beta}\geq 0 $である．)
4. $\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$のとき
   $\mathfrak{g}$及び$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の基底を$e_1,e_2,e_3$とする．正則行列$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} $を用いて
   \begin{align*} ([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])=(e_1,e_2,e_3)A \end{align*}
   とすると，$\mathbb{C}$で示したときと同様に，$\dim [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=3$と Jacobi 等式から行列$A$は対称行列である．
   $e_1,e_2,e_3$から$\tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3 $への基底の変換行列$P = \begin{pmatrix} P_{11} & P_{12} & P_{13} \\ P_{21} & P_{22} & P_{23} \\ P_{31} & P_{32} & P_{33} \end{pmatrix}$は正則な実対称行列$A$に対して
   \begin{align*} (\det P )P^{-1} A \ {}^t\! P^{-1} \end{align*}
   を与える．
   $\det P \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$であることに注意すれば，
   \begin{align*} sgn(\det P)\left(\dfrac{P}{\sqrt{|\det P|}}\right)^{-1} A \ {}^{{}^{{}^{{}^{\huge t}}}}\!\!\left(\dfrac{P}{\sqrt{|\det P|}}\right)^{-1} \end{align*}
   という標準化となることが分かる．($sgn$は符号を表す．)
   つまり，正則な複素対称行列$A$に対して，正則行列$U$による
   \begin{align*} sgn(\det U)UA {}^tU \end{align*}
   という標準化を考えればよい．
   ここで 実対称行列の標準化 ，特にそのcor3により，正則な実対称行列$A$に対して，正則行列$U$が存在して
   \begin{align*} sgn(\det U)UA^tU = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*}
   とできる．
   　(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$のとき
   　基底のブラケット積は，\begin{align*}[e_2,e_3] = e_1 , \ [e_3,e_1] = e_2,\ [e_1,e_2] = e_3 \end{align*}
   　となるから，$ \mathfrak{g} \simeq Alt_3(\mathbb{R})$ が分かる．
   　(2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$のとき
   　基底のブラケット積は，
   \begin{align*}[e_2,e_3] = e_1 ,\ [e_3,e_1] = e_2,\ [e_1,e_2] = -e_3 \end{align*}
   　となるから，基底の変換
   \begin{align*} \tilde{e}_1 = 2 e_{1} ,\ \tilde{e}_2 = e_2 - e_3 ,\ \tilde{e}_3 = e_2 + e_3 \end{align*}
   　により，
   \begin{align*} [\tilde{e}_1,\tilde{e}_2] &=[2e_1,\ e_2 - e_3]\\ &=2[e_1, e_2] - 2 [e_1, e_3] \\ &=2e_3 - 2 e_2 \\ &=2\tilde{e}_{2} \\ [\tilde{e}_1,\tilde{e}_3] & = [2e_1, e_2 + e_3] \\ & = 2[e_1,e_2] +2[e_1, e_3] \\ &=-2e_3 - 2 e_2 \\ &=-2\tilde{e}_{3} \\ [\tilde{e}_2,\tilde{e}_3] &=[e_2 - e_3,e_2 + e_3 ] \\ &=[e_2,e_3] -[e_3,e_2] \\ &=2[e_2,e_3] \\ &=2e_1 \\ &=\tilde{e}_1 \end{align*}
   　となり，$ \mathfrak{g} \simeq \mathfrak{s}l_2(\mathbb{R})$ が分かる．