3次元リー代数の分類のための準備

同型写像$f:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}^{\prime}$を取る．すると，
\begin{align*} f([\mathfrak{g} , \mathfrak{g} ] )=[f(\mathfrak{g}) , f(\mathfrak{g}) ]=[\mathfrak{g}^{\prime},\mathfrak{g}^{\prime}] \end{align*}
が成り立つ．$f$が同型写像であるから，
\begin{align*} \dim[\mathfrak{g} , \mathfrak{g} ] =\dim[\mathfrak{g}^{\prime} , \mathfrak{g}^{\prime} ] \end{align*}
となる．

省略(線形代数の一般的な教科書に載っている)

$B=A^{*}A$とおく．$B$はエルミートかつ半正定値である．
実際，
\begin{align*} B^{*} = {}^{t}\!\bar{B} ={}^{t}\overline{(A^{*}A)}=A^{*}A=B \end{align*}
なので，エルミートであって，$x\in\mathbb{C}^{n}\setminus\!\{0\}$に対し、
\begin{align*} \left< Bx,x\right> &= \left< A^{*}Ax,x\right>\\ &=\left(A^{*}Ax\right)^{*}x\\ &=x^{*}A^{*}Ax\\ &=(Ax)^{*}Ax\\ &=\|Ax\|^2 \ \ \geq 0 \end{align*}
となるので，$B$は半正定値．
一般に半正定値エルミート行列の固有値はすべて$0$以上の実数となるので，$B$の固有値は$0$以上の実数である．
ここで，$B$は特に正規行列でもあるので，ユニタリ行列$U_{0}$が存在して，
\begin{align*} U_{0}^{*}BU_{0} = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \text{\huge{0}} \\ & \ddots \\ \text{\huge{0}}& & \lambda_{n} \end{pmatrix} \end{align*}
と対角化できる．ここで，$\lambda_{i}\geq0\ (1\leq i\leq n)$である．（特に実数であることに注意）
また，$C={}^{t}U_{0}AU_{0}$とおけば，${}^{t}C = {}^{t}({}^{t}U_{0}AU_{0})={}^{t}U_{0}{}^{t}\!AU_{0} ={}^{t}U_{0}AU_{0}=C $となるので対称行列である．
さらに，$C^{*}C$は実数行列となる．実際，
\begin{align*} C^{*}C &=({}^{t}U_{0}AU_{0})^{*}{}^{t}U_{0}AU_{0}\\ &=U_{0}^{*}A^{*}{}^{t}U_{0}^{*}{}^{t}U_{0}AU_{0}\\ &=U_{0}^{*}A^{*}AU_{0} \ \ (\because U_{0}\text{はユニタリ行列})\\ &=U_{0}^{*}BU_{0} \\ &=diag(\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}) \end{align*}となっている．
ここで，$C=X+Yi$$(X,Y:\text{実対称行列})$とおくと，
\begin{align*} C^{*}C = (X-iY)(X+Yi) = X^{2} + Y^{2} + (XY-YX)i \end{align*}
となるので，$C^{*}C$は実行列であったから，$XY=YX$がわかる．
よって，対称行列$X,Y$は直交行列$U_{1}$で同時対角化可能である．すなわち，直交行列$U_1$が存在して，
\begin{align*} U_{1}X{}^tU_{1} =diag(x_1,\cdots,x_n),\ \ U_{1}Y{}^tU_{1} =diag(y_1,\cdots,y_n) \end{align*}
と対角化できる．
そこで，$U_{2} = U_{1}{}^{t}U_{0}$とすると，
\begin{align*} U_{2}A{}^tU_{2} &=(U_{1}{}^{t}U_{0})A{}^{t}(U_{1}{}^{t}U_{0})\\ &=U_{1}({}^{t}U_{0}AU_{0}){}^{t}U_{1}\\ &=U_{1}C{}^{t}U_{1}\\ &=U_{1}X{}^{t}U_{1} +U_{1}Y{}^{t}U_{1} i \\ &=diag(x_1+y_1i,\cdots,x_n+y_{n}i) \end{align*}
さらに，$x_{k}+y_{k}i =r_{k}e^{i\theta_{k}}(r_{k}>0,\theta_{k}\in\mathbb{R})$とおき，$D=diag(e^{-\frac{i\theta_{1}}{2}},\cdots,e^{-\frac{i\theta_{n}}{2}})$とする．$U=DU_{2}$とおく．
\begin{align*} UA{}^tU &=(DU_{2})A{}^{t}(DU_{2})\\ &=D({}^{t}U_{2}AU_{2}){}^{t}D\\ &=D\ diag(r_{1}e^{i\theta_{1}},\cdots,r_{n}e^{i\theta_{n}}){}^{t}D \\ &=diag(r_{1},\cdots,r_{n}) \end{align*}
となり，ユニタリ行列$U$により$A$は対角化できた．
念のため，$U$がユニタリ行列であることを確認しておく．
\begin{align*} U^{*}U &= (DU_{2})^{*} DU_{2}\\ &= U_{2}^{*}D^{*} DU_{2}\\ &= U_{2}^{*}U_{2}\\ &=(U_{1}{}^{t}U_{0})^{*} (U_{1}{}^{t}U_{0})\\ &={}^{t}U_{0}^{*}U_{1}^{*} U_{1}{}^{t}U_{0} \\ &={}^{t}U_{0}^{*}U_{1}^{*} U_{1}{}^{t}U_{0} \\ &={}^{t}U_{0}^{*}U_{0}\\ &=E \end{align*}

上記の定理(オートン・高木分解)により，複素対称行列$A$に対し，ユニタリ行列$U^{\prime}$が存在して
\begin{align*} U^{\prime}A ^tU^{\prime} = \begin{pmatrix} a_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & a_{2} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & a_{n} \\ \end{pmatrix} \end{align*}
となるようにできる．ここで，$A$は正則行列なので，$a_{i}> 0 \ (1 \leq i \leq n)$である．
今，$\Lambda = diag(\sqrt{a_{1}}^{-1},\cdots,\sqrt{a_{n}}^{-1})$とおき，$U=\Lambda U^{\prime}$とすれば，
\begin{align*} UA{}^{t}U &=\Lambda \begin{pmatrix} a_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & a_{2} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & a_{n} \\ \end{pmatrix}{}^{t}\Lambda\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 1 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}

固有値が実数のとき，Jordan標準形にできることは省略．
固有値が虚数のとき，その固有値のひとつを$\lambda = \alpha+\beta i \ (\alpha,\beta \in\mathbb{R},\beta\neq0)$とおくと，ある$x\in\mathbb{C}^{2}\setminus\!\{0\}$を用いて
\begin{align*} Ax = \lambda x \end{align*}
とかけ，両辺の複素共役をとれば，
\begin{align*} A\bar{x} = \bar{\lambda} \bar{x} \end{align*}
が成り立つので，$\bar{\lambda}$も$A$の固有値である．($\bar{x}$は各成分で複素共役を取るという意味である．)
ここで，
\begin{align*} A\dfrac{x+\bar{x}}{2} &= \dfrac{\lambda x+\bar{\lambda} \bar{x}}{2}\\ &=\dfrac{\lambda +\bar{\lambda} }{2}\dfrac{x+ \bar{x}}{2} -\dfrac{\lambda -\bar{\lambda} }{2i}\dfrac{ x- \bar{x}}{2i}\\ &=\alpha\dfrac{x+ \bar{x}}{2}-\beta \dfrac{x- \bar{x}}{2i}\\ A\dfrac{x-\bar{x}}{2i} &= \dfrac{\lambda x-\bar{\lambda} \bar{x}}{2i}\\ &=\dfrac{\lambda -\bar{\lambda} }{2i}\dfrac{x+ \bar{x}}{2} +\dfrac{\lambda +\bar{\lambda} }{2}\dfrac{ x- \bar{x}}{2i}\\ &=\beta \dfrac{x+ \bar{x}}{2}+\alpha \dfrac{x- \bar{x}}{2i} \end{align*}
が成り立つ．
\begin{align*} Re(x)=\dfrac{x+ \bar{x}}{2},Im(x)=\dfrac{x- \bar{x}}{2i}, P= \begin{pmatrix} Re(x)& Im(x) \end{pmatrix} \end{align*}
とおけば，
\begin{align*} AP &=\begin{pmatrix} ARe(x)& AIm(x) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \alpha Re(x)-\beta Im(x) & \alpha Re(x)+\beta Im(x) \end{pmatrix}\\ &=P \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} \end{align*}
となる．今，$x$と$\bar{x}$は一次独立であるから，$Re(x)$と$Im(x)$は一次独立であって，$P$は正則行列となる．
したがって，
\begin{align*} P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} \end{align*}
が成り立つ．
以下で，$x$と$\bar{x}$が一次独立となることを補足しておく．
$x$が$\lambda$に対応する固有空間の元であって，$x=c\bar{x}$と仮定すると，$x$は$\bar{\lambda}$に対応する固有空間の元となる．すると，$x=0$となるが，今$x$は固有ベクトルなので$x\neq0$である．よって，$x$と$\bar{x}$が一次独立となる．

省略（気が向けば加筆する）
$P$を構成するときに，第$1$列目のベクトル$p_1$を$-p_1$に置き換えることで$det P$の符号を自由に取り換えることができる．

定理より，$n$次実対称行列$A$に対し，直交行列$P_{0}$で
\begin{align*} PA{}^t\!P=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix} \end{align*}
となるものが存在する．直交行列$P_{0}$をうまく選ぶことで，対角成分を正，負，$0$の順に並び替えることができる．
実際，$1$行目と$2$行目を入れ替えるときは，\begin{align*} Q_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 0 &1& \cdots&0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots&\vdots \\ 0 & 0 &\cdots &0 &1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}
とおけば，
\begin{align*} Q_{12} \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix} {}^{t}Q_{12}=\begin{pmatrix} \lambda_{2} & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{1} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix} \end{align*}
となる．このように単位行列の$i$行目と$j$行目を入れ替えた行列を必要に応じて掛ければよい．
対角成分を正，負，$0$の順に並び替えたとする．
$\Lambda =diag(\sqrt{|\lambda_{1}|}^{-1},\cdots,\sqrt{|\lambda_{k+l}|}^{-1},1,\cdots,1),\ P=\Lambda P_{0}$とおけば，
\begin{align*} PA{}^t\!P =\begin{pmatrix} I_{k} & &{\large O} \\ & -I_{l} & \\ {\large O} & & O_{m} \\ \end{pmatrix}\ \ \text{($I_k,I_{l}:$単位行列)} \end{align*}
となる．

$A$は正則行列なので，固有値に$0$を持たないことに注意すれば，系より，
正則行列$P$で
\begin{align*} PA{}^t\!P =\begin{pmatrix} I_{k} & {\large O} \\ {\large O} & -I_{l} \\ \end{pmatrix}\ \ \text{($I_k,I_{l}:$単位行列)} \end{align*}
となるものが存在する．(ただし， $k+l =n$ である．)
もし$k< l$であれば，$det P<0$として，$P$を選べば，$k\geq l$とできる．