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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2011B07)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2011B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2011B07
$S^3$を$3$次元球面、$M$を$2$次元多様体とし、$y_0$を$M$上の点とする。$C^\infty$写像$F:S^3\times \mathbb{R}\to M$を$F(S^3\times\{0\})=\{y_0\}$を満たすものとする。また$C^\infty$写像
$$
\begin{array}{cccc}
g:&S^3&\to&S^3\times\mathbb{R}\\
&x&\mapsto &(x,1)
\end{array}
$$
をとり、$f:=F\circ g:S^3\to M$とおく。$\alpha$を$M$上の$2$形式、$\beta$を$S^3$上の$1$形式で、$d\beta=f^\ast\alpha$を満たすようなものとする。以下の問いに解答しなさい。
- $S^3\times\mathbb{R}$上の$1$形式$\widetilde{\beta}$で$d\widetilde{\beta}=F^\ast\alpha$かつ$g^\ast\widetilde{\beta}=\beta$を満たすものが存在することを示しなさい。
- $\widetilde{\beta}\wedge F^\ast\alpha$が閉形式であることを示しなさい。
- 等式
$$ \int_{S^3}\beta\wedge f^\ast\alpha=0 $$
を示しなさい。
但し解答を書くに当たって、$S^3\times\mathbb{R}$のドラムコホモロジー群が
$$
H_{\mathrm{dR}}^i(S^3\times\mathbb{R})=\begin{cases}
\mathbb{R}&(i=0,3)\\
0&(\textsf{othewise})
\end{cases}
$$
であることは証明なしに用いて良い。
- まず$dF^\ast\alpha=F^\ast d\alpha=0$なので、$H^2(S^3\times\mathbb{R})=0$であることとドラムコホモロジーの定義より、$d\gamma=F^\ast\alpha$なる$S^3\times\mathbb{R}$上の$1$形式$\gamma$が存在する。$p:S^3\times\mathbb{R}\to S^3$を射影とする。このとき$\widetilde{\beta}$を
$$ \tilde{\beta}:=p^\ast(\beta-g^\ast\gamma)+\gamma $$
と定める。このとき
$$ \begin{split} d\widetilde{\beta}&=p^\ast f^\ast\beta-p^\ast g^\ast F^\ast\alpha+F^\ast\alpha\\ &=p^\ast g^\ast F^\ast\alpha-p^\ast g^\ast F^\ast\alpha+F^\ast\alpha\\ &=F^\ast\alpha \end{split} $$
$$ \begin{split} g^\ast\widetilde{\beta}&=g^\ast p^\ast\beta-g^\ast p^\ast g^\ast\gamma+g^\ast\gamma\\ &=(p\circ g)^\ast\beta-(p\circ g)^\ast g^\ast\gamma+g^\ast\gamma\\ &=\beta \end{split} $$
である。よって所望の$\widetilde{\beta}$が得られた。 - 実際に計算してみると(1)から
$$ \begin{split} d(\widetilde{\beta}\wedge F^\ast\alpha)&=d(\widetilde{\beta}\wedge d\widetilde{\beta}) \\ &=d\widetilde{\beta}\wedge d\widetilde{\beta}&=0\\ \end{split} $$
であるから、結果が従う。 - 実際
$$ \begin{split} \int_{S^3}\beta\wedge f^\ast\alpha&=\int_{S^3}g^\ast\widetilde{\beta}\wedge g^\ast F^\ast\alpha\\ &=\int_{S^3}g^\ast(\widetilde{\beta}\wedge F^\ast\alpha)\\ &=\int_{S^3\times\{1\}}\widetilde{\beta}\wedge F^\ast\alpha\\ &=\int_{\partial(S^3\times[0,1])}\widetilde{\beta}\wedge F^\ast\alpha\\ &=\int_{S^3\times[0,1]}d(\widetilde{\beta}\wedge F^\ast\alpha)&=0\\ \end{split} $$
であるから、所望の結果が示せた。但し$4$つ目の等号は$F(S^3\times\{0\})=\{pt\}$であること、最後の等号は(2)を用いている。
投稿日：7月4日
更新日：7月5日
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