指数に行列を含んだ積分

指数に行列を含んだ積分

行列が指数に来る冪乗の動画はヨビノリさんも出してますが、「積分の問題であんまり見ないな〜」ってことで布教も兼ねてこの記事を書きました。

う～ん、めんどくさそう。
正直、今回の問題は解答に出てくる途中式がキレイになるくらいで、他の計算は面倒です。それでも解いてみたい方はぜひどうぞ。

※解答のセクションに入るので、自力で解きたい方はスクロールしないでください。

解説

冪乗の処理

$e^x$のマクローリン展開より
$$e^x=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{x}^n$$
$x$に行列$F$を代入して
$$e^F=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{F}^n=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{\left(\begin{array}{cc}4x+a& 5x+a-1\\ -3x-a+1& -4x-a+2\end{array}\right)}^n\cdots \cdots (1)$$

$F^n$を求める

$F^n$を計算していきます。

二次単位行列を$E:=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする。

これを使います。

スカラー$\lambda$を用いて
$$\det (F-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}4x+a-\lambda & 5x+a-1\\ -3x-a+1& -4x-a+2-\lambda \end{array}\right|$$
$$=(4x+a-\lambda )(-4x-a+2-\lambda )-(5x+a-1)(-3x-a+1)$$
$$={\lambda }^2-2\lambda -x^2+1\cdots \cdots (2)$$

二次方程式 $t^2-2t-x^2+1=0\iff t=1\pm x$より
$$t^n=(t^2-2t-x^2+1)P(t)+C_{1}t+C_2\cdots \cdots (3)$$

$t=1\pm x$をそれぞれ代入すると

$$\{\begin{array}{c}(1+x{)}^n=(1+x)C_1+C_2\\ (1-x{)}^n=(1-x)C_1+C_2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{C}_1={\displaystyle \frac{(1+x{)}^n-(1-x{)}^n}{2x}}\\ C_2={\displaystyle \frac{(1+x)(1-x{)}^n-(1-x)(1+x{)}^n}{2x}}\end{array}$$
$a_n=(1+x{)}^n,b_n=(1-x{)}^n$とすると
$C_1={\displaystyle \frac{1}{2x}}(a_n-b_n),C_2={\displaystyle \frac{1+x}{2x}}{b}_n-{\displaystyle \frac{1-x}{2x}}{a}_n\cdots \cdots (4)$と表せる。

ケイリー・ハミルトンの定理より $(2)$の式の$\lambda$を$F$に置き換えて
$F^2-2F-(x^2+1)E=O$である。
また$(3),(4)$より

$$F^n=C_{1}F+C_{2}E$$
$$={\displaystyle \frac{1}{2x}}(a_n-b_n)F+({\displaystyle \frac{1+x}{2x}}{b}_n-{\displaystyle \frac{1-x}{2x}}{a}_n)E$$
$$={\displaystyle \frac{F-(1-x)E}{2x}}{a}_n-{\displaystyle \frac{F-(1+x)E}{2x}}{b}_n$$

$e^F$を求める

(1)より
$$e^F=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{F}^n$$
$$={\displaystyle \frac{F-(1-x)E}{2x}}\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{a}_n-{\displaystyle \frac{F-(1+x)E}{2x}}\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{b}_n$$

$a_n=(1+x{)}^n,b_n=(1-x{)}^n$より
$$\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{a}_n=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}(1+x{)}^n=e^{1+x}$$
$$\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{b}_n=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}(1-x{)}^n=e^{1-x}$$
だから
$$e^F={\displaystyle \frac{F-(1-x)E}{2x}}{e}^{1+x}-{\displaystyle \frac{F-(1+x)E}{2x}}{e}^{1-x}={\displaystyle \frac{e}{2x}}[\{F-(1-x)E\}{e}^x-\{F-(1+x)E\}{e}^{-x}]$$
$$e^F={\displaystyle \frac{e}{2x}}\left(\begin{array}{cc}(5x+a-1)e^x-(3x+a-1)e^{-x}& (5x+a-1)(e^x-e^{-x})\\ -(3x+a-1)(e^x-e^{-x})& -(3x+a-1)e^x+(5x+a-1)e^{-x}\end{array}\right)$$

Iを計算する

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^m{e}^{-2x+F}dx$$
$$={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^m{e}^{-2x}\cdot {\displaystyle \frac{e}{2x}}\left(\begin{array}{cc}(5x+a-1)e^x-(3x+a-1)e^{-x}& (5x+a-1)(e^x-e^{-x})\\ -(3x+a-1)(e^x-e^{-x})& -(3x+a-1)e^x+(5x+a-1)e^{-x}\end{array}\right)dx$$
$$={\displaystyle \frac{e}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{m-1}\left(\begin{array}{cc}(5x+a-1)e^{-x}-(3x+a-1)e^{-3x}& (5x+a-1)(e^{-x}-e^{-3x})\\ -(3x+a-1)(e^{-x}-e^{-3x})& -(3x+a-1)e^{-x}+(5x+a-1)e^{-3x}\end{array}\right)dx$$

ここで次の積分を解きます。
$\{a,b\}\in \mathbb{Z},a\ge 0,b\ge 1$のとき
$$J(a,b)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^a{e}^{-bx}dx$$
$$J(a,b)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{t}{b}}\right)}^a{e}^{-t}{\displaystyle \frac{dt}{b}}={\displaystyle \frac{1}{b^{a+1}}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^a{e}^{-t}dt$$
$$J(a,b)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{b^{a+1}}}={\displaystyle \frac{a!}{b^{a+1}}}$$

$$I={\displaystyle \frac{e}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{m-1}\left(\begin{array}{cc}(5x+a-1)e^{-x}-(3x+a-1)e^{-3x}& (5x+a-1)(e^{-x}-e^{-3x})\\ -(3x+a-1)(e^{-x}-e^{-3x})& -(3x+a-1)e^{-x}+(5x+a-1)e^{-3x}\end{array}\right)dx$$
積分を行列の中に分配して、これを$J$でそれぞれ表す
$$I={\displaystyle \frac{e}{2}}\left(\begin{array}{cc}{I}_{11}& I_{12}\\ I_{21}& I_{22}\end{array}\right)$$
とすると
$$I_{11}=5J(m,1)+(a-1)J(m-1,1)-3J(m,3)-(a-1)J(m-1,3)$$
$$I_{12}=5J(m,1)+(a-1)J(m-1,1)-5J(m,3)-(a-1)J(m-1,3)$$
$$I_{21}=-3J(m,1)-(a-1)J(m-1,1)+3J(m,3)+(a-1)J(m-1,3)$$
$$I_{22}=-3J(m,1)-(a-1)J(m-1,1)+5J(m,3)+(a-1)J(m-1,3)$$
ここで$J(m,1),J(m-1,1),J(m,3),J(m-1,3)$の値はそれぞれ
$$J(m,1)=m!,J(m-1,1)=(m-1)!,J(m,3)={\displaystyle \frac{m!}{3^{m+1}}},J(m-1,3)={\displaystyle \frac{(m-1)!}{3^m}}$$
となり、これを代入して
$$I_{11}=5m!+(a-1)(m-1)!-{\displaystyle \frac{m!}{3^m}}-{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}$$
$$I_{12}=5m!+(a-1)(m-1)!-{\displaystyle \frac{5m!}{3^{m+1}}}-{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}$$
$$I_{21}=-3m!-(a-1)(m-1)!+{\displaystyle \frac{m!}{3^m}}+{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}$$
$$I_{22}=-3m!-(a-1)(m-1)!+{\displaystyle \frac{5m!}{3^{m+1}}}+{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}$$

元の$I$に代入して、式を整理すると
$$I={\displaystyle \frac{e}{2}}\left(\begin{array}{cc}5m!+(a-1)(m-1)!-{\displaystyle \frac{m!}{3^m}}-{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}& 5m!+(a-1)(m-1)!-{\displaystyle \frac{5m!}{3^{m+1}}}-{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}\\ -3m!-(a-1)(m-1)!+{\displaystyle \frac{m!}{3^m}}+{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}& -3m!-(a-1)(m-1)!+{\displaystyle \frac{5m!}{3^{m+1}}}+{\displaystyle \frac{(a-1)(m-1)!}{3^m}}\end{array}\right)$$
$$I={\displaystyle \frac{e(m-1)!}{2}}\left(\begin{array}{cc}(5-{\displaystyle \frac{1}{3^m}})m+(a-1)(1-{\displaystyle \frac{1}{3^m}})& (5-{\displaystyle \frac{5}{3^{m+1}}})m+(a-1)(1-{\displaystyle \frac{1}{3^m}})\\ (-3+{\displaystyle \frac{1}{3^m}})m-(a-1)(1-{\displaystyle \frac{1}{3^m}})& (-3+{\displaystyle \frac{5}{3^{m+1}}})m-(a-1)(1-{\displaystyle \frac{1}{3^m}})\end{array}\right)$$
$$I={\displaystyle \frac{e(m-1)!}{2\cdot 3^{m+1}}}\left(\begin{array}{cc}3(5\cdot 3^m-1)m+3(a-1)(3^m-1)& 5(3^{m+1}-1)m+3(a-1)(3^m-1)\\ 3(-3^{m+1}+1)m-3(a-1)(3^m-1)& (-3^{m+2}+5)m-3(a-1)(3^m-1)\end{array}\right)$$

計算が思ったよりも重くてちゃんとした検算ができてませんので、あとの検算は後世の人に託します。