モジュラー方程式とSingular Moduli

はじめに

　この記事では
$$j\l(\frac{1+\sqrt{-7}}2\r)=-15^3,\quad\la(\sqrt{-7})=\frac{8-3\sqrt7}{16}$$
といった値や
$$\ssum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+3n^2}=-\frac{4\pi}{3\sqrt3}\log2,\quad \ssum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+7n^2}=-\frac{2\pi}{\sqrt{7}}\log2$$
といった興味深い公式が得られる背景にあるモジュラー方程式やLattice Sumについての理論を紹介していきます。
　ただ今回の記事はいつもとは違い、予め書いておいたPDFを配布する形となります。
　そのリンクはこちら$\to$ moduar equation.pdf

　ここではそのpdfで紹介したsingular moduliの一覧を置いておくだけにとどめておきます。

Ramanujanの$G$-関数

\begin{align*} G_1&=1\\ G_2^8&=\frac{\sqrt2+1}2\\ G_3&=2^{\frac1{12}}\\ G_5^4&=\frac{\sqrt5+1}2\\ G_7&=2^\frac14\\ G_4^4&=2^\frac14+2^{-\frac14}\\ G_9^3&=\frac{\sqrt6+\sqrt2}2\\ G_{11}^2&=\frac1{2^{\frac16}3^{\frac12}}\l((3\sqrt3+\sqrt{11})^\frac13+(3\sqrt3-\sqrt{11})^\frac13\r)\\ G_{13}^4&=\frac{\sqrt{13}+3}2\\ G_{27}^3&=2^\frac14(2^\frac23+2^\frac13+1)\\ G_{15}^3&=\frac{\sqrt5+1}{2^\frac14}\\ G_{16}^8&=\frac{\sqrt2+1}4(8+3\sqrt[4]2+4\sqrt2+6\sqrt[4]{2^3})\\ G_{17}&=\sqrt{\frac{\sqrt{17}+5}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}-3}8}\\ G_{19}^2&=\frac1{3\cdot2^{\frac16}}(2^\frac53+(23+3\sqrt{57})^\frac13+(23-3\sqrt{57})^\frac13)\\ G_{21}^2&=\l(\frac{3+\sqrt7}{\sqrt2}\r)^\frac13\sqrt{\frac{\sqrt3+\sqrt7}2}\\ G_{23}^2&=\frac13(2\sqrt2+(25\sqrt2+3\sqrt{138})^\frac13+(25\sqrt2-3\sqrt{138})^\frac13)\\ G_{25}&=\frac{\sqrt5+1}2\\ G_{29}^4 &=\frac16\Bigg(9+3^\frac13((207+16\sqrt{87})^\frac13+(207-16\sqrt{87})^\frac13)\\ &\phantom{{}={}}+\sqrt{36+\l(-9+3^\frac13((207+16\sqrt{87})^\frac13-(207-16\sqrt{87})^\frac13)\r)^2}\Bigg)\\ G_{31}^2 &=\frac13(\sqrt2+(47\sqrt2+3\sqrt{186})^\frac13+(47\sqrt2-3\sqrt{186})^\frac13)\\ G_{33}^2 &=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\l(\frac{\sqrt{11}+3}{\sqrt2}\r)^\frac13\\ G_{37}^4 &=\sqrt{37}+6\\ G_{45}^2 &=(\sqrt{15}+4)^\frac13\sqrt{\sqrt5+2}\\ G_{49} &=\frac{7^\frac14+\sqrt{\sqrt7+4}}2\\ G_{55}^2 &=\sqrt{\frac{4\sqrt5+9}2}+\sqrt{\frac{2\sqrt5+3}2}\\ G_{57}^2 &=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\l(\frac{3\sqrt{19}+13}{\sqrt2}\r)^\frac13\\ G_{65}^2 &=\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2\cdot\frac{\sqrt{13}+3}2}\l(\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{65}+1}8}\r)\\ G_{69}^2 &=\farc12(3\sqrt3+\sqrt{23})^\frac14\l(\frac{\sqrt{23}+5}4\r)^\frac16(\sqrt{3\sqrt3+6}+\sqrt{3\sqrt3+2})\\ G_{73} &=\sqrt{\frac{\sqrt{73}+9}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{73}+1}8}\\ G_{77}^2 &=\l(\frac{(3\sqrt7+8)(\sqrt7+\sqrt{11})}2\r)^\frac14\l(\sqrt{\frac{\sqrt{11}+6}4}+\sqrt{\frac{\sqrt{11}+2}4}\r)\\ G_{81}^3 &=\frac{(2\sqrt2+2)^\frac13+1}{(2\sqrt2-2)^\frac13-1}\\ G_{85} &=\frac{\sqrt5+1}2\l(\frac{\sqrt{85}+9}2\r)^\frac14\\ G_{93}^2 &=\l(\frac{7\sqrt{31}+39}{\sqrt2}\r)^\frac13\sqrt{\frac{3\sqrt3+\sqrt{31}}2}\\ G_{97} &=\sqrt{\frac{\sqrt{97}+13}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{97}+5}8}\\ G_{130}^2 &=\farc{\sqrt3+1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt5+1}2\cdot\frac{\sqrt3+\sqrt7}2\l(\frac{\sqrt5+\sqrt7}2\r)^\frac13\\ G_{385}^2 &=\frac18(\sqrt5+3)(\sqrt{11}+3)(\sqrt5+\sqrt7)(\sqrt7+\sqrt{11}) \end{align*}

Ramanujanの$g$-関数

\begin{align*} g_1&=2^{-\frac18}\\ g_2&=1\\ g_6^6&=\sqrt2+1\\ g_{10}^2&=\frac{\sqrt5+1}2\\ g_{14}^2&=\frac{\sqrt2+1+\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2}\\ g_{18}^3&=\sqrt2+\sqrt3\\ g_{22}^2&=\sqrt2+1\\ g_{30}^2&=\frac{\sqrt5+1}2(\sqrt{10}+3)^\frac13\\ g_{34}&=\sqrt{\frac{\sqrt{17}+7}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}8}\\ g_{42}^2&=\frac{\sqrt3+\sqrt7}2(2\sqrt2+\sqrt7)^\frac13\\ g_{46}^2&=\frac12(3+\sqrt2+\sqrt{6\sqrt2+7})\\ g_{58}^2&=\frac{\sqrt{29}+5}2\\ g_{62}+g_{62}^{-1} &=\frac12\l(\sqrt{\sqrt2+1}+\sqrt{5\sqrt2+9}\,\r)\\ g_{66}^2 &=(7\sqrt2+3\sqrt{11})^\frac16\sqrt{\sqrt2+\sqrt3}\l(\sqrt{\frac{\sqrt{33}+7}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{33}-1}8}\r)\\ g_{70}^2 &=\frac{(\sqrt2+1)(\sqrt5+3)}2\\ g_{78}^2 &=\frac{\sqrt{13}+3}2(\sqrt{26}+5)^\frac13\\ g_{82} &=\sqrt{\frac{\sqrt{41}+13}8}+\sqrt{\frac{\sqrt{41}+5}8}\\ g_{94}+g_{94}^{-1} &=\frac12\l(\sqrt{\sqrt2+7}+\sqrt{5\sqrt2+7}\,\r)\\ g_{98}+g_{98}^{-1} &=\frac12\l(\sqrt2+\sqrt{4\sqrt{14}+14}\,\r)\\ g_{130}^2 &=\frac{(\sqrt5+2)(\sqrt{13}+3)}2\\ g_{162}^3 &=\frac{1+(2\sqrt6+4)^\frac13}{1-(2\sqrt6-4)^\frac13}\\ g_{190}^2 &=(\sqrt5+2)(\sqrt{10}+3) \end{align*}

$j$-不変量

\begin{align*} j(\sqrt{-1})&=12^3\\ j(\sqrt{-2})&=20^3\\ j(\sqrt{-3})&=2\cdot30^3\\ j(\sqrt{-4})&=66^3\\ j(\sqrt{-7})&=255^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-3}}2\r)&=0^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-7}}2\r)&=-15^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-11}}2\r)&=-32^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-19}}2\r)&=-96^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-27}}2\r)&=-3\cdot160^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-43}}2\r)&=-960^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-67}}2\r)&=-5280^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-163}}2\r)&=-640320^3\\ \\ j(\sqrt{-5})&=2^3(25+13\sqrt5)^3\\ j(\sqrt{-6})&=12^3(1+\sqrt2)^2(5+2\sqrt2)^2\\ j(\sqrt{-10})&=6^3(65+27\sqrt5)^3\\ j(\sqrt{-13})&=30^3(31+9\sqrt{13})^3\\ j(\sqrt{-22})&=60^3(155+108\sqrt2)^3\\ j(\sqrt{-37})&=60^3(2837+468\sqrt{37})^3\\ j(\sqrt{-58})&=30^3(140989+26163\sqrt{29})^3\\ \\ j\l(\frac{1+\sqrt{-15}}2\r)&=-3^3\l(\frac{1+\sqrt5}2\r)^2(5+4\sqrt5)^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-35}}2\r)&=-16^3(15+7\sqrt5)^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-51}}2\r)&=-48^3(4+\sqrt{17})^2(5+\sqrt{17})^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-91}}2\r)&=-48^3(227+63\sqrt{13})^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-115}}2\r)&=-48^3(785+351\sqrt5)^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-123}}2\r)&=-480^3(32+5\sqrt{41})^2(8+\sqrt{41})^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-187}}2\r)&=-240^3(3451+837\sqrt{17})^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-235}}2\r)&=-528^3(8875+3969+\sqrt5)^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-267}}2\r)&=-240^3(500+53\sqrt{89})^2(625+53\sqrt{89})^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-403}}2\r)&=-240^3(2809615+779247\sqrt{13})^3\\ j\l(\frac{1+\sqrt{-427}}2\r)&=-5280^3(236674+30303\sqrt{61})^3 \end{align*}