この記事ではj(1+−72)=−153,λ(−7)=8−3716といった値や∑∑′m,n(−1)m+nm2+3n2=−4π33log2,∑∑′m,n(−1)m+nm2+7n2=−2π7log2といった興味深い公式が得られる背景にあるモジュラー方程式やLattice Sumについての理論を紹介していきます。 ただ今回の記事はいつもとは違い、予め書いておいたPDFを配布する形となります。 そのリンクはこちら→ moduar equation.pdf
ここではそのpdfで紹介したsingular moduliの一覧を置いておくだけにとどめておきます。
G1=1G28=2+12G3=2112G54=5+12G7=214G44=214+2−14G93=6+22G112=1216312((33+11)13+(33−11)13)G134=13+32G273=214(223+213+1)G153=5+1214G168=2+14(8+324+42+6234)G17=17+58+17−38G192=13⋅216(253+(23+357)13+(23−357)13)G212=(3+72)133+72G232=13(22+(252+3138)13+(252−3138)13)G25=5+12G294=16(9+313((207+1687)13+(207−1687)13)=+36+(−9+313((207+1687)13−(207−1687)13))2)G312=13(2+(472+3186)13+(472−3186)13)G332=3+12(11+32)13G374=37+6G452=(15+4)135+2G49=714+7+42G552=45+92+25+32G572=3+12(319+132)13G652=5+12⋅13+32(65+98+65+18)G692=12(33+23)14(23+54)16(33+6+33+2)G73=73+98+73+18G772=((37+8)(7+11)2)14(11+64+11+24)G813=(22+2)13+1(22−2)13−1G85=5+12(85+92)14G932=(731+392)1333+312G97=97+138+97+58G1302=3+12⋅5+12⋅3+72(5+72)13G3852=18(5+3)(11+3)(5+7)(7+11)
g1=2−18g2=1g66=2+1g102=5+12g142=2+1+22−12g183=2+3g222=2+1g302=5+12(10+3)13g34=17+78+17−18g422=3+72(22+7)13g462=12(3+2+62+7)g582=29+52g62+g62−1=12(2+1+52+9)g662=(72+311)162+3(33+78+33−18)g702=(2+1)(5+3)2g782=13+32(26+5)13g82=41+138+41+58g94+g94−1=12(2+7+52+7)g98+g98−1=12(2+414+14)g1302=(5+2)(13+3)2g1623=1+(26+4)131−(26−4)13g1902=(5+2)(10+3)
j(−1)=123j(−2)=203j(−3)=2⋅303j(−4)=663j(−7)=2553j(1+−32)=03j(1+−72)=−153j(1+−112)=−323j(1+−192)=−963j(1+−272)=−3⋅1603j(1+−432)=−9603j(1+−672)=−52803j(1+−1632)=−6403203j(−5)=23(25+135)3j(−6)=123(1+2)2(5+22)2j(−10)=63(65+275)3j(−13)=303(31+913)3j(−22)=603(155+1082)3j(−37)=603(2837+46837)3j(−58)=303(140989+2616329)3j(1+−152)=−33(1+52)2(5+45)3j(1+−352)=−163(15+75)3j(1+−512)=−483(4+17)2(5+17)3j(1+−912)=−483(227+6313)3j(1+−1152)=−483(785+3515)3j(1+−1232)=−4803(32+541)2(8+41)3j(1+−1872)=−2403(3451+83717)3j(1+−2352)=−5283(8875+3969+5)3j(1+−2672)=−2403(500+5389)2(625+5389)3j(1+−4032)=−2403(2809615+77924713)3j(1+−4272)=−52803(236674+3030361)3
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