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モジュラー方程式とSingular Moduli

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はじめに

 この記事では
j(1+72)=153,λ(7)=83716
といった値や
m,n(1)m+nm2+3n2=4π33log2,m,n(1)m+nm2+7n2=2π7log2
といった興味深い公式が得られる背景にあるモジュラー方程式やLattice Sumについての理論を紹介していきます。
 ただ今回の記事はいつもとは違い、予め書いておいたPDFを配布する形となります。
 そのリンクはこちら moduar equation.pdf

 ここではそのpdfで紹介したsingular moduliの一覧を置いておくだけにとどめておきます。

RamanujanのG-関数

G1=1G28=2+12G3=2112G54=5+12G7=214G44=214+214G93=6+22G112=1216312((33+11)13+(3311)13)G134=13+32G273=214(223+213+1)G153=5+1214G168=2+14(8+324+42+6234)G17=17+58+1738G192=13216(253+(23+357)13+(23357)13)G212=(3+72)133+72G232=13(22+(252+3138)13+(2523138)13)G25=5+12G294=16(9+313((207+1687)13+(2071687)13)=+36+(9+313((207+1687)13(2071687)13))2)G312=13(2+(472+3186)13+(4723186)13)G332=3+12(11+32)13G374=37+6G452=(15+4)135+2G49=714+7+42G552=45+92+25+32G572=3+12(319+132)13G652=5+1213+32(65+98+65+18)G692=12(33+23)14(23+54)16(33+6+33+2)G73=73+98+73+18G772=((37+8)(7+11)2)14(11+64+11+24)G813=(22+2)13+1(222)131G85=5+12(85+92)14G932=(731+392)1333+312G97=97+138+97+58G1302=3+125+123+72(5+72)13G3852=18(5+3)(11+3)(5+7)(7+11)

Ramanujanのg-関数

g1=218g2=1g66=2+1g102=5+12g142=2+1+2212g183=2+3g222=2+1g302=5+12(10+3)13g34=17+78+1718g422=3+72(22+7)13g462=12(3+2+62+7)g582=29+52g62+g621=12(2+1+52+9)g662=(72+311)162+3(33+78+3318)g702=(2+1)(5+3)2g782=13+32(26+5)13g82=41+138+41+58g94+g941=12(2+7+52+7)g98+g981=12(2+414+14)g1302=(5+2)(13+3)2g1623=1+(26+4)131(264)13g1902=(5+2)(10+3)

j-不変量

j(1)=123j(2)=203j(3)=2303j(4)=663j(7)=2553j(1+32)=03j(1+72)=153j(1+112)=323j(1+192)=963j(1+272)=31603j(1+432)=9603j(1+672)=52803j(1+1632)=6403203j(5)=23(25+135)3j(6)=123(1+2)2(5+22)2j(10)=63(65+275)3j(13)=303(31+913)3j(22)=603(155+1082)3j(37)=603(2837+46837)3j(58)=303(140989+2616329)3j(1+152)=33(1+52)2(5+45)3j(1+352)=163(15+75)3j(1+512)=483(4+17)2(5+17)3j(1+912)=483(227+6313)3j(1+1152)=483(785+3515)3j(1+1232)=4803(32+541)2(8+41)3j(1+1872)=2403(3451+83717)3j(1+2352)=5283(8875+3969+5)3j(1+2672)=2403(500+5389)2(625+5389)3j(1+4032)=2403(2809615+77924713)3j(1+4272)=52803(236674+3030361)3

投稿日:2023109
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子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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