マサチューセッツ工科大学積分大会のとある定積分1

$\displaystyle{I=\int_{0}^{2}x\sqrt{x^{\ln{x}}\sqrt[3]{x^{\ln^2{x}}\sqrt[4]{x^{\ln^3{x}}\sqrt[5]{x^{\ln^4{x}}...}}}}\:\:dx} $

\begin{align*} I&=\int_{0}^{2}x\sqrt{x^{\ln{x}}\sqrt[3]{x^{\ln^2{x}}\sqrt[4]{x^{\ln^3{x}}\sqrt[5]{x^{\ln^4{x}}...}}}}\:\:dx\\ &=\int_{0}^{2}x\cdot x^{\frac{1}{2}\ln{x}}\cdot x^{\frac{1}{2\cdot3}\ln^{2}{x}}\cdot x^{\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^3{x}}\cdot x^{\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^{4}}{x}\cdot\:\cdot\:\cdot dx\\ &=\int_{0}^{2}x^{1+\frac{1}{2}\ln{x}+\frac{1}{2\cdot3}\ln^2{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^3{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^4{x}+\cdot\:\cdot\:\cdot}dx \end{align*}
なんか見たことある指数ですよね。実は$e^x$のマクローリン展開そっくりです。次数が少しずれてるのと、$k=0$の項がないだけで、ほとんど同じです。指数だけ抜き出して変形しましょうか。
\begin{align*} &1+\frac{1}{2}\ln{x}+\frac{1}{2\cdot3}\ln^2{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^3{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^4{x}+\cdot\:\cdot\:\cdot\\ &=\frac{1}{\ln{x}}\left(\ln{x}+\frac{1}{2}\ln^2{x}+\frac{1}{2\cdot3}\ln^3{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^4{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^5{x}+\cdot\:\cdot\:\cdot\right)\\ &=\frac{1}{\ln{x}}\left(1+\ln{x}+\frac{1}{2}\ln^2{x}+\frac{1}{2\cdot3}\ln^3{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^4{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^5{x}+\cdot\:\cdot\:\cdot\right)-\frac{1}{\ln{x}} \end{align*}
さて思い出しましょう！$e^{x}$のマクローリン展開は、

$\displaystyle{e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}}$
のため、この$x$に$\ln{x}$を代入したのが今回の指数です。よって、
\begin{align*} &\frac{1}{\ln{x}}\left(1+\ln{x}+\frac{1}{2}\ln^2{x}+\frac{1}{2\cdot3}\ln^3{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^4{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^5{x}+\cdot\:\cdot\:\cdot\right)-\frac{1}{\ln{x}}\\ &=\frac{1}{\ln{x}}\left(e^{\ln{x}}-1\right)\\ &=\frac{x}{\ln{x}}-\frac{1}{\ln{x}} \end{align*}
だいぶすっきりしましたね。この結果を積分に用いましょう！
\begin{align*} I&=\int_{0}^{2}x^{1+\frac{1}{2}\ln{x}+\frac{1}{2\cdot3}\ln^2{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}\ln^3{x}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\ln^4{x}+\cdot\:\cdot\:\cdot}dx\\ &=\int_{0}^{2}x^{\frac{x}{\ln{x}}}\cdot x^{-\frac{1}{\ln{x}}}dx \end{align*}
さて第二関門。ぱっと見原始関数が初等関数で表されなさそうな輩が出てきました。こいつはしばき倒さないといけないので変形しましょう。$x^{\frac{1}{\ln{x}}}$がどうなるかだけわかれば十分なので、これのみいじります。
\begin{align*} y&=x^{\frac{1}{\ln{x}}}\\ \ln{y}&=\frac{1}{\ln{x}}\cdot\ln{x}\\ y&=1\\ \therefore y&=e\\ \end{align*}
おや、定数でしたね。かわいい！(唐突)　この結果を使って積分を計算しましょう！
\begin{align*} I&=\int_{0}^{2}x^{\frac{x}{\ln{x}}}\cdot x^{-\frac{1}{\ln{x}}}dx\\ &=\frac{1}{e}\int_{0}^{2}e^{x}dx\\ &=e-\frac{1}{e} \end{align*}