文献あり

被覆の群作用について

群作用

　この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

　以下、 $G$ を群、 $Y$ を位相空間とします。

　 $G$ は $Y$ に左から作用しているとする。 $G$ の作用が $even$ であるとは、任意の $y \in Y$ に対して次の条件 $(*)$ を満たす $Y$ における $y$ の開近傍 $U$ が存在することをいう：
　 $(*)$ $g, g^{'} \in G$ に対して $g \neq g^{'}$ ならば $g U \cap g^{'} U = \emptyset$

Note

　 $G$ の作用は $Y$ 上に同値関係を定める。 $y \in Y$ の同値類
$G (y) := {g y ∣ g \in G}$
を $y$ の $G$ 軌道という。 $Y$ の部分集合 $S$ に対して $G (S) := {G (s) ∣ s \in S}$ と書くことにする。
　同値関係による商位相空間 $Y / G = {G (y) ∣ y \in Y}$ が定義される。この位相は標準全射 $p_{G} : Y \to Y / G, y \to G (y)$ が連続となるような最も細かい位相である。

　ここからは連続な作用を考えるため $G$ を位相群とします。また、 $e$ を $G$ の単位元とします。

　 $G$ が $Y$ へ連続に作用しているとき、 $g \in G$ に対して $Y \to Y, y \mapsto g y$ は同相写像である。よって標準全射 $p_{G} : Y \to Y / G$ は開写像である。

　次の命題は参考文献 [1] Lemma 2.1.7 を参考にさせていただきました。

　 $G$ は $Y$ に左から連続かつ $even$ に作用しているとする。このとき、 $(Y, p_{G})$ は $Y / G$ 上の被覆である。

概略

　各 $y \in Y$ に対して $even$ の条件 $(*)$ を満たす $y$ の開近傍 $U$ をとることができる。このとき $p_{G} (U)$ は $G (y)$ の被覆近傍であり、 ${g U}_{g \in G}$ が被覆近傍のシートの族である。

詳細

　任意の $G (y) \in Y / G$ をとる。 $G$ の $Y$ への作用は $even$ であるから、 $(*)$ の条件を満たす $y$ の開近傍 $U$ が存在する。 $V := p_{G} (U) = G (U)$ とおく。 $V$ が被覆近傍であることを示す。
　まず $p^{- 1} (V) = ⋃_{g \in G} g U$ であり、各 $g U$ は互いに共通部分を持たない。次に $p_{G}$ の $g U$ への制限は $g U$ から $V$ への全射連続開写像である。そこで $p_{G}$ が単射であることを示す。 $G (u) = G (u^{'}) (u, u^{'} \in U)$ ならば $g_{0} u = u^{'}$ となるような $g_{0} \in G$ が存在する。よって $u^{'} \in U \cap g_{0} U$ となるから $even$ の条件より $g_{0} = e$ となる。ゆえに $p_{G}$ の $g U$ への制限は単射である。したがって $V$ は $G (y)$ の被覆近傍であり、 ${g U}_{g \in G}$ は $V$ のシートの族である。