群の2つの部分群の積の位数

$h \in H, k \in K, x \in HK$に対して、$h \cdot x \coloneqq hx, k \cdot x \coloneqq xk^{-1}$と定めることで$H,K$の$HK$への両側作用、すなわち$H \times K$の$HK$への作用が定まります。この作用における$G$の単位元$e \in HK$を含む軌道は$HK$全体なので、この作用は推移的です。このことと、$H \times K$が有限群であることから$HK$が有限集合であることが従います。さらに$e$の安定化群は$\{(h,k) \in H\times K\mid (h,k) \cdot e = hk^{-1}=e \}=\{(a,a) \mid a \in H \cap K\}$
であり、その位数は$|H \cap K|$です。ゆえに、$|HK|=|H||K|/|H \cap K|$を得ます。