一般超幾何微分方程式のx=1における非正則解のFrobenius級数表示
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で, 一般超幾何関数の$x=1$におけるモノドロミー作用を計算し, 一般超幾何微分方程式の解であって, $x=1$におけるモノドロミー作用によってちょうど$e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}$倍されるものの明示式を与えた. それはFrobenius級数によって
\begin{align}
(1-x)^{b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}\sum_{0\leq n}c_n(1-x)^n
\end{align}
の形に展開されるので, 今回はその明示式を求めたいと思う.
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で見たように, そのような関数は$0< x<1$のとき,
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds
\end{align}
とMellin-Barnes積分によって表されるものの定数倍である. 一方, $1< x$の場合は
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds
\end{align}
の積分路の左側には極がないから,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\lim_{c\to-\infty}\frac 1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=0
\end{align}
が分かる. これより, $r\geq 1$のとき, $0< x<1$として,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_{r-1}-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_r-s)}x^s\int_1^{\infty}t^{a_{r+1}+s-1}(t-1)^{b_r-a_{r+1}-1}\,dt\,ds\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{2\pi i\Gamma(b_r-a_{r+1})}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_{r-1}-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_r-s)}\int_x^{\infty}t^{a_{r+1}+s-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}\,dt\,ds\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})}\int_x^{\infty}t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}\left(\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_{r-1}-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_r-s)}t^s\,ds\right)\,dt\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})}\int_x^1t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}\left(\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_{r-1}-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_r-s)}t^s\,ds\right)\,dt\\
\end{align}
と表すことができる. つまり, 以下を得る.
$0< x<1$において,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})}\int_x^1t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}\left(\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_{r-1}-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_r-s)}t^s\,ds\right)\,dt
\end{align}
が成り立つ.
これを用いると以下を示すことができる.
$r$を非負整数とする. $0< x<1$において,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\frac{(1-x)^{b_1+\cdots+b_{r}-a_1-\cdots-a_{r+1}}}{\Gamma(b_1+\cdots+b_{r+1}-a_1-\cdots-a_{r+1})}\sum_{0\leq n_1,\dots,n_r}(1-x)^{n_1+\cdots+n_r}\prod_{k=1}^r\frac{(b_k-a_{k+1})_{n_k}}{n_k!}\\
&\qquad\cdot\prod_{k=1}^r\frac{(b_1+\cdots+b_k-a_1-\cdots-a_k)_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_{k+1}-a_1-\cdots-a_{k+1})_{n_1+\cdots+n_k}}
\end{align}
が成り立つ. ただし, $b_{r+1}:=1$であり, 和の部分は$r=0$のとき$1$とみなす.
まず, $r=0$のとき,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)}x^s\,ds\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(1-a_1-n)}x^n\\
&=\frac 1{\Gamma(1-a_1)}\sum_{0\leq n}\frac{(a_1)_n}{n!}x^n\\
&=\frac{(1-x)^{-a_1}}{\Gamma(1-a_1)}
\end{align}
であるから成立する. $r\geq 1$とする. $r-1$のときに成り立つと仮定すると, 補題1を用いることによって,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})}\int_x^1t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}\left(\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_{r-1}-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_r-s)}t^s\,ds\right)\,dt\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})\Gamma(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r})}\int_x^1t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}(1-t)^{b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n_1,\dots,n_{r-1}}(1-t)^{n_1+\cdots+n_{r-1}}\prod_{k=1}^{r-1}\frac{(b_k-a_{k+1})_{n_k}}{n_k!}\\
&\qquad\cdot\prod_{k=1}^{r-2}\frac{(b_1+\cdots+b_k-a_1-\cdots-a_k)_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_{k+1}-a_1-\cdots-a_{k+1})_{n_1+\cdots+n_k}}\cdot \frac{(b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r-1})_{n_1+\cdots+n_k}}{(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_r)_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}\,dt\\
&=\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})\Gamma(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r})}\sum_{0\leq n_1,\dots,n_{r-1}}\prod_{k=1}^{r-1}\frac{(b_k-a_{k+1})_{n_k}}{n_k!}\cdot\prod_{k=1}^{r-2}\frac{(b_1+\cdots+b_k-a_1-\cdots-a_k)_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_{k+1}-a_1-\cdots-a_{k+1})_{n_1+\cdots+n_k}}\\
&\qquad\cdot \frac{(b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r-1})_{n_1+\cdots+n_k}}{(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_r)_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}\int_x^1t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}(1-t)^{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r}}\,dt
\end{align}
ここで, 超幾何関数のEuler積分表示と, Eulerの変換公式を用いて,
\begin{align}
&\frac{x^{1-b_r}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})\Gamma(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r})}\int_x^1t^{a_{r+1}-1}(t-x)^{b_r-a_{r+1}-1}(1-t)^{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r}}\,dt\\
&=\frac{x^{1-b_r}(1-x)^{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}}{\Gamma(b_r-a_{r+1})\Gamma(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r})}\\
&\qquad\cdot\int_0^1t^{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r}}(1-t)^{b_r-a_{r+1}-1}(1-(1-x)t)^{a_{r+1}-1}\,dt\\
&=\frac{x^{1-b_r}(1-x)^{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_r)_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}{\Gamma(1+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r})_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}\\
&\qquad\cdot\F21{1-a_{r+1},n_1+\cdots+n_{r-1}+1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_r}{n_1+\cdots+n_{r-1}+1+b_1+\cdots+b_{r}-a_1-\cdots-a_{r+1}}{1-x}\\
&=\frac{(1-x)^{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_r)_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}{\Gamma(1+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r})_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}\\
&\qquad\cdot\F21{n_1+\cdots+n_{r-1}+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r},b_r-a_{r+1}}{n_1+\cdots+n_{r-1}+1+b_1+\cdots+b_{r}-a_1-\cdots-a_{r+1}}{1-x}\\
&=\frac{(1-x)^{b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}(1+b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_r)_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}{\Gamma(1+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r})_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n_r}\frac{(b_r-a_{r+1})_{n_r}(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r})_{n_1+\cdots+n_r}}{n_r!(1+b_1+\cdots+b_{r}-a_1-\cdots-a_{r+1})_{n_1+\cdots+n_r}}(1-x)^{n_1+\cdots+n_r}
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\frac{(1-x)^{b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}}{\Gamma(1+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}\sum_{0\leq n_1,\dots,n_{r-1}}\prod_{k=1}^{r-1}\frac{(b_k-a_{k+1})_{n_k}}{n_k!}\cdot\prod_{k=1}^{r-2}\frac{(b_1+\cdots+b_k-a_1-\cdots-a_k)_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_{k+1}-a_1-\cdots-a_{k+1})_{n_1+\cdots+n_k}}\\
&\qquad\cdot \frac{(b_1+\cdots+b_{r-1}-a_1-\cdots-a_{r-1})_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r})_{n_1+\cdots+n_{r-1}}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n_r}\frac{(b_r-a_{r+1})_{n_r}(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r})_{n_1+\cdots+n_r}}{n_r!(1+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})_{n_1+\cdots+n_r}}(1-x)^{n_1+\cdots+n_r}\\
&=\frac{(1-x)^{b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}}}{\Gamma(1+b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}\sum_{0\leq n_1,\dots,n_r}(1-x)^{n_1+\cdots+n_r}\prod_{k=1}^{r}\frac{(b_k-a_{k+1})_{n_k}}{n_k!}\\
&\qquad\cdot\prod_{k=1}^{r}\frac{(b_1+\cdots+b_k-a_1-\cdots-a_k)_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_{k+1}-a_1-\cdots-a_{k+1})_{n_1+\cdots+n_k}}
\end{align}
と$r$の場合が示される. よって, $r$に関する帰納法により示すべきことが得られる.
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で見たように, $b_{r+1}:=1$として, $0< x<1$のとき,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots \Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots \Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\
&=\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\
&\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}x
\end{align}
と表される. よって一致の定理より, 以下が成り立つ.
$r$を非負整数とする. $x\in\CC, x\notin (-\infty,0), (1,\infty)$において,
\begin{align}
&\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\
&\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}x\\
&=\frac{(1-x)^{b_1+\cdots+b_{r}-a_1-\cdots-a_{r+1}}}{\Gamma(b_1+\cdots+b_{r+1}-a_1-\cdots-a_{r+1})}\sum_{0\leq n_1,\dots,n_r}(1-x)^{n_1+\cdots+n_r}\prod_{k=1}^r\frac{(b_k-a_{k+1})_{n_k}}{n_k!}\\
&\qquad\cdot\prod_{k=1}^r\frac{(b_1+\cdots+b_k-a_1-\cdots-a_k)_{n_1+\cdots+n_k}}{(b_1+\cdots+b_{k+1}-a_1-\cdots-a_{k+1})_{n_1+\cdots+n_k}}
\end{align}
が成り立つ. ただし, $b_{r+1}:=1$であり, 右辺の和の部分は$r=0$のとき$1$とみなす.
