√tanxの積分を代数曲線で解く
はじめに
次の不定積分を考えます。
$$ \int\sqrt{\tan x}\,dx, \qquad 0< x<\frac{\pi}{2}. $$
通常の解法では、$t=\sqrt{\tan x}$と置いて
$$ \sqrt{\tan x}\,dx=\frac{2t^2}{1+t^4}dt $$
と変形し、有理関数の積分に帰着させた上で、部分分数を行って計算します。
一方、代数曲線を導入すると、円と双曲線の構造が自然に現れることが分かります。
本記事では、この積分を代数曲線上の有理微分形式として表し、計算します。
後で得られる公式は、次の通りです。
$$ \boxed{ \begin{aligned} \int\sqrt{\tan x}\,dx =&\frac{1}{\sqrt2}\arccos(\cos x-\sin x)\\ &-\frac{1}{\sqrt2}\operatorname{arcosh}(\cos x+\sin x) +C. \end{aligned} } $$
ここで、$\operatorname{arcosh}$は逆双曲線余弦関数です。
代数曲線の構成
まず、
$$ u=\cos x, \qquad v=\sin x $$
と置きます。
すると、
$$ u^2+v^2=1 $$
および
$$ du =-\sin x\,dx =-v\,dx $$
が成り立ちます。
これを用いると、
\begin{align} \sqrt{\tan x}\,dx &=\sqrt{\frac{v}{u}}\,dx\\ &=-\frac{du}{\sqrt{uv}} \end{align}
と書けます。
そこで、
$$ w=\sqrt{uv} $$
と置けば、
\begin{gather} w^2=uv,\\ \sqrt{\tan x}\,dx=-\frac{du}{w} \end{gather}
となります。
これらの関係式から、代数曲線
$$ \boxed{ C\colon \begin{cases} u^2+v^2=1,\\ w^2=uv \end{cases} } $$
が得られます。
元の積分の微分形式は、この曲線上の有理微分形式
$$ \boxed{ \eta=-\frac{du}{w} } $$
として表されます。
曲線の座標変換
次に、曲線$C$の座標を
$$ a=u-v, \qquad b=u+v, \qquad c=\sqrt2\,w $$
によって変換します。
これは、$C$の一つ目の方程式を保ちながら、二つ目の方程式の$u$と$v$を分離する変換です。
逆変換は
$$ u=\frac{a+b}{2}, \qquad v=\frac{b-a}{2}, \qquad w=\frac{c}{\sqrt2} $$
です。
元の方程式から、
\begin{align} a^2+c^2 &=(u-v)^2+2uv\\ &=u^2+v^2\\ &=1 \end{align}
および
\begin{align} b^2-c^2 &=(u+v)^2-2uv\\ &=u^2+v^2\\ &=1 \end{align}
が成り立ちます。
したがって、変換後の曲線は
$$ \boxed{ C'\colon \begin{cases} a^2+c^2=1,\\ b^2-c^2=1 \end{cases} } $$
で与えられます。
これは、円の方程式と双曲線の方程式を連立させたものになっています。
より正確に述べるため、円
$$ S\colon\,p^2+q^2=1 $$
と双曲線
$$ H\colon\,r^2-s^2=1 $$
を考え、第2成分への射影
\begin{align} S\to\mathbb{A}_{\mathbb{R}}^1,& \qquad (p,q)\mapsto q,\\ H\to\mathbb{A}_{\mathbb{R}}^1,& \qquad (r,s)\mapsto s \end{align}
を定めます。
このとき、$C'$は、これらの射影に関するファイバー積
$$ S\times_{\mathbb{A}_{\mathbb{R}}^1}H $$
と自然に同型になります。
微分形式の分解
逆変換より、
$$ du=\frac{da+db}{2} $$
となるので、
\begin{align} \eta &=-\frac{du}{w}\\ &=-\frac1{\sqrt2} \left( \frac{da}{c}+\frac{db}{c} \right) \end{align}
が得られます。
ここで、
$$ a=\cos x-\sin x, \qquad b=\cos x+\sin x, \qquad c=\sqrt{2\cos x\sin x} $$
です。
$0< x<\dfrac{\pi}{2}$より、
$$ -1< a<1, \qquad b>1, \qquad c>0 $$
が成り立ちます。
また、$C'$の方程式から、
$$ c=\sqrt{1-a^2}=\sqrt{b^2-1} $$
となります。
したがって、
$$ \frac{da}{c} =\frac{da}{\sqrt{1-a^2}} =-d(\arccos a) $$
および
$$ \frac{db}{c} =\frac{db}{\sqrt{b^2-1}} =d(\operatorname{arcosh}b) $$
が得られます。
よって、微分形式は、
$$ \boxed{ \eta =\frac1{\sqrt2}d(\arccos a) -\frac1{\sqrt2}d(\operatorname{arcosh}b) } $$
と表されます。
これを積分し、$a=\cos x-\sin x,\ b=\cos x+\sin x$を代入すると、
$$ \boxed{ \begin{aligned} \int\sqrt{\tan x}\,dx =&\frac{1}{\sqrt2}\arccos(\cos x-\sin x)\\ &-\frac{1}{\sqrt2}\operatorname{arcosh}(\cos x+\sin x) +C \end{aligned} } $$
が得られます。
$\sqrt{\cot x}$の積分
同じ代数曲線$C$を用いて、$\xi=\sqrt{\cot x}$の積分も求められます。
まず、
$$ dv =\cos x\,dx =u\,dx $$
より、
$$ \begin{aligned} \xi &=\sqrt{\frac{u}{v}}\,dx\\ &=\frac{dv}{\sqrt{uv}}\\ &=\frac{dv}{w} \end{aligned} $$
と書けます。
次に、
$$ dv=\frac{db-da}{2} $$
から、
$$ \xi =\frac1{\sqrt2} \left( \frac{db}{c}-\frac{da}{c} \right) $$
となります。
よって、先程の結果から、
$$ \boxed{ \xi =\frac1{\sqrt2}d(\arccos a) +\frac1{\sqrt2}d(\operatorname{arcosh}b) } $$
と表されます。
したがって、
$$ \boxed{ \begin{aligned} \int\sqrt{\cot x}\,dx =&\frac1{\sqrt2}\arccos(\cos x-\sin x)\\ &+\frac1{\sqrt2}\operatorname{arcosh}(\cos x+\sin x) +C. \end{aligned} } $$
が得られます。
おわりに
本記事では、$\sqrt{\tan x}\,dx$を代数曲線上の有理微分形式として表し、その曲線を円と双曲線が現れる形に変換しました。
また、その変換によって、微分形式が逆三角関数と逆双曲線関数の微分に分解されることを示しました。
円と双曲線を用いた幾何学的な解法は、以下の投稿および解説記事でも紹介されています。
本記事は、そこで示されている幾何学的な発想を、代数曲線、有理微分形式、ファイバー積の観点から整理しています。
