Maxwell方程式をDirac作用素を使ってDirac方程式っぽく書くことについて説明します。微分形式をClifford代数と見なせばほぼ自明です。
以下を擬リーマン多様体とします。
Clifford form
をの正規直交基底とし、をその双対基底とします。をを満たすClifford代数の生成子とすると、により外積代数はClifford代数とベクトル空間として同型です。代数としての同型は、に対して、
と定義して、全体に自然に拡張することでClifford積が得られます。この微分形式に入るClifford代数の積をと書いている文献もあります[2]。この対応により微分形式をClifford bundleの切断と見なしたものをClifford formなどと呼ぶことがあります。
Maxwell方程式をClifford formで書き換える
をMaxwell場とします。すなわち
を満たすとします。このときClifford formに対してDirac作用素を
と定義します。さらにこれは
となるので、Maxwell方程式は
となります。であることを考えれば代数の同型より逆も成り立つのでこれらは同値な方程式であることがわかります。
は複素幾何ではHodge-de Rham operatorなどと呼ばれます。
一般のYang-Mills方程式をClifford formで書き換える
Maxwell方程式はゲージ理論におけるYang-Mills方程式であるが、非可換ゲージ理論においても同様の書き換えが可能です。をLie群、をそのLie環とし、を上の主束、をの随伴表現に関する同伴束とし、不変なファイバー内積が存在するとします。の接続(ゲージ場)をとし、とします。上の議論でをに対する共変外微分に、をに、をに置き換えると全く同様にBianchi恒等式とYang-Mills方程式はとできます。
[1]
Philip Charlton, The Geometry of Pure Spinors, with Applications, D thesis
[2]
FABIO DI COSMO, et al, A HODGE - DE RHAM DIRAC OPERATOR ON THE QUANTUM SU(2), International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 15.02 (2018): 1850030.