moment変換／moment逆変換

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moment変換／moment逆変換

$t$についての関数$f(t)$のmoment変換$M[f(t)](s)$とその逆変換は

$\begin{align*}\displaystyle &M[f(t)](s)=\int_0^1 t^{-1+s}f(t)\,dt\\&f(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}x^{-s}M[f(t)](s)\,ds\qquad(\sigma>0)\end{align*}$

となるようです。moment変換がガンマ関数で書ける場合のmoment逆変換がどうなるか計算してみました。

具体例

例１

$\hspace{5pt}$$\displaystyle \beta_v=\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+v)}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(1+v)},\quad\displaystyle f_r^{}(x)=\sum_{n=0}^\infty \beta_n^rx^n$とします。$f_2^{}(1-x)$のmoment変換は

$\begin{align*}\displaystyle M[f_2^{}(1-t)](s)=\int_0^1 t^{-1+s}f(t)\,dt=\frac{\Gamma(s)^2}{{\Gamma(\frac{1}{2}+s)}^2}\end{align*}$

であり，$x^{-s}M[f_2^{}(1-t)](s)$は$s=-n\,(n\in{\mathbb Z}_{\ge0})$で極をもち, 半円($[\sigma-iR\to\sigma+iR]+[s=\sigma+Re^{i\theta};\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{3\pi}{}]$)の経路を考えると

$\begin{align*}\displaystyle \lim_{R\to\infty}\left(\int_{\sigma-iR}^{\sigma+iR}x^{-s}\frac{\Gamma(s)^2}{{\Gamma(\frac{1}{2}+s)}^2}\,ds+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}x^{-\sigma-Re^{i\theta}}\frac{\Gamma(\sigma+Re^{i\theta})^2}{{\Gamma(\frac{1}{2}+\sigma+Re^{i\theta})}^2}\,d\theta\right)=\sum_{n=0}^\infty \underset{s=-n}{\Res}\,x^{-s}M[f_2^{}(1-t)](s)\end{align*}$

です。留数については

$\begin{align*}\displaystyle \underset{s=-n}{\Res}\,x^{-s}M[f_2^{}(1-t)](s)&=\underset{s=-n}{\Res}\,x^{-s}\frac{\Gamma(s)^2}{{\Gamma(\frac{1}{2}+s)}^2}\\&=\frac{\beta_n^2}{\pi}x^n\underset{s=-n}{\Res}\left(1+\frac{(s+n)^1}{1!}\ln^1\frac{1}{x}+\frac{(s+n)^2}{2!}\ln^2\frac{1}{x}+\frac{(s+n)^3}{3!}\ln^3\frac{1}{x}+\cdots\right)\cdot\left(\frac{1}{s+n}+a_0+a_1(s+n)^1+a_2(s+n)^2+\cdots\right)^2\cdot\left(1+b_1(s+n)^1+b_2(s+n)^2+b_3(s+n)^3+\cdots\right)^2\\&=\frac{\beta_n^2}{\pi}x^n\underset{s=-n}{\Res}\left(\frac{1}{(s+n)^2}+\frac{2a_0+2b_1+\ln\frac{1}{x}}{s+n}+\cdots\right)\\&=\frac{\beta_n^2}{\pi}x^n\left(2a_0+2b_1+\ln\frac{1}{x}\right)\\&=\frac{\beta_n^2}{\pi}x^n\left(2(H_n-\gamma)-2\psi\left(\frac{1}{2}-n\right)+\ln\frac{1}{x}\right)\\&=\frac{\beta_n^2}{\pi}x^n\left(4\ln2-4\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}+\ln\frac{1}{x}\right)\end{align*}$

です。また，

$\begin{align*}\displaystyle \lim_{R\to\infty}\left|\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}x^{-\sigma-Re^{i\theta}}\frac{\Gamma(\sigma+Re^{i\theta})^2}{{\Gamma(\frac{1}{2}+\sigma+Re^{i\theta})}^2}\,d\theta\right| &\le x^{-\sigma}\lim_{R\to\infty}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\left|\frac{\Gamma(\sigma+Re^{i\theta})}{{\Gamma(\frac{1}{2}+\sigma+Re^{i\theta})}}\right|^2d\theta=0 \end{align*}$

なので

$\begin{align*}\displaystyle f_2^{}(1-x)=\frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^\infty \beta_n^2x^n\left(4\ln2-4\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}+\ln\frac{1}{x}\right)\end{align*}$

となりました。$\Gamma(z)$の$z=-n$まわりでのローラン展開はarXivの1302.3613などで見れます。

例２

$\hspace{5pt}$$g(x)=f_2^{}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)^2-f_2^{}\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^2$の場合は

$\begin{align*}\displaystyle M[g(t)](s)=\frac{2}{\pi^2}\frac{{\Gamma(\frac{1}{2})}^3{\Gamma(s)}^3}{{\Gamma(\frac{1}{2}+s)}^3}\end{align*}$

であり

$\begin{align*}\displaystyle f_2^{}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)^2=\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=0}^\infty \beta_n^3x^n\left(\left(6\ln2-6\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}-\ln\frac{1}{x}\right)^2-12\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\right)\end{align*}$

がわかりました。

例３

$\hspace{5pt}$$h(x)=f_2^{}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)-f_2^{}\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)$の場合は

$\begin{align*}\displaystyle M[h(t)](s)=\frac{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\pi}\frac{\Gamma\left(s\right)^2}{\Gamma\left(\frac{3}{4}+s\right)^2}\end{align*}$

であり

$\begin{align*}\displaystyle f_2^{}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)-f_2^{}\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)=\frac{2}{\pi}\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(\frac{1}{4}\right)_n^2}{{n!}^2}x^n\left(\sum_{n< m}\left(\frac{1}{m-\frac{3}{4}}-\frac{1}{m}\right)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{x}-\pi\right)\end{align*}$

がわかりました。

$\begin{align*}\displaystyle \end{align*}$

投稿日：1月31日