moment変換／moment逆変換

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moment変換／moment逆変換

$t$ についての関数 $f (t)$ のmoment変換 $M [f (t)] (s)$ とその逆変換は

\begin{aligned} M [f (t)] (s) = \int_{0}^{1} t^{- 1 + s} f (t) d t \\ f (x) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ - i \infty}^{σ + i \infty} x^{- s} M [f (t)] (s) d s (σ > 0) \end{aligned}

となるようです。moment変換がガンマ関数で書ける場合のmoment逆変換がどうなるか計算してみました。

具体例

例１

$β_{v} = \frac{Γ (\frac{1}{2} + v)}{Γ (\frac{1}{2}) Γ (1 + v)}, f_{r}^{} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{r} x^{n}$ とします。 $f_{2}^{} (1 - x)$ のmoment変換は

\begin{array}{r} M [f_{2}^{} (1 - t)] (s) = \int_{0}^{1} t^{- 1 + s} f (t) d t = \frac{Γ (s)^{2}}{{Γ (\frac{1}{2} + s)}^{2}} \end{array}

であり， $x^{- s} M [f_{2}^{} (1 - t)] (s)$ は $s = - n (n \in Z_{\geq 0})$ で極をもち, 半円( $[σ - i R \to σ + i R] + [s = σ + R e^{i θ}; \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{3 π}{}]$ )の経路を考えると

\begin{array}{r} lim_{R \to \infty} (\int_{σ - i R}^{σ + i R} x^{- s} \frac{Γ (s)^{2}}{{Γ (\frac{1}{2} + s)}^{2}} d s + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x^{- σ - R e^{i θ}} \frac{Γ (σ + R e^{i θ})^{2}}{{Γ (\frac{1}{2} + σ + R e^{i θ})}^{2}} d θ) = \sum_{n = 0}^{\infty} \underset{s = - n}{Res} x^{- s} M [f_{2}^{} (1 - t)] (s) \end{array}

です。留数については

\begin{aligned} \underset{s = - n}{Res} x^{- s} M [f_{2}^{} (1 - t)] (s) & = \underset{s = - n}{Res} x^{- s} \frac{Γ (s)^{2}}{{Γ (\frac{1}{2} + s)}^{2}} \\ = \frac{β_{n}^{2}}{π} x^{n} \underset{s = - n}{Res} (1 + \frac{(s + n)^{1}}{1!} \ln^{1} \frac{1}{x} + \frac{(s + n)^{2}}{2!} \ln^{2} \frac{1}{x} + \frac{(s + n)^{3}}{3!} \ln^{3} \frac{1}{x} + \dots) \cdot {(\frac{1}{s + n} + a_{0} + a_{1} (s + n)^{1} + a_{2} (s + n)^{2} + \dots)}^{2} \cdot {(1 + b_{1} (s + n)^{1} + b_{2} (s + n)^{2} + b_{3} (s + n)^{3} + \dots)}^{2} \\ = \frac{β_{n}^{2}}{π} x^{n} \underset{s = - n}{Res} (\frac{1}{(s + n)^{2}} + \frac{2 a_{0} + 2 b_{1} + \ln \frac{1}{x}}{s + n} + \dots) \\ = \frac{β_{n}^{2}}{π} x^{n} (2 a_{0} + 2 b_{1} + \ln \frac{1}{x}) \\ = \frac{β_{n}^{2}}{π} x^{n} (2 (H_{n} - γ) - 2 ψ (\frac{1}{2} - n) + \ln \frac{1}{x}) \\ = \frac{β_{n}^{2}}{π} x^{n} (4 \ln 2 - 4 \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} + \ln \frac{1}{x}) \end{aligned}

です。また，

\begin{aligned} lim_{R \to \infty} | \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x^{- σ - R e^{i θ}} \frac{Γ (σ + R e^{i θ})^{2}}{{Γ (\frac{1}{2} + σ + R e^{i θ})}^{2}} d θ | & \leq x^{- σ} lim_{R \to \infty} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} {| \frac{Γ (σ + R e^{i θ})}{Γ (\frac{1}{2} + σ + R e^{i θ})} |}^{2} d θ = 0 \end{aligned}

なので

\begin{array}{r} f_{2}^{} (1 - x) = \frac{1}{π} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{n} (4 \ln 2 - 4 \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} + \ln \frac{1}{x}) \end{array}

となりました。 $Γ (z)$ の $z = - n$ まわりでのローラン展開はarXivの1302.3613などで見れます。

例２

$g (x) = f_{2}^{} {(\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{2})}^{2} - f_{2}^{} {(\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2})}^{2}$ の場合は

\begin{array}{r} M [g (t)] (s) = \frac{2}{π^{2}} \frac{{Γ (\frac{1}{2})}^{3} {Γ (s)}^{3}}{{Γ (\frac{1}{2} + s)}^{3}} \end{array}

であり

\begin{array}{r} f_{2}^{} {(\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{2})}^{2} = \frac{1}{π^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} x^{n} ({(6 \ln 2 - 6 \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} - \ln \frac{1}{x})}^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{2}}) \end{array}

がわかりました。

例３

$h (x) = f_{2}^{} (\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{2}) - f_{2}^{} (\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2})$ の場合は

\begin{array}{r} M [h (t)] (s) = \frac{Γ {(\frac{3}{4})}^{2}}{π} \frac{Γ {(s)}^{2}}{Γ {(\frac{3}{4} + s)}^{2}} \end{array}

であり

\begin{array}{r} f_{2}^{} (\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{2}) - f_{2}^{} (\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2}) = \frac{2}{π} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\frac{1}{4})}_{n}^{2}}{{n!}^{2}} x^{n} (\sum_{n < m} (\frac{1}{m - \frac{3}{4}} - \frac{1}{m}) + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{x} - π) \end{array}

がわかりました。

\begin{array}{r}  \end{array}

投稿日：1月31日

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