東大数理院試2024年度専門B問18解答

東大数理の院試（2024年度専門B問18）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理2024年度専門B問18）

$n$ を正整数とし，確率空間 $(Ω, F, P)$ 上で定義された $2 n$ 個の独立確率変数 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ を考える．各 $i = 1, \dots, n$ について， $X_{i}$ は非負値で $E [X_{i}^{2}] < \infty$ を満たし，また $ε_{i}$ は平均 $0,$ 分散 $1$ の正規分布に従うとする． $θ$ を正の実数パラメータとし，各 $i = 1, \dots, n$ に対して
$Y_{i} = ε_{i} \sqrt{θ (1 + X_{i})}$
と定める．
観測データとして $X_{1}, \dots, X_{n}, Y_{1}, \dots, Y_{n}$ が得られているとする．関数 $L_{n} : (0, \infty) \to R$ を
$L_{n} (t) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 π t (1 + X_{i})}} \exp (- \frac{Y_{i}^{2}}{2 t (1 + X_{i})}) (t \in (0, \infty))$
で定義し， $L_{n} (t)$ を $(0, \infty)$ において最大にする $t$ として推定量 ${\hat{θ}}_{n}$ を定める．

${\hat{θ}}_{n}$ を $X_{1}, \dots, X_{n}, Y_{1}, \dots, Y_{n}$ を用いて表せ．
${\hat{θ}}_{n}$ は $θ$ の不偏推定量であることを示せ．さらに， ${\hat{θ}}_{n}$ の分散を求めよ．
${\overset{―}{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ とおく． $t$ に関する方程式
$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{2} = t (1 + {\overset{―}{X}}_{n})$
の解として推定量 ${\tilde{θ}}_{n}$ を定める． ${\tilde{θ}}_{n}$ は $θ$ の不偏推定量であることを示せ．
${\hat{θ}}_{n}$ の分散と ${\tilde{θ}}_{n}$ の分散の間の大小関係を判定せよ．

(1)
$\log L_{n} (t) = \sum_{i = 1}^{n} (- \frac{1}{2} \log t - \frac{ε_{i}^{2} θ}{2 t} + C_{i})$
である．ただし $C_{i}$ は $t$ によらない実数．これより
$\frac{d}{d t} \log L_{n} (t) = \sum_{i = 1}^{n} (- \frac{1}{2 t} + \frac{ε_{i}^{2} θ}{2 t^{2}}) = \frac{1}{2 t^{2}} (- n t + \sum_{i = 1}^{n} ε_{i}^{2} θ)$
なので
${\hat{θ}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ε_{i}^{2} θ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{Y_{i}^{2}}{1 + X_{i}} .$
(2)
$ε_{i}$ たちの独立性と $E [ε_{i}^{2}] = V [ε_{i}] = 1$ より $E [{\hat{θ}}_{n}] = θ$ となるから， ${\hat{θ}}_{n}$ は $θ$ の不偏推定量である．また
$E [{\hat{θ}}_{n}^{2}] = \frac{θ^{2}}{n^{2}} (\sum_{i = 1}^{n} E [ε_{i}^{4}] + \sum_{i \neq j} E [ε_{i}^{2}] E [ε_{j}^{2}]) = \frac{θ^{2}}{n^{2}} (n \cdot 3 + n (n - 1) \cdot 1^{2}) = \frac{n + 2}{n} θ^{2}$
より $V [{\hat{θ}}_{n}] = \frac{2}{n} θ^{2} .$

(3)
${\tilde{θ}}_{n} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{2}}{1 + {\overset{―}{X}}_{n}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (1 + X_{i})} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} ε_{i}^{2} θ (1 + X_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} (1 + X_{i})}$
であるから， $X_{i}$ が与えられた時の条件つき期待値は
$E [{\tilde{θ}}_{n} | X_{i}] = \frac{\sum_{i = 1}^{n} E [ε_{i}^{2}] θ (1 + X_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} (1 + X_{i})} = θ .$
よって $E [{\tilde{θ}}_{n}] = E [E [{\tilde{θ}}_{n} | X_{i}]] = θ$ となり示された．
(4)
$E [{\tilde{θ}}_{n}^{2} | X_{i}] = \frac{θ^{2}}{(\sum_{i = 1}^{n} (1 + X_{i}))^{2}} (3 \sum_{i = 1}^{n} (1 + X_{i})^{2} + \sum_{i \neq j} (1 + X_{i}) (1 + X_{j}))$
であるから， $x_{i} = 1 + X_{i}$ とおけば
$\begin{matrix} (*) & \frac{3 \sum_{i} x_{i}^{2} + \sum_{i \neq j} x_{i} x_{j}}{(\sum_{i} x_{i})^{2}} - \frac{n + 2}{n} = \frac{2 (n - 1) \sum_{i} x_{i}^{2} - 2 \sum_{i \neq j} x_{i} x_{j}}{n (\sum_{i} x_{i})^{2}} . \end{matrix}$
ここで対角成分が $n - 1$ でそれ以外の成分が $- 1$ の $n$ 次対称行列を $A$ とおく． $^{t} (1, \dots, 1)$ は $A$ の固有値 $0$ に対応する固有ベクトルである．また $e_{i} \in R^{n}$ を $R^{n}$ の標準基底とする時 $A e_{i} = n e_{i} - (e_{1} + \dots + e_{n})$ より $A (e_{1} - e_{i}) = n (e_{1} - e_{i})$ だから， $e_{1} - e_{i}$ は $A$ の固有値 $n$ に対応する固有ベクトルである．よって $A$ は正定値なので $(*)$ は非負である．従って $E [{\tilde{θ}}_{n}^{2} | X_{i}] \geq E [{\hat{θ}}_{n}^{2}]$ なので $E [{\tilde{θ}}_{n}^{2}] \geq E [{\hat{θ}}_{n}^{2}] .$ ${\tilde{θ}}_{n}, {\hat{θ}}_{n}$ が $θ$ の不偏推定量であることとあわせて $V [{\tilde{θ}}_{n}] \geq V [{\hat{θ}}_{n}] .$

投稿日：2024年3月26日

更新日：2024年4月22日

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