レート色・BLACKが語る！Integralisの勉強法 〜Basic 上級者層・最上級者層〜
編集中のため、未完成です。
こんにちは、Gagohです。
これにてBasic最終章、ハテにたどり着きました。ここが最後にして最大の難所だと思われるので、覚悟しましょう。
余談ですが、最近になってアップデートが入りましたね。(11/1~2)
個人的には神アプデなんじゃないかと思います(というか全てが神アプデ)。
Amberの追加によって色がつきやすくなりましたね。色がつくだけでもモチベーションが上がると思うので神すぎる。
さて、本題に入りましょうここでは、
Blackになってやる！
という人のために勉強法を綴っていきたいと思います。是非参考にしてください。
4.0 前回の粗筋
前回は中級者帯であるVioletの勉強法を書き留めました。演習内に難しい問題もあったんじゃないかと思います。何ができたのか、できていないのかを覚えておきましょう。
4.1 Basic Rate Magenta,Scarlet
この帯になると、IBCでRateは変動しなくなります。
みんな知っていると思いますが、Unratedという制度があり、Rate ColorがMagenta以上になるとIBCEでしか変動しなくなります。IBCEでは積分の手法以外にも整数、幾何などとの融合問題も多く見られるので、積分の学習だけでは門前払いされます。困った。
私は大学範囲の積分以外なんか教えられるほどの知識はないので、他のMathlogの記事だったり、Websiteをたくさん見て知識を身に着けましょう。
4.1.1 難易度：Difficulty 8~10
りーるる さんの記事によると、
非常に高度な発想、複数分野の組合せ、専門的な定理などを必要とする最上位の問題です。
とのこと。Integralisの最難関たちが集う難易度です。ここの難易度になると、数学センスが特に問われます。一手目から難しい問題が大多数なので、今までの経験と能力を総動員させて解きましょう。
4.1.2 重要定理など
$u=u(x)$と置き換えるとき、積分区間を$u(x)$が一対一対応になるように複数に分け$(I_1,I_2,I_3...,I_n)$、各区間における逆関数の枝を$x_1(u),x_2(u),x_3(u)...,x_n(u)$とすると積分を変換できる。
$$\int_A^B f(u(x))dx = \int _{-\infty}^{\infty} f(u)\left( \sum_{k=1}^n \abs{x'_k(u)} \right)du$$
日頃から簡単な関数の微分をして知識を蓄えておくのもあり。
特に三角関数の微分は推測が難しいので予備知識必須。
分母に二乗がある場合は$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'$を疑う。
随時追加
4.2 演習：Magenta,Scarlet
Difficulty範囲：7~10
IBC 17 F
Difficulty 7 : writer by Gagoh_Okowa
$$ \int_0^{\infty} \frac{x^2-1}{x^4+x^2}\ln (x^4-x^2+1)dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
部分積分を実行すると、分母に相反多項式が来ます。
IBCE 6 A
Difficulty 7 : writer by Crystal
$$ \int_0^{\infty} \frac{x^4}{(x^4+x^2+1)^3}dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
分母の次数が高く、累乗の中身は相反多項式です。
IBCE 6 B
Difficulty 8 : writer by Clystal
$$ \int_0^{100} \sum_{k=1}^{99}\left\lfloor \dfrac{k\lceil x \rceil}{100} \right\rfloor dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
天井関数を総和にし、$\dfrac{k\lceil x \rceil}{100}$が整数かどうかで場合分けします。
IBCE 2 A
Difficulty 8 : writer by username_qs
$$ \int_0^2 \frac{\arctan x}{x^2+2x+2}dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
難問です。$\tan$の加法定理を意識して置換積分しましょう。
IBCE 1 C
Difficulty 8 : writer by dragoemon
$$ \int_0^{2\pi} \max{ \lbrace \abs{5\cos x+\sin x},\abs{2\cos x+5\sin x},\abs{-3\cos x+4\sin x}\rbrace}dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
$5\cos x+\sin x,2\cos x+5\sin x $をそれぞれ置いて、$-3\cos x+4\sin x$を表す、またmax関数を消去するための式変形をしよう。
IBCE 4 C
Difficulty 9 : writer by bloom_choose_b
$$ \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ln {\abs{\frac{1}{_{33}\mathrm{C}_{11}}\sum_{k=0}^{11} (-1)^k {}_{11} \mathrm{ C }_k {}_{11+2k} \mathrm{ C }_{11} x^{2k}}} dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
$F(x)=x^11(1-x)^{11}$の二項定理を考えて、11回微分をすると、似た形ができる。
IBCE 4 D
Difficulty 10 : writer by dragoemon
$$ \int_0^\frac{\pi}2 \frac{dx}{\sqrt{4+(\tan x+\tan 2x)^2}} $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
逆像を利用する。$\tan$の加法定理を用いると...
IBCE 6 D
Difficulty 10 : writer by dragoemon
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)^2}\max \left\lbrace \abs{2x-\frac1x+1},\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \right \rbrace dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
難問です。$\dfrac{x}{(x^2+1)^2},\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}$は奇関数です。そこから対称性を利用しましょう。
4.3 Basic Rate Crimson
もう教えることはありません。全てのIBCEで満点を取るのみです。ちなみに、2問くらい間違えるとRateが落ちる可能性があります。脳が働かない、病み上がりとかではやらないようにしましょう。
あと、CrimsonとBlackの差は結構あります。IBCEで全完しても+190あたりが最高上昇率なので、最低2~3回くらい参加しないといけないんじゃないかと。
おめでとうございます！
これで、あなたもRate Color Black！この記事たちが役に立っていることを願っていましたが、本当に到達してしまうとは...驚かされました。ぜひともこの記事を、競技積分の布教とともに伝えてくれれば嬉しいものです。では良い積分ライフを。
