Gupta-Massonの隣接関係式
$a^3q^2=bcdefgh$に対し,
\begin{align}
\phi&=\phi(a;b,c,d,e,f,g,h)\\
&:=\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,h}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h}q
\end{align}
と表す. 今回はterminating balancedな${}_{10}\phi_9$に関するGupta-Massonによる隣接関係式を示す. 以下, $\phi(b+,c-)$のように書いたとき, $\phi$において$b,c$を$bq,c/q$に置き換えたものを表すものとする. また, $\phi_+$と書いたとき, $\phi$における$a,b,c,d,e,f,g,h$をそれぞれ$aq^2,bq,cq,dq,eq,fq,gq,hq$に置き換えたものを表すものとする.
\begin{align} &\phi(b-,c+)-\phi\\ &=\frac{aq(1-cq/b)(1-bc/aq)(1-aq)(1-aq^2)(1-d)(1-e)(1-f)(1-g)(1-h)}{c(1-aq/b)(1-aq^2/b)(1-a/c)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)(1-aq/h)}\phi_+(b-) \end{align}
直接計算によって,
\begin{align}
&\phi(b-,c+)-\phi\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f,g,h;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h;q)_n}q^n\left(\frac{(b/q,cq;q)_n}{(aq^2/b,a/c;q)_n}-\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\right)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f,g,h;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h;q)_n}q^n\frac{(b,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,a/c)_{n+1}}\\
&\qquad\cdot\left((1-b/q)(1-aq/b)(1-cq^n)(1-aq^n/c)-(1-c)(1-a/c)(1-bq^{n-1})(1-aq^{n+1}/b)\right)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f,g,h;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h;q)_n}q^n\frac{(b,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,a/c)_{n+1}}\\
&\qquad\cdot\frac ac(1-q^n)(1-aq^n)(1-cq/b)(1-bc/aq)\\
&=\frac ac(1-cq/b)(1-bc/aq)\sum_{1\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a;q)_{n+1}(d,e,f,g,h;q)_n}{(1-a)(q;q)_{n-1}(aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h;q)_n}q^n\frac{(b,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,a/c)_{n+1}}\\
&=\frac ac(1-cq/b)(1-bc/aq)\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n+2})(a;q)_{n+2}(d,e,f,g,h;q)_{n+1}}{(1-a)(q;q)_{n}(aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h;q)_{n+1}}q^{n+1}\frac{(b,cq;q)_{n}}{(aq/b,a/c)_{n+2}}\\
&=\frac {aq(1-cq/b)(1-bc/aq)(1-aq)(1-aq^2)(1-d)(1-e)(1-f)(1-g)(1-h)}{c(1-aq/b)(1-aq^2/b)(1-a/c)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)(1-aq/h)}\phi_+(b-)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
$\phi$がterminatingのとき,
\begin{align}
&\frac{b^2(1-h)(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)(1-aq/bg)}{(1-aq/b)(1-aq^2/b)}\phi_+(b-)\\
-&\frac{h^2(1-b)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)(1-aq/gh)}{(1-aq/h)(1-aq^2/h)}\phi_+(h-)\\
-&\frac{b(1-h/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)}{(1-aq)(1-aq^2)}\phi=0
\end{align}
が成り立つ.
補題1より,
\begin{align}
&\phi(b-,c+)-\phi\\
&=\frac{aq(1-cq/b)(1-bc/aq)(1-aq)(1-aq^2)(1-d)(1-e)(1-f)(1-g)(1-h)}{c(1-aq/b)(1-aq^2/b)(1-a/c)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)(1-aq/h)}\phi_+(b-)\\
&\phi(b-,d+)-\phi\\
&=\frac{aq(1-dq/b)(1-bd/aq)(1-aq)(1-aq^2)(1-c)(1-e)(1-f)(1-g)(1-h)}{d(1-aq/b)(1-aq^2/b)(1-a/d)(1-aq/d)(1-aq/c)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)(1-aq/h)}\phi_+(b-)
\end{align}
であるから, $\phi_+(b-)$を消去して,
\begin{align}
&c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq)(\phi(b-,c+)-\phi)\\
&\qquad-d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)(\phi(b-,d+)-\phi)=0
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq)\phi(b-,c+)\\
&\qquad-d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)\phi(b-,d+)\\
&=-(d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)-c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq))\phi\\
&=(c-d)(1-b/q)(1-aq/b)(1-cd/a)\phi
\end{align}
を得る. ここで, $h=q^{-n}$として, Baileyのterminating${}_{10}\phi_9$変換公式(
前の記事
の定理2)
\begin{align}
\phi&=\phi(a;b,c,d,e,f,g,q^{-n})\\
&=\frac{(g,aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_n}b^n\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{-n})
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
\phi_+(b-)&=\frac{(gq,aq^3,aq^2/bc,aq^2/bd,aq^2/be,aq^2/bf;q)_{n-1}}{(aq^3/b,aq^2/c,aq^2/d,aq^2/e,aq^2/f,gq/b;q)_{n-1}}b^{n-1}\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{1-n})\\
\phi_+(h-)&=\frac{(gq,aq^3,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq^2/c,aq^2/d,aq^2/e,aq^2/f,g/b;q)_n}(bq)^n\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,bq,q^{-n})
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac{b^2(1-h)(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)(1-aq/bg)}{(1-aq/b)(1-aq^2/b)}\phi_+(b-)\\
-&\frac{h^2(1-b)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)(1-aq/gh)}{(1-aq/h)(1-aq^2/h)}\phi_+(h-)\\
&=\frac{b^2(1-h)(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)(1-aq/bg)}{(1-aq/b)(1-aq^2/b)}\\
&\qquad\cdot\frac{(gq,aq^3,aq^2/bc,aq^2/bd,aq^2/be,aq^2/bf;q)_{n-1}}{(aq^3/b,aq^2/c,aq^2/d,aq^2/e,aq^2/f,gq/b;q)_{n-1}}b^{n-1}\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{1-n})\\
&\qquad-\frac{h^2(1-b)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)(1-aq/gh)}{(1-aq/h)(1-aq^2/h)}\\
&\qquad\cdot \frac{(gq,aq^3,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq^2/c,aq^2/d,aq^2/e,aq^2/f,g/b;q)_n}(bq)^n\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,bq,q^{-n})\\
&=\frac{b(1-h)(1-aq/bg)(1-g/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}{(1-g)(1-aq^2)(1-aq/b)}\\
&\qquad\cdot\frac{(g,aq^2,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_{n}}b^{n}\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{1-n})\\
&\qquad-\frac{h(1-b)(1-aq/gh)(1-g/h)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}{(1-g)(1-aq^2)(1-aq/h)}\\
&\qquad\cdot \frac{(g,aq^2,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_n}b^n\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,bq,q^{-n})\\
&=\frac{(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}{(1-g)(1-aq^2)(1-aq/b)(1-aq/h)}\\
&\qquad\cdot\frac{(g,aq^2,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_{n}}b^{n}\\
&\qquad\cdot \bigg(b(1-h)(1-aq/bg)(1-g/b)(1-aq/h)\phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{1-n})\\
&\qquad-h(1-b)(1-aq/gh)(1-g/h)(1-aq/b)\phi(bq^{-n}/g;bq^{-n-1}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,bq,q^{-n})\bigg)\\
&=\frac{(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}{(1-g)(1-aq^2)(1-aq/b)(1-aq/h)}\\
&\qquad\cdot\frac{(g,aq^2,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_{n}}b^{n}\\
&\qquad\cdot \frac{aq}{bh}h(1-b/h)(1-bh/aq)(1-aq/g)(1-g)\phi(bq^{-n}/g;bq^{-n}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{-n})\\
&=\frac{(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)}{(1-aq^2)(1-aq/b)(1-aq/h)}\\
&\qquad\cdot\frac{(g,aq^2,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq^2/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_{n}}b^{n}\\
&\qquad\cdot b(1-h/b)(1-aq/bh)\phi(bq^{-n}/g;bq^{-n}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{-n})\\
&=\frac{b(1-h/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)}{(1-aq)(1-aq^2)}\\
&\qquad\cdot\frac{(g,aq^2,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf;q)_{n}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,g/b;q)_{n}}b^{n}\\
&\qquad\cdot \phi(bq^{-n}/g;bq^{-n}/a,aq/cg,aq/dg,aq/eg,aq/fg,b,q^{-n})\\
&=\frac{b(1-h/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)(1-aq/g)}{(1-aq)(1-aq^2)}\phi
\end{align}
となって示すべき等式が得られる. ここで, 最後から4つ目の等号は先ほどの等式
\begin{align}
&c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq)\phi(b-,c+)\\
&\qquad-d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)\phi(b-,d+)\\
&=(c-d)(1-b/q)(1-aq/b)(1-cd/a)\phi
\end{align}
による.
これらの補題を組み合わせるとことによって, 次の素晴らしい隣接関係式を得ることができる.
$\phi$がterminatingのとき,
\begin{align}
&\frac{g(1-h)(1-a/h)(1-aq/h)(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)}{1-hq/g}\\
&\qquad\cdot(\phi(g-,h+)-\phi)\\
-&\frac{h(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(1-aq/bh)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)}{1-gq/h}\\
&\qquad\cdot(\phi(h-,g+)-\phi)\\
-&h(1-g/h)(1-aq/gh)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi=0
\end{align}
が成り立つ.
補題1より,
\begin{align}
&\phi(g-,h+)-\phi\\
&=\frac{aq(1-hq/g)(1-gh/aq)(1-aq)(1-aq^2)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{h(1-aq/g)(1-aq^2/g)(1-a/h)(1-aq/h)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}\phi_+(g-)\\
&\phi(h-,g+)-\phi\\
&=\frac{aq(1-gq/h)(1-gh/aq)(1-aq)(1-aq^2)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{g(1-aq/h)(1-aq^2/h)(1-a/g)(1-aq/g)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}\phi_+(h-)
\end{align}
であるから, これと補題2を用いると,
\begin{align}
&\frac{g(1-h)(1-a/h)(1-aq/h)(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)}{1-hq/g}\\
&\qquad\cdot(\phi(g-,h+)-\phi)\\
-&\frac{h(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(1-aq/bh)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)}{1-gq/h}\\
&\qquad\cdot(\phi(h-,g+)-\phi)\\
&=-\frac{g^2(1-h)(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)}{(1-aq/g)(1-aq^2/g)}\\
&\qquad\cdot\frac{(1-aq/gh)(1-aq)(1-aq^2)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}\phi_+(g-)\\
&\qquad+\frac{h^2(1-g)(1-aq/bh)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)}{(1-aq/h)(1-aq^2/h)}\\
&\qquad\cdot\frac{(1-aq/gh)(1-aq)(1-aq^2)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}\phi_+(h-)\\
&=\frac{(1-aq/gh)(1-aq)(1-aq^2)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}\\
&\qquad\bigg(\frac{h^2(1-g)(1-aq/bh)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)}{(1-aq/h)(1-aq^2/h)}\phi_+(h-)\\
&\qquad\qquad-\frac{g^2(1-h)(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)}{(1-aq/g)(1-aq^2/g)}\phi_+(g-)\bigg)\\
&=\frac{(1-aq/gh)(1-aq)(1-aq^2)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}\\
&\qquad\cdot\frac{h(1-g/h)(1-aq/b)(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/f)}{(1-aq)(1-aq^2)}\phi\\
&=h(1-g/h)(1-aq/gh)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi\\
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
これは
\begin{align}
\phi(a;b,c,d,e,f,a^3q^{n+2}/bcdef,q^{-n})
\end{align}
が$n$に関する斉次な3項漸化式を満たすことを意味している.
追記
Gupta-Massonの1998年の論文において, 定理3は2つのnon-terminating${}_{10}\phi_9$が満たす隣接関係式に拡張されているようである. それは上の証明における Baileyのterminating${}_{10}\phi_9$変換公式 の代わりに non-terminating${}_{10}\phi_9$の4項変換公式 を用いることによって示される.
古典極限
以下,
\begin{align}
F&=F(a;b,c,d,e,f,g,h)\\
&:=\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,h}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h}1
\end{align}
として, $F$の定義において, $b,c$を$b+1,c-1$に置き換えたものを$F(b+,c-)$のように表すとする. 定理3の古典極限を考えると, 以下のWilsonによる隣接関係式を得る.
$F$がterminatingのとき,
\begin{align}
&\frac{h(a-h)(1+a-h)(1+a-b-g)(1+a-c-g)(1+a-d-g)(1+a-e-g)(1+a-f-g)}{1+h-g}\\
&\qquad\cdot(F(g-,h+)-F)\\
-&\frac{g(a-g)(1+a-g)(1+a-b-h)(1+a-c-h)(1+a-d-h)(1+a-e-h)(1+a-f-h)}{1+g-h}\\
&\qquad\cdot(F(h-,g+)-F)\\
-&(g-h)(1+a-g-h)bcdef F=0
\end{align}
が成り立つ.
