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Agarwalによるq超幾何級数の部分和の公式

超幾何級数の部分和の公式については, 前の記事でもいくつかまとめたが, 次はそれらの公式を含んでおり, 超幾何級数の部分和に関する定理としてはかなり一般的な定理と言える.

Agarwal(1953)

非負整数$N,M$に対し,
\begin{align} &\frac{(a,dq,eq,aq/de;q)_M}{(aq/d,aq/e,deq,q;q)_M}\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{M+2n})(d,e,a/de,aq^M,aq^{M+1}/c,cq^M;q)_n}{(q,c,aq/c,aq^{M+1}/d,aq^{M+1}/e,deq^{M+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(a,dq,eq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e,deq,q;q)_N}\sum_{n=0}^M\frac{(1-aq^{N+2n})(d,e,a/de,aq^N,aq^{N+1}/c,cq^N;q)_n}{(q,c,aq/c,aq^{N+1}/d,aq^{N+1}/e,deq^{N+1};q)_n}q^n \end{align}
が成り立つ.

$k=a^2q/bcd$として, Baileyの terminating${}_{10}\phi_9$変換公式
\begin{align} &\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,akq^{N+1}/ef,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,ef/kq^N,aq^{N+1}}q\\ &=\frac{(aq,kq/e,kq/f,aq/ef;q)_N}{(kq,aq/e,aq/f,kq/ef;q)_N}\\ &\cdot\Q{10}9{k,\sqrt kq,-\sqrt kq,kb/a,kc/a,kd/a,e,f,akq^{N+1}/ef,q^{-N}}{\sqrt k,-\sqrt k,aq/b,aq/c,aq/d,kq/e,kq/f,ef/aq^N,kq^{N+1}}q \end{align}
において, $f=a/e$とすると,
\begin{align} &\frac{(aq,kq/e,keq/a,q;q)_N}{(aq/e,eq,kq,kq/a;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1-kq^{2n})(k,kb/a,kc/a,kd/a,e,a/e;q)_n}{(1-k)(aq/b,aq/c,aq/d,kq/e,keq/a,q;q)_n}q^n\\ &=\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,a/e,kq^{N+1},q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,eq,aq^{-N}/k,aq^{N+1}}q \end{align}
を得る. ここで, $b=q^{-M}$とすると, $k=a^2q^{M+1}/cd$となり,
\begin{align} &\frac{(aq,a^2q^{M+2}/cde,aeq^{M+2}/cd,q;q)_N}{(aq/e,eq,a^2q^{M+2}/cd,aq^{M+2}/cd;q)_N}\\ &\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-a^2q^{2n+M+1}/cd)(a^2q^{M+1}/cd,aq/cd,aq^{M+1}/d,aq^{M+1}/c,e,a/e;q)_n}{(1-a^2q^{M+1}/cd)(aq^{M+1},aq/c,aq/d,a^2q^{M+2}/cde,aeq^{M+2}/cd,q;q)_n}q^n\\ &=\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,q^{-M},c,d,e,a/e,a^2q^{N+M+2}/cd,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^{M+1},aq/c,aq/d,aq/e,eq,cdq^{-N-M-1}/a,aq^{N+1}}q \end{align}
であり, この右辺は$N,M$に関して対称であるから,
\begin{align} &\frac{(aq,a^2q^{M+2}/cde,aeq^{M+2}/cd,q;q)_N}{(aq/e,eq,a^2q^{M+2}/cd,aq^{M+2}/cd;q)_N}\\ &\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-a^2q^{n+M+1}/cd)(a^2q^{M+1}/cd,aq/cd,aq^{M+1}/d,aq^{M+1}/c,e,a/e;q)_n}{(1-a^2q^{M+1}/cd)(aq^{M+1},aq/c,aq/d,a^2q^{M+2}/cde,aeq^{M+2}/cd,q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq,a^2q^{N+2}/cde,aeq^{N+2}/cd,q;q)_M}{(aq/e,eq,a^2q^{N+2}/cd,aq^{N+2}/cd;q)_M}\\ &\cdot\sum_{n=0}^M\frac{(1-a^2q^{n+N+1}/cd)(a^2q^{N+1}/cd,aq/cd,aq^{N+1}/d,aq^{N+1}/c,e,a/e;q)_n}{(1-a^2q^{N+1}/cd)(aq^{N+1},aq/c,aq/d,a^2q^{N+2}/cde,aeq^{N+2}/cd,q;q)_n}q^n\\ \end{align}
を得る. $a\mapsto DE, a^2q/cd\mapsto A, aq/c\mapsto C, e\mapsto E$とすると,
\begin{align} &\frac{(DEq,Aq^{M+1}/E,Aq^{M+1}/D,q;q)_N}{(Dq,Eq,Aq^{M+1},Aq^{M+1}/DE;q)_N}\\ &\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-Aq^{2n+M})(Aq^{M},A/DE,Aq^{M+1}/C,Cq^M,E,D;q)_n}{(1-Aq^{M})(DEq^{M+1},C,Aq/C,Aq^{M+1}/E,Aq^{M+1}/D,q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(DEq,Aq^{N+1}/E,Aq^{N+1}/D,q;q)_M}{(Dq,Eq,Aq^{N+1},Aq^{N+1}/DE;q)_M}\\ &\cdot\sum_{n=0}^M\frac{(1-Aq^{2n+N})(Aq^{N},A/DE,Aq^{N+1}/C,Cq^N,E,D;q)_n}{(1-Aq^{N})(DEq^{N+1},C,Aq/C,Aq^{N+1}/E,Aq^{N+1}/D,q;q)_n}q^n\\ \end{align}
$A,C,D,E$を$a,c,d,e$と改めて整理すれば定理を得る.

$M\to\infty$とすると以下を得る.

$N$を非負整数とするとき,
\begin{align} &\sum_{n=0}^N\frac{(a/de,d,e;q)_n}{(q,c,aq/c;q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq^{N+1}/d,aq^{N+1}/e,q^{N+1};q)_{\infty}}{(aq^N,aq^{N+1}/de,dq^{N+1},eq^{N+1};q)_{\infty}}\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-aq^{N+2n})(d,e,a/de,aq^N,aq^{N+1}/c,cq^N;q)_n}{(q,c,aq/c,aq^{N+1}/d,aq^{N+1}/e,deq^{N+1};q)_n}q^n\\ \end{align}
が成り立つ.

$a\to\infty$とすると, 以下を得る.

非負整数$N,M$に対し,
\begin{align} \frac{(dq,eq;q)_M}{(deq,q;q)_M}\sum_{n=0}^N\frac{(d,e,cq^M;q)_n}{(q,c,deq^{M+1};q)_n}q^n&=\frac{(dq,eq;q)_N}{(deq,q;q)_N}\sum_{n=0}^M\frac{(d,e,cq^N;q)_n}{(q,c,deq^{N+1};q)_n}q^n \end{align}
が成り立つ.

これら2つの系はBaileyによって示された公式の$q$類似である.

古典極限

$q\to 1$の極限を考えると, 以下を得る.

\begin{align} &\frac{(a,d+1,e+1,1+a-d-e)_M}{(1+a-d,1+a-e,d+e+1,1)_M}\\ &\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(a+M+2n)(d,e,a-d-e,a+M,1+a-c+M,c+M)_n}{(1,c,1+a-c,1+a-d+M,1+a-e+M,d+e+M+1)_n}\\ &=\frac{(a,d+1,e+1,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e,d+e+1,1)_N}\\ &\cdot\sum_{n=0}^M\frac{(a+N+2n)(d,e,a-d-e,a+N,1+a-c+N,c+N)_n}{(1,c,1+a-c,1+a-d+N,1+a-e+N,d+e+N+1)_n}\\\end{align}