y-x^2の既約性

メモです。
$R$を整域とします。
$R[X,Y]$の多項式として$Y-X^2$が既約であることを示します。
$R[X,Y]$の多項式として$Y-X^2$は２次なので、分解するとすれば１次$\times$１次の形になります。よって分解するなら、
$Y-X^2=(aX+bY+c)(a'X+b'Y+c')$という形になります。右辺を展開して係数を比較すれば矛盾が生まれます。これで$Y-X^2$が既約であることが分かりました。

なんでこんなことを？

ハーツホーンの一番最初の問題について考えていたのですが、これを解くにあたって、必要になったので。詳しく言えば、$A(Y)=k[x,y]/I(Y)$ですが、$I(Y)=(y-x^2)$であることを言うために、上のことが必要だったからです。（上の整域という条件はできるところまで条件を緩めてみただけです。ハーツホーンでは代数閉体でやってます。）

応用（練習）

$Z^2-XY$が既約であることも同じようにしてできます。$(aX+bY+cZ+d)(a'X+b'Y+c'Z+d')$に分解するとすれば矛盾が生まれます。