京大数学系院試2002年度専門問1解答

京大数学系の院試（2002年度専門問1）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（京大数学系2002年専門問1）

単位元 $1$ を持つ可換環 $A$ のイデアル $I$ について， $A$ の元 $a$ がイデアル $I$ の根基 $\sqrt{I}$ に含まれるための必要十分条件は， $A$ 上の $1$ 変数多項式環 $A [T]$ の中で $I$ と $1 - a T$ が生成するイデアルが $1$ を含むことであることを示せ．

$∙$ $a \in \sqrt{I}$ の時：
$a^{n} \in I$ となる $n \in N$ が取れる．この時
$1 = (1 - a T) (1 + a T + a^{2} T^{2} + \dots + a^{n - 1} T^{n - 1}) + a^{n} T^{n} \in (I, 1 - a T) .$
$∙$ $1 \in (I, 1 - a T)$ の時：
$A$ の元の $A / I$ における同値類を同じ文字で表すことにする．
${0} = A [T] / (I, 1 - a T) ≅ (A / I) [T] / (1 - a T)$
であるから， $1 = (1 - a T) f (T)$ となる $f \in (A / I) [T]$ が存在する． $f (0) = 1$ より $f (T) = 1 + c_{1} T + \dots + c_{n} T^{n}$ とおけて，代入すると
$1 = 1 + (c_{1} - a) T + (c_{2} - a c_{1}) T^{2} + \dots + (c_{n} - a c_{n - 1}) T^{n} - a c_{n} T^{n + 1} .$
これより帰納的に $c_{j} - a^{j} \in I (j = 1, 2, \dots, n)$ であり， $T^{n + 1}$ の係数から $a^{n + 1} \in I$ となるから $a \in \sqrt{I} .$

投稿日：2024年2月2日

更新日：2024年2月6日

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