京大数学系院試2002年度専門問1解答
京大数学系の院試（2002年度専門問1）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
単位元$1$を持つ可換環$A$のイデアル$I$について，$A$の元$a$がイデアル$I$の根基$\sqrt{I}$に含まれるための必要十分条件は，$A$上の$1$変数多項式環$A[T]$の中で$I$と$1 - aT$が生成するイデアルが$1$を含むことであることを示せ．
$\bullet$ $a \in \sqrt{I}$の時：
$a^n \in I$となる$n \in \NN$が取れる．この時
$$
1
= (1 - aT)(1 + aT + a^2 T^2 + \cdots + a^{n - 1}T^{n - 1}) + a^n T^n
\in (I, 1 - aT).
$$
$\bullet$ $1 \in (I, 1 - aT)$の時：
$A$の元の$A / I$における同値類を同じ文字で表すことにする．
$$
\{ 0\}
= A[T] / (I, 1 - aT)
\cong (A / I)[T] / (1 - aT)
$$
であるから，$1 = (1 - aT)f(T)$となる $f \in (A / I)[T]$が存在する．$f(0) = 1$より$f(T) = 1 + c_1 T + \cdots + c_n T^n$とおけて，代入すると
$$
1 = 1 + (c_1 - a)T + (c_2 - ac_1)T^2 + \cdots + (c_n - ac_{n - 1})T^n - ac_n T^{n + 1}.
$$
これより帰納的に$c_j - a^j \in I\, (j = 1, 2, \dots, n)$であり，$T^{n + 1}$の係数から$a^{n + 1} \in I$となるから$a \in \sqrt{I}.$
