京大数学系の院試(2002年度専門問1)の解答です.
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります.
単位元$1$を持つ可換環$A$のイデアル$I$について,$A$の元$a$がイデアル$I$の根基$\sqrt{I}$に含まれるための必要十分条件は,$A$上の$1$変数多項式環$A[T]$の中で$I$と$1 - aT$が生成するイデアルが$1$を含むことであることを示せ.
$\bullet$ $a \in \sqrt{I}$の時:
$a^n \in I$となる$n \in \NN$が取れる.この時
$$
1
= (1 - aT)(1 + aT + a^2 T^2 + \cdots + a^{n - 1}T^{n - 1}) + a^n T^n
\in (I, 1 - aT).
$$
$\bullet$ $1 \in (I, 1 - aT)$の時:
$A$の元の$A / I$における同値類を同じ文字で表すことにする.
$$
\{ 0\}
= A[T] / (I, 1 - aT)
\cong (A / I)[T] / (1 - aT)
$$
であるから,$1 = (1 - aT)f(T)$となる $f \in (A / I)[T]$が存在する.$f(0) = 1$より$f(T) = 1 + c_1 T + \cdots + c_n T^n$とおけて,代入すると
$$
1 = 1 + (c_1 - a)T + (c_2 - ac_1)T^2 + \cdots + (c_n - ac_{n - 1})T^n - ac_n T^{n + 1}.
$$
これより帰納的に$c_j - a^j \in I\, (j = 1, 2, \dots, n)$であり,$T^{n + 1}$の係数から$a^{n + 1} \in I$となるから$a \in \sqrt{I}.$